Funkcje rachunku różniczkowego jednej i kilku zmiennych

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Ostatnio zmodyfikowany: 2024-01-02 17:54

Rachunek różniczkowy jest gałęzią rachunku różniczkowego, która bada pochodną, różniczki i ich zastosowanie w badaniu funkcji.

Historia wyglądu

Rachunek różniczkowy pojawił się jako samodzielna dyscyplina w drugiej połowie XVII wieku dzięki pracom Newtona i Leibniza, którzy sformułowali podstawowe przepisy w rachunku różniczkowym i dostrzegli związek między integracją a różniczkowaniem. Od tego momentu dyscyplina rozwija się wraz z rachunkiem całek, tworząc tym samym podstawę analizy matematycznej. Pojawienie się tych rachunków otworzyło nowy okres nowożytny w świecie matematycznym i spowodowało pojawienie się nowych dyscyplin w nauce. Rozszerzył również możliwości zastosowania nauk matematycznych w naukach przyrodniczych i technice.

Podstawowe koncepcje

Rachunek różniczkowy opiera się na podstawowych pojęciach matematyki. Są to: liczba rzeczywista, ciągłość, funkcja i granica. Z biegiem czasu zyskały nowoczesny wygląd, dzięki rachunku całkowemu i różniczkowemu.

Proces tworzenia

Powstanie rachunku różniczkowego w postaci stosowanej, a następnie naukowej metody nastąpiło przed pojawieniem się teorii filozoficznej, którą stworzył Mikołaj z Kuzy. Jego prace są uważane za ewolucyjny rozwój z sądów starożytnej nauki. Pomimo tego, że sam filozof nie był matematykiem, jego wkład w rozwój nauk matematycznych jest niezaprzeczalny. Kuzansky był jednym z pierwszych, którzy odeszli od uznawania arytmetyki za najdokładniejszą dziedzinę nauki, poddając w wątpliwość matematykę tamtych czasów.

Starożytni matematycy używali jednostki jako uniwersalnego kryterium, podczas gdy filozof zaproponował nieskończoność jako nową miarę zamiast dokładnej liczby. W związku z tym reprezentacja precyzji w naukach matematycznych jest odwrócona. Wiedza naukowa, według niego, dzieli się na racjonalną i intelektualną. Według naukowca druga jest dokładniejsza, ponieważ pierwsza daje jedynie przybliżony wynik.

Pomysł

Główna idea i koncepcja w rachunku różniczkowym jest związana z funkcją w małych sąsiedztwach pewnych punktów. W tym celu konieczne jest stworzenie aparatu matematycznego do badania funkcji, której zachowanie w niewielkim sąsiedztwie ustalonych punktów jest zbliżone do zachowania funkcji wielomianowej lub liniowej. Jest to oparte na definicji pochodnej i różniczki.

Pojawienie się pojęcia pochodnej było spowodowane dużą liczbą problemów z nauk przyrodniczych i matematyki,co doprowadziło do znalezienia wartości limitów tego samego typu.

Jednym z głównych problemów podawanych jako przykład począwszy od szkoły średniej jest określenie prędkości punktu poruszającego się po linii prostej i skonstruowanie linii stycznej do tej krzywej. Różniczka jest z tym związana, ponieważ możliwe jest przybliżenie funkcji w małym sąsiedztwie rozważanego punktu funkcji liniowej.

W porównaniu z pojęciem pochodnej funkcji zmiennej rzeczywistej, definicja różniczki przechodzi po prostu do funkcji o charakterze ogólnym, w szczególności do obrazu jednej przestrzeni euklidesowej na drugiej.

Pochodna

Niech punkt przesunie się w kierunku osi Oy, przez czas, w którym bierzemy x, który jest liczony od pewnego początku chwili. Taki ruch można opisać funkcją y=f(x), która jest przypisana do każdego momentu czasowego x współrzędnej przesuwanego punktu. W mechanice funkcja ta nazywana jest prawem ruchu. Główną cechą ruchu, zwłaszcza nierównego, jest prędkość chwilowa. Gdy punkt porusza się wzdłuż osi Oy zgodnie z prawem mechaniki, to w losowym momencie x uzyskuje współrzędną f (x). W chwili czasowej x + Δx, gdzie Δx oznacza przyrost czasu, jego współrzędna będzie wynosić f(x + Δx). W ten sposób powstaje formuła Δy \u003d f (x + Δx) - f (x), która nazywa się przyrostem funkcji. Reprezentuje ścieżkę przebytą przez dany punkt w czasie od x do x + Δx.

Z powodu pojawienia się tegoprędkość w czasie, pochodna jest wprowadzana. W funkcji arbitralnej pochodna w ustalonym punkcie nazywana jest granicą (zakładając, że istnieje). Może być oznaczony pewnymi symbolami:

f’(x), y’, ý, df/dx, dy/dx, Df(x).

Proces obliczania pochodnej nazywa się różniczkowaniem.

Rachunek różniczkowy funkcji kilku zmiennych

Ta metoda rachunku różniczkowego jest używana podczas badania funkcji z kilkoma zmiennymi. W obecności dwóch zmiennych x i y pochodną cząstkową względem x w punkcie A nazywamy pochodną tej funkcji względem x przy ustalonym y.

Może być reprezentowane przez następujące znaki:

f’(x)(x, y), u’(x), ∂u/∂x lub ∂f(x, y)’/∂x.

Wymagane umiejętności

Umiejętności integracji i różnicowania są wymagane do pomyślnego studiowania i rozwiązywania problemów rozproszonych. Aby ułatwić zrozumienie równań różniczkowych, powinieneś dobrze rozumieć temat pochodnej i całki nieoznaczonej. Nie zaszkodzi również nauczyć się, jak znaleźć pochodną funkcji niejawnie danej. Wynika to z faktu, że w procesie studiowania często trzeba będzie używać całek i różniczkowania.

Rodzaje równań różniczkowych

W prawie wszystkich pracach testowych związanych z równaniami różniczkowymi pierwszego rzędu występują 3 typy równań: jednorodne, z rozdzielnymi zmiennymi, liniowe niejednorodne.

Istnieją również rzadsze odmiany równań: z różniczkami całkowitymi, równania Bernoulliego i inne.

Podstawy decyzji

Po pierwsze, powinieneś zapamiętać równania algebraiczne z kursu szkolnego. Zawierają zmienne i liczby. Aby rozwiązać równanie zwykłe, musisz znaleźć zbiór liczb, które spełniają dany warunek. Z reguły takie równania miały jeden pierwiastek i aby sprawdzić poprawność wystarczyło podstawić tę wartość za niewiadomą.

Równanie różniczkowe jest podobne do tego. Ogólnie takie równanie pierwszego rzędu zawiera:

• Zmienna niezależna.
• Pochodna pierwszej funkcji.
• Funkcja lub zmienna zależna.

W niektórych przypadkach może brakować jednej z niewiadomych, x lub y, ale nie jest to tak ważne, ponieważ obecność pierwszej pochodnej bez pochodnych wyższego rzędu jest konieczna dla rozwiązania i różniczki rachunek, aby być poprawnym.

Rozwiązanie równania różniczkowego oznacza znalezienie zbioru wszystkich funkcji pasujących do danego wyrażenia. Taki zestaw funkcji jest często nazywany ogólnym rozwiązaniem DE.

Rachunek całkowy

Rachunek całkowy to jeden z działów analizy matematycznej, który bada pojęcie całki, właściwości i metody jej obliczania.

Często obliczanie całki występuje podczas obliczania powierzchni figury krzywoliniowej. Pole to oznacza granicę, do której pole wielokąta wpisanego w daną figurę dąży ze stopniowym wzrostem jego boku, przy czym boki te mogą być mniejsze niż dowolne wcześniej określone arbitralniemała wartość.

Główną ideą przy obliczaniu pola dowolnej figury geometrycznej jest obliczenie pola prostokąta, czyli udowodnienie, że jego pole jest równe iloczynowi długości i szerokości. Jeśli chodzi o geometrię, to wszystkie konstrukcje wykonuje się za pomocą linijki i cyrkla, a wtedy stosunek długości do szerokości jest wartością wymierną. Obliczając obszar trójkąta prostokątnego, możesz określić, że jeśli umieścisz obok niego ten sam trójkąt, utworzy się prostokąt. W równoległoboku powierzchnię oblicza się podobną, ale nieco bardziej skomplikowaną metodą, za pomocą prostokąta i trójkąta. W wielokątach obszar jest obliczany przez zawarte w nim trójkąty.

Podczas określania sparingu dowolnej krzywej ta metoda nie zadziała. Jeśli podzielisz go na pojedyncze kwadraty, pozostaną niewypełnione miejsca. W tym przypadku próbuje się użyć dwóch okładek, z prostokątami na górze i na dole, w wyniku czego zawierają one wykres funkcji, a nie. Ważny pozostaje tutaj sposób podziału na te prostokąty. Ponadto, jeśli weźmiemy coraz mniejsze partycje, obszar powyżej i poniżej powinien zbiegać się w określonej wartości.

Powinno wrócić do metody podziału na prostokąty. Istnieją dwie popularne metody.

Riemann sformalizował definicję całki stworzoną przez Leibniza i Newtona jako obszar podgrafu. W tym przypadku wzięto pod uwagę figury składające się z pewnej liczby pionowych prostokątów i otrzymane przez podzielenieczłon. Gdy w miarę zmniejszania się podziału istnieje granica, do której zmniejsza się obszar o podobnej wielkości, granica ta nazywana jest całką Riemanna funkcji na danym przedziale.

Drugą metodą jest konstrukcja całki Lebesgue'a, która polega na tym, że dla miejsca podziału zdefiniowanego obszaru na części całki, a następnie zestawienia sumy całkowej z wartości uzyskanych w tych częściach, jego zakres wartości jest dzielony na przedziały, a następnie sumowany z odpowiednimi miarami wstępnych obrazów tych całek.

Nowoczesne korzyści

Jeden z głównych podręczników do badania rachunku różniczkowego i całkowego został napisany przez Fikhtengoltsa - "Kurs rachunku różniczkowego i całkowego". Jego podręcznik jest podstawowym przewodnikiem po studiach nad analizą matematyczną, który doczekał się wielu wydań i tłumaczeń na inne języki. Stworzony dla studentów i od dawna wykorzystywany w wielu instytucjach edukacyjnych jako jedna z głównych pomocy naukowych. Daje dane teoretyczne i umiejętności praktyczne. Po raz pierwszy opublikowany w 1948.

Algorytm badania funkcji

Aby zbadać funkcję za pomocą metod rachunku różniczkowego, należy postępować zgodnie z podanym już algorytmem:

1. Znajdź zakres funkcji.
2. Znajdź pierwiastki podanego równania.
3. Oblicz ekstrema. Aby to zrobić, oblicz pochodną i punkty, w których jest równa zero.
4. Wstaw wynikową wartość do równania.

Odmiany równań różniczkowych

sterowanie pierwszego rzędu (w przeciwnym razie różnicowe)rachunek różniczkowy jednej zmiennej) i ich typy:

• Równanie rozłączne: f(y)dy=g(x)dx.
• Najprostsze równania, czyli rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej, o wzorze: y'=f(x).
• Liniowy niejednorodny DE pierwszego rzędu: y'+P(x)y=Q(x).
• Równanie różniczkowe Bernoulliego: y'+P(x)y=Q(x)ya.
• Równanie z różniczkami całkowitymi: P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0.

Równania różniczkowe drugiego rzędu i ich typy:

• Liniowe jednorodne równanie różniczkowe drugiego rzędu ze stałymi wartościami współczynników: y +py'+qy=0 p, q należy do R.
• Liniowe niejednorodne równanie różniczkowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach: y +py'+qy=f(x).
• Liniowe jednorodne równanie różniczkowe: y +p(x)y'+q(x)y=0 oraz niejednorodne równanie drugiego rzędu: y+p(x)y'+q(x)y=f(x).

Równania różniczkowe wyższego rzędu i ich rodzaje:

• Równanie różniczkowe, które można zredukować w kolejności: F(x, y^(k), y^(k+1),.., y^(n)=0.
• Liniowe równanie jednorodne wyższego rzędu: y⁽ⁿ⁾+f_(n-1)y^{(n- 1)}+…+f₁y'+f₀y=0 i niejednorodne: y⁽ⁿ⁾+f_(n-1)y^(n-1)+…+f_{1 y'+f}0_y=f(x).

Kroki rozwiązywania problemu z równaniem różniczkowym

Za pomocą pilota rozwiązuje się nie tylko pytania matematyczne lub fizyczne, ale także różne problemy zbiologia, ekonomia, socjologia itp. Pomimo dużej różnorodności tematów, przy rozwiązywaniu takich problemów należy trzymać się jednej logicznej kolejności:

1. Kompilacja pilota. Jeden z najtrudniejszych kroków, który wymaga maksymalnej precyzji, ponieważ każdy błąd doprowadzi do całkowicie błędnych wyników. Należy wziąć pod uwagę wszystkie czynniki wpływające na proces i określić warunki początkowe. Powinna też być oparta na faktach i logicznych wnioskach.
2. Rozwiązanie sformułowanego równania. Ten proces jest prostszy niż pierwszy krok, ponieważ wymaga tylko ścisłych obliczeń matematycznych.
3. Analiza i ocena wyników. Wyprowadzone rozwiązanie powinno zostać ocenione w celu ustalenia praktycznej i teoretycznej wartości wyniku.

Przykład wykorzystania równań różniczkowych w medycynie

Wykorzystanie zdalnego sterowania w dziedzinie medycyny ma miejsce podczas budowania epidemiologicznego modelu matematycznego. Jednocześnie nie należy zapominać, że równania te występują również w biologii i chemii, które są bliskie medycynie, ponieważ badanie różnych populacji biologicznych i procesów chemicznych zachodzących w organizmie człowieka odgrywa w tym ważną rolę.

W powyższym przykładzie epidemii możemy rozważyć rozprzestrzenianie się infekcji w odizolowanym społeczeństwie. Mieszkańcy dzielą się na trzy typy:

• Zakażony, liczba x(t), składający się z osobników będących nosicielami infekcji, z których każdy jest zaraźliwy (okres inkubacji jest krótki).
• Drugi typ obejmujeosoby podatne y(t) zdolne do zarażenia się poprzez kontakt z osobami zakażonymi.
• Trzeci gatunek obejmuje osobniki odporne z(t), które są odporne lub zmarły z powodu choroby.

Liczba osobników jest stała, nie uwzględnia się urodzeń, zgonów naturalnych i migracji. U podstaw będą dwie hipotezy.

Odsetek zachorowań w określonym punkcie czasowym wynosi x(t)y(t) (w oparciu o teorię, że liczba przypadków jest proporcjonalna do liczby skrzyżowań między chorymi i podatnymi przedstawicielami, co w pierwszym aproksymacja będzie proporcjonalna do x(t)y(t)), w związku z tym liczba przypadków wzrasta, a liczba podatnych maleje w tempie, które oblicza się za pomocą wzoru ax(t)y(t) (a > 0).

Liczba odpornych osobników, które stały się odporne lub zmarły, rośnie w tempie proporcjonalnym do liczby przypadków, bx(t) (b > 0).

W efekcie możesz stworzyć układ równań uwzględniający wszystkie trzy wskaźniki i na jego podstawie wyciągać wnioski.

Przykład ekonomii

Rachunek różniczkowy jest często używany w analizie ekonomicznej. Głównym zadaniem w analizie ekonomicznej jest badanie wielkości z gospodarki, które zapisuje się w postaci funkcji. Stosuje się to przy rozwiązywaniu problemów takich jak zmiany dochodów bezpośrednio po podwyżce podatków, wprowadzeniu ceł, zmiany w przychodach firmy, gdy zmieniają się koszty produkcji, w jakiej proporcji można zastąpić emerytowanych pracowników nowym sprzętem. Aby rozwiązać takie problemy, konieczne jestzbudować funkcję połączenia ze zmiennych wejściowych, które są następnie badane za pomocą rachunku różniczkowego.

W sferze ekonomicznej często konieczne jest znalezienie najbardziej optymalnych wskaźników: maksymalna wydajność pracy, najwyższy dochód, najniższe koszty i tak dalej. Każdy taki wskaźnik jest funkcją jednego lub więcej argumentów. Na przykład produkcję można postrzegać jako funkcję nakładów pracy i kapitału. W związku z tym znalezienie odpowiedniej wartości można sprowadzić do znalezienia maksimum lub minimum funkcji z jednej lub więcej zmiennych.

Problemy tego rodzaju tworzą klasę ekstremalnych problemów w dziedzinie ekonomii, których rozwiązanie wymaga rachunku różniczkowego. Kiedy wskaźnik ekonomiczny musi zostać zminimalizowany lub zmaksymalizowany jako funkcja innego wskaźnika, wtedy w punkcie maksimum stosunek przyrostu funkcji do argumentów będzie dążył do zera, jeśli przyrost argumentu będzie dążył do zera. W przeciwnym razie, gdy taki stosunek dąży do jakiejś wartości dodatniej lub ujemnej, określony punkt nie jest odpowiedni, ponieważ zwiększając lub zmniejszając argument, można zmienić wartość zależną w wymaganym kierunku. W terminologii rachunku różniczkowego będzie to oznaczać, że warunkiem wymaganym dla maksimum funkcji jest zerowa wartość jej pochodnej.

W ekonomii często występują problemy ze znalezieniem ekstremum funkcji z kilkoma zmiennymi, ponieważ wskaźniki ekonomiczne składają się z wielu czynników. Takie pytania są dobre.studiował w teorii funkcji wielu zmiennych, stosując metody obliczeń różniczkowych. Takie problemy obejmują nie tylko maksymalizację i minimalizację funkcji, ale także ograniczenia. Takie pytania są związane z programowaniem matematycznym i są rozwiązywane za pomocą specjalnie opracowanych metod, również opartych na tej gałęzi nauki.

Wśród metod rachunku różniczkowego stosowanych w ekonomii ważną częścią jest analiza marginalna. W sferze ekonomicznej termin ten odnosi się do zestawu metod badania wskaźników zmiennych i wyników przy zmianie wielkości produkcji, konsumpcji, w oparciu o analizę ich wskaźników krańcowych. Wskaźnikiem ograniczającym jest pochodna lub częściowe pochodne z kilkoma zmiennymi.

Rachunek różniczkowy kilku zmiennych jest ważnym tematem w dziedzinie analizy matematycznej. Aby uzyskać szczegółowe badanie, możesz skorzystać z różnych podręczników do szkolnictwa wyższego. Jeden z najbardziej znanych został stworzony przez Fikhtengoltsa - "Kurs rachunku różniczkowego i całkowego". Jak sama nazwa wskazuje, umiejętność pracy z całkami ma duże znaczenie przy rozwiązywaniu równań różniczkowych. Gdy ma miejsce rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej, rozwiązanie staje się prostsze. Chociaż należy zauważyć, podlega tym samym podstawowym zasadom. Aby w praktyce badać funkcję za pomocą rachunku różniczkowego, wystarczy zastosować już istniejący algorytm, który jest podawany w szkole średniej i tylko nieznacznie skomplikowany przy wprowadzaniu nowych.zmienne.