Wektor jest ważnym obiektem geometrycznym, za pomocą jego właściwości wygodnie jest rozwiązywać wiele problemów na płaszczyźnie iw przestrzeni. W tym artykule zdefiniujemy go, rozważymy jego główne cechy, a także pokażemy, jak wektor w przestrzeni może być użyty do zdefiniowania płaszczyzn.
Co to jest wektor: przypadek dwuwymiarowy
Przede wszystkim konieczne jest jasne zrozumienie, o jakim przedmiocie mówimy. W geometrii skierowany segment nazywa się wektorem. Jak każdy segment, charakteryzuje się dwoma głównymi elementami: punktem początkowym i końcowym. Współrzędne tych punktów jednoznacznie określają wszystkie cechy wektora.
Rozważmy przykład wektora na płaszczyźnie. Aby to zrobić, rysujemy dwie wzajemnie prostopadłe osie xiy. Zaznaczmy dowolny punkt P(x, y). Jeśli połączymy ten punkt z początkiem (punkt O), a następnie określimy kierunek do P, to otrzymamy wektor OP¯ (w dalszej części artykułu słupek nad symbolem wskazuje, że rozważamy wektor). Rysunek wektorowy na płaszczyźnie pokazano poniżej.
Tutaj pokazano również inny wektor AB¯ i widać, że jego charakterystyka jest dokładnie taka sama jak OP¯, ale znajduje się w innej części układu współrzędnych. Poprzez translację równoległą OP¯ można uzyskać nieskończoną liczbę wektorów o tych samych właściwościach.
Wektor w przestrzeni
Wszystkie realne obiekty, które nas otaczają, znajdują się w trójwymiarowej przestrzeni. Badanie właściwości geometrycznych figur trójwymiarowych zajmuje się stereometrią, która operuje pojęciem wektorów trójwymiarowych. Różnią się od dwuwymiarowych tylko tym, że ich opis wymaga dodatkowej współrzędnej, która jest mierzona wzdłuż trzeciej prostopadłej osi x i y z.
Poniższy rysunek przedstawia wektor w przestrzeni. Współrzędne jego końca wzdłuż każdej osi są oznaczone kolorowymi segmentami. Początek wektora znajduje się w punkcie przecięcia wszystkich trzech osi współrzędnych, czyli ma współrzędne (0; 0; 0).
Ponieważ wektor na płaszczyźnie jest szczególnym przypadkiem odcinka skierowanego przestrzennie, w artykule rozważymy tylko wektor trójwymiarowy.
Współrzędne wektora na podstawie znanych współrzędnych jego początku i końca
Załóżmy, że istnieją dwa punkty P(x1; y1; z1) i Q(x2; y2; z2). Jak wyznaczyć współrzędne wektora PQ¯. Najpierw należy uzgodnić, który z punktów będzie początkiem, a który końcem wektora. W matematyce zwyczajowo pisze się przedmiotowy obiekt wzdłuż jego kierunku, to znaczy P jest początkiem, Q- koniec. Po drugie, współrzędne wektora PQ¯ są obliczane jako różnica między odpowiednimi współrzędnymi końca i początku, czyli:
PQ¯=(x2- x1; y2- y 1; z2- z1).
Zauważ, że zmieniając kierunek wektora, jego współrzędne zmienią znak w następujący sposób:
QP¯=(x1- x2; y1- y 2; z1- z2).
Oznacza to PQ¯=-QP¯.
Ważne jest, aby zrozumieć jeszcze jedną rzecz. Powiedziano powyżej, że w płaszczyźnie istnieje nieskończona liczba wektorów równych danemu. Fakt ten dotyczy również przypadku przestrzennego. W rzeczywistości, kiedy obliczyliśmy współrzędne PQ¯ w powyższym przykładzie, wykonaliśmy operację równoległej translacji tego wektora w taki sposób, aby jego początek pokrywał się z początkiem. Wektor PQ¯ można narysować jako segment skierowany od początku do punktu M((x2 - x1; y2 - y1; z2 - z1).
Właściwości wektorowe
Jak każdy obiekt geometryczny, wektor ma pewne nieodłączne cechy, które można wykorzystać do rozwiązywania problemów. Wymieńmy je krótko.
Moduł wektorowy to długość skierowanego segmentu. Znając współrzędne, łatwo je obliczyć. Dla wektora PQ¯ w powyższym przykładzie moduł wynosi:
|PQ¯|=√[(x2- x1)2 + (y2 - y1)2+ (z2 - z1 )2].
Włączony moduł wektorowypłaszczyzna obliczana jest według podobnego wzoru, tylko bez udziału trzeciej współrzędnej.
Suma i różnica wektorów odbywa się zgodnie z regułą trójkąta. Poniższy rysunek pokazuje, jak dodawać i odejmować te obiekty.
Aby uzyskać wektor sumy, dodaj początek drugiego do końca pierwszego wektora. Pożądany wektor rozpocznie się na początku pierwszego i zakończy na końcu drugiego wektora.
Różnica jest wykonywana biorąc pod uwagę fakt, że odejmowany wektor jest zastępowany przez przeciwny, a następnie wykonywana jest operacja dodawania opisana powyżej.
Poza dodawaniem i odejmowaniem ważne jest, aby móc pomnożyć wektor przez liczbę. Jeżeli liczba jest równa k, to otrzymujemy wektor, którego moduł jest k razy różny od oryginalnego, a kierunek jest taki sam (k>0) lub przeciwny do oryginalnego (k<0).
Operacja mnożenia wektorów między sobą jest również zdefiniowana. W artykule wyróżnimy osobny akapit.
Mnożenie przez skalar i wektor
Załóżmy, że istnieją dwa wektory u¯(x1; y1; z1) i v¯(x2; y2; z2). Wektor przez wektor można pomnożyć na dwa różne sposoby:
- Skalarny. W tym przypadku wynikiem jest liczba.
- Wektor. Rezultatem jest jakiś nowy wektor.
Iloczyn skalarny wektorów u¯ i v¯ oblicza się w następujący sposób:
(u¯v¯)=|u¯||v¯|cos(α).
Gdzie α jest kątem między podanymi wektorami.
Można wykazać, że znając współrzędne u¯ i v¯, ich iloczyn skalarny można obliczyć za pomocą następującego wzoru:
(u¯v¯)=x1x2+ y1 y2+ z1z2.
Iloczyn skalarny jest wygodny w użyciu podczas rozkładania wektora na dwa prostopadle skierowane segmenty. Służy również do obliczania równoległości lub ortogonalności wektorów oraz do obliczania kąta między nimi.
Iloczyn krzyżowy u¯ i v¯ daje nowy wektor, który jest prostopadły do oryginalnych i ma moduł:
[u¯v¯]=|u¯||v¯|sin(α).
Kierunek nowego wektora w dół lub w górę jest określony regułą prawej ręki (cztery palce prawej ręki są skierowane od końca pierwszego wektora do końca drugiego, a kciuk wystaje w górę wskazuje kierunek nowego wektora). Poniższy rysunek przedstawia wynik iloczynu krzyżowego dla dowolnych a¯ i b¯.
Iloczyn poprzeczny służy do obliczania powierzchni figur, a także do wyznaczania współrzędnych wektora prostopadłego do danej płaszczyzny.
Wektory i ich właściwości są wygodne w użyciu podczas definiowania równania płaszczyzny.
Równanie normalne i ogólne samolotu
Istnieje kilka sposobów na zdefiniowanie płaszczyzny. Jednym z nich jest wyprowadzenie ogólnego równania płaszczyzny, które wynika bezpośrednio ze znajomości wektora prostopadłego do niej i pewnego znanego punktu, który należy do płaszczyzny.
Załóż, że istnieje wektor n¯ (A; B; C) i punkt P (x0; y0; z 0). Jaki warunek spełni wszystkie punkty Q(x;y;z) płaszczyzny? Warunek ten polega na prostopadłości dowolnego wektora PQ¯ do normalnego n¯. Dla dwóch prostopadłych wektorów iloczyn skalarny wynosi zero (cos(90o)=0), napisz to:
(n¯PQ¯)=0 lub
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
Po otwarciu nawiasów otrzymujemy:
Ax + By + Cz + (-Ax0-By0-C z0)=0 lub
Ax + By + Cz +D=0 gdzie D=-Ax0-By0-Cz0.
To równanie nazywa się ogólnie dla samolotu. Widzimy, że współczynniki przed x, y i z są współrzędnymi prostopadłego wektora n¯. Nazywa się to przewodnikiem lotniczym.
Wektorowe równanie parametryczne płaszczyzny
Drugim sposobem zdefiniowania płaszczyzny jest użycie dwóch leżących w niej wektorów.
Załóż, że istnieją wektory u¯(x1; y1; z1) i v¯(x2; y2; z2). Jak powiedziano, każdy z nich w przestrzeni może być reprezentowany przez nieskończoną liczbę identycznych skierowanych segmentów, dlatego do jednoznacznego określenia płaszczyzny potrzebny jest jeszcze jeden punkt. Niech tym punktem będzie P(x0;y0; z0). Dowolny punkt Q(x; y; z) będzie leżeć na żądanej płaszczyźnie, jeśli wektor PQ¯ można przedstawić jako kombinację u¯ i v¯. Oznacza to, że mamy:
PQ¯=αu¯ + βv¯.
Gdzie α i β są liczbami rzeczywistymi. Z tej równości wynika wyrażenie:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(x1; y1; z1) + β(x 2;y2; z2).
Nazywa się to parametrycznym równaniem wektorowym płaszczyzny względem 2 wektorów u¯ i v¯. Podstawiając dowolne parametry α i β, można znaleźć wszystkie punkty (x; y; z) należące do tej płaszczyzny.
Z tego równania łatwo jest uzyskać ogólne wyrażenie dla płaszczyzny. W tym celu wystarczy znaleźć wektor kierunkowy n¯, który będzie prostopadły do obu wektorów u¯ i v¯, czyli należy zastosować ich iloczyn wektorowy.
Problem wyznaczenia ogólnego równania samolotu
Pokażmy, jak używać powyższych wzorów do rozwiązywania problemów geometrycznych. Załóżmy, że wektor kierunku płaszczyzny wynosi n¯(5; -3; 1). Powinieneś znaleźć równanie płaszczyzny, wiedząc, że należy do niej punkt P(2; 0; 0).
Ogólne równanie jest zapisane jako:
Ax + By + Cz +D=0.
Ponieważ wektor prostopadły do płaszczyzny jest znany, równanie przyjmie postać:
5x - 3y + z +D=0.
Pozostaje znaleźć wolny wyraz D. Obliczamy go na podstawie znajomości współrzędnych P:
D=-Ax0-By0-Cz0=-52 + 30 - 10=-10.
Tak więc pożądane równanie płaszczyzny ma postać:
5x - 3y + z -10=0.
Poniższy rysunek pokazuje, jak wygląda wynikowa płaszczyzna.
Wskazane współrzędne punktów odpowiadają przecięciom płaszczyzny z osiami x, y i z.
Problem wyznaczenia płaszczyzny przez dwa wektory i punkt
Załóżmy teraz, że poprzednia płaszczyzna jest zdefiniowana inaczej. Znane są dwa wektory u¯(-2; 0; 10) i v¯(-2; -10/3; 0) oraz punkt P(2; 0; 0). Jak napisać równanie płaszczyzny w wektorowej postaci parametrycznej? Używając rozważonej odpowiedniej formuły, otrzymujemy:
(x; y; z)=(2; 0; 0) + α(-2; 0; 10) + β(-2; -10/3; 0).
Zauważ, że definicje tego równania płaszczyzny, wektory u¯ i v¯ mogą być wzięte absolutnie dowolne, ale pod jednym warunkiem: nie mogą być równoległe. W przeciwnym razie płaszczyzna nie może być jednoznacznie określona, jednak można znaleźć równanie na belkę lub zbiór płaszczyzn.
