W geometrii, po punkcie, linia prosta jest prawdopodobnie najprostszym elementem. Służy do budowy dowolnych skomplikowanych figur na płaszczyźnie iw przestrzeni trójwymiarowej. W tym artykule rozważymy ogólne równanie prostej i przy jego pomocy rozwiążemy kilka problemów. Zaczynajmy!
Prosta linia w geometrii
Każdy wie, że kształty takie jak prostokąt, trójkąt, graniastosłup, sześcian itd. powstają z przecinających się linii prostych. Linia prosta w geometrii to jednowymiarowy obiekt, który można uzyskać, przenosząc określony punkt na wektor mający ten sam lub przeciwny kierunek. Aby lepiej zrozumieć tę definicję, wyobraź sobie, że w przestrzeni znajduje się punkt P. Weź dowolny wektor u¯ w tej przestrzeni. Wtedy dowolny punkt Q linii można otrzymać w wyniku następujących działań matematycznych:
Q=P + λu¯.
Tutaj λ jest dowolną liczbą, która może być dodatnia lub ujemna. Jeśli równośćnapisz wyżej podając współrzędne, to otrzymamy następujące równanie prostej:
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + λ(a, b, c).
Ta równość nazywana jest równaniem linii prostej w postaci wektorowej. A wektor u¯ nazywamy przewodnikiem.
Ogólne równanie prostej w płaszczyźnie
Każdy uczeń może to zapisać bez żadnych trudności. Ale najczęściej równanie jest napisane tak:
y=kx + b.
Gdzie k i b są liczbami arbitralnymi. Liczba b nazywana jest wolnym członkiem. Parametr k jest równy tangensowi kąta utworzonego przez przecięcie prostej z osią x.
Powyższe równanie jest wyrażone w odniesieniu do zmiennej y. Jeśli przedstawimy to w bardziej ogólnej formie, otrzymamy następującą notację:
Ax + By + C=0.
Łatwo pokazać, że ta forma zapisania równania ogólnego prostej na płaszczyźnie jest łatwo przekształcona w poprzednią formę. Aby to zrobić, lewą i prawą część należy podzielić przez czynnik B i wyrazić y.
Powyższy rysunek przedstawia linię prostą przechodzącą przez dwa punkty.
Linia w przestrzeni 3D
Kontynuujmy nasze badanie. Rozważaliśmy pytanie, w jaki sposób równanie prostej w postaci ogólnej jest podane na płaszczyźnie. Jeśli zastosujemy notację podaną w poprzednim akapicie artykułu dla przypadku przestrzennego, co otrzymamy? Wszystko jest proste - już nie linia prosta, ale samolot. Rzeczywiście, następujące wyrażenie opisuje płaszczyznę równoległą do osi z:
Ax + By + C=0.
Jeżeli C=0, to taki samolot przelatujeprzez oś Z. To ważna funkcja.
Jak zatem być z ogólnym równaniem prostej w przestrzeni? Aby zrozumieć, jak o to zapytać, musisz coś zapamiętać. Dwie płaszczyzny przecinają się wzdłuż pewnej linii prostej. Co to znaczy? Tyle tylko, że równanie ogólne jest wynikiem rozwiązania układu dwóch równań dla płaszczyzn. Napiszmy ten system:
- A1x + B1y + C1z + D 1=0;
- A2x + B2y + C2z + D 2=0.
Ten system jest ogólnym równaniem linii prostej w przestrzeni. Zauważ, że płaszczyzny nie mogą być do siebie równoległe, to znaczy ich wektory normalne muszą być nachylone względem siebie pod pewnym kątem. W przeciwnym razie system nie będzie miał rozwiązań.
Powyżej podaliśmy wektorową postać równania dla linii prostej. Jest wygodny w użyciu podczas rozwiązywania tego systemu. Aby to zrobić, musisz najpierw znaleźć iloczyn wektorowy normalnych tych płaszczyzn. Wynikiem tej operacji będzie wektor kierunkowy linii prostej. Następnie należy obliczyć dowolny punkt należący do linii. Aby to zrobić, musisz ustawić dowolną ze zmiennych równą pewnej wartości, dwie pozostałe zmienne można znaleźć, rozwiązując zredukowany system.
Jak przetłumaczyć równanie wektorowe na ogólne? Niuanse
Jest to rzeczywisty problem, który może się pojawić, jeśli musisz napisać ogólne równanie prostej przy użyciu znanych współrzędnych dwóch punktów. Pokażmy na przykładzie, jak rozwiązano ten problem. Niech znane będą współrzędne dwóch punktów:
- P=(x1, y1);
- Q=(x2, y2).
Równanie w postaci wektorowej jest dość łatwe do złożenia. Współrzędne wektora kierunku to:
PQ=(x2-x1, y2-y 1).
Zauważ, że nie ma różnicy, jeśli odejmiemy współrzędne Q od współrzędnych punktu P, wektor zmieni tylko kierunek na przeciwny. Teraz powinieneś wziąć dowolny punkt i zapisać równanie wektorowe:
(x, y)=(x1, y1) + λ(x2 -x1, y2-y1).
Aby napisać ogólne równanie prostej, parametr λ powinien być wyrażony w obu przypadkach. A potem porównaj wyniki. Mamy:
x=x1 + λ(x2-x1)=> λ=(x-x1)/(x2-x1);
y=y1 + λ(y2-y1)=> λ=(y-y1)/(y2-y1)=>
(x-x1)/(x2-x1)=(y-y 1)/(y2-y1).
Pozostaje tylko otworzyć nawiasy i przenieść wszystkie warunki równania na jedną stronę równania w celu uzyskania ogólnego wyrażenia dla linii prostej przechodzącej przez dwa znane punkty.
W przypadku problemu trójwymiarowego algorytm rozwiązania jest zachowany, tylko jego wynikiem będzie układ dwóch równań dla płaszczyzn.
Zadanie
Konieczne jest wykonanie ogólnego równanialinia prosta, która przecina oś x w punkcie (-3, 0) i jest równoległa do osi y.
Rozpocznijmy rozwiązywanie problemu od napisania równania w postaci wektorowej. Ponieważ prosta jest równoległa do osi y, wektor kierunkowy dla niej będzie następujący:
u¯=(0, 1).
Wtedy żądana linia zostanie napisana w następujący sposób:
(x, y)=(-3, 0) + λ(0, 1).
Teraz przetłumaczmy to wyrażenie na formę ogólną, w tym celu wyrażamy parametr λ:
- x=-3;
- y=λ.
Tak więc każda wartość zmiennej y należy do wiersza, jednak odpowiada jej tylko pojedyncza wartość zmiennej x. Dlatego ogólne równanie przyjmie postać:
x + 3=0.
Problem z linią prostą w przestrzeni
Wiadomo, że dwie przecinające się płaszczyzny są podane przez następujące równania:
- 2x + y - z=0;
- x - 2y + 3=0.
Konieczne jest znalezienie równania wektorowego prostej, wzdłuż której przecinają się te płaszczyzny. Zacznijmy.
Jak już powiedziano, ogólne równanie prostej w przestrzeni trójwymiarowej jest już podane w postaci układu dwójki z trzema niewiadomymi. Przede wszystkim określamy wektor kierunku, wzdłuż którego przecinają się płaszczyzny. Mnożąc współrzędne wektorowe normalnych do płaszczyzn, otrzymujemy:
u¯=[(2, 1, -1)(1, -2, 0)]=(-2, -1, -5).
Ponieważ pomnożenie wektora przez liczbę ujemną odwraca jego kierunek, możemy napisać:
u¯=-1(-2, -1, -5)=(2, 1, 5).
Doaby znaleźć wyrażenie wektorowe dla linii prostej, oprócz wektora kierunkowego, trzeba znać jakiś punkt tej prostej. Znajdź, ponieważ jego współrzędne muszą spełniać układ równań w warunkach problemu, to je znajdziemy. Na przykład, postawmy x=0, wtedy otrzymamy:
y=z;
y=3/2=1, 5.
Tak więc punkt należący do żądanej linii prostej ma współrzędne:
P=(0, 1, 5, 1, 5).
Wtedy otrzymujemy odpowiedź na ten problem, równanie wektorowe żądanej linii będzie wyglądać tak:
(x, y, z)=(0, 1, 5, 1, 5) + λ(2, 1, 5).
Prawidłowość rozwiązania można łatwo sprawdzić. W tym celu należy wybrać dowolną wartość parametru λ i wstawić otrzymane współrzędne punktu prostej do obu równań dla płaszczyzn, w obu przypadkach uzyskamy identyczność.
