Ważnym pojęciem w matematyce jest funkcja. Za jego pomocą można zwizualizować wiele procesów zachodzących w przyrodzie, odzwierciedlić zależności między określonymi wielkościami za pomocą wzorów, tabel i obrazów na wykresie. Przykładem jest zależność nacisku warstwy cieczy na ciało od głębokości zanurzenia, przyspieszenia - od działania określonej siły na przedmiot, wzrostu temperatury - od przesyłanej energii i wielu innych procesów. Badanie funkcji obejmuje konstrukcję wykresu, wyjaśnienie jego własności, zakresu i wartości, przedziałów wzrostu i spadku. Ważnym punktem w tym procesie jest znalezienie punktów skrajnych. O tym, jak zrobić to dobrze, a rozmowa będzie toczyć się dalej.
O samej koncepcji na konkretnym przykładzie
W medycynie wykreślenie wykresu funkcji może informować o postępie choroby w ciele pacjenta, wizualnie odzwierciedlając jego stan. Załóżmy, że czas w dniach kreślony jest na osi OX, a temperatura ludzkiego ciała na osi OY. Rysunek wyraźnie pokazuje, jak ten wskaźnik gwałtownie rośnie ipotem spada. Łatwo też zauważyć pojedyncze punkty, które odzwierciedlają momenty, w których funkcja po wcześniejszym wzroście zaczyna spadać i odwrotnie. Są to skrajne punkty, czyli wartości krytyczne (maksymalne i minimalne) w tym przypadku temperatury pacjenta, po których następują zmiany jego stanu.
Kąt nachylenia
Łatwo jest określić na podstawie rysunku, jak zmienia się pochodna funkcji. Jeśli linie proste wykresu rosną z czasem, jest to wynik dodatni. A im bardziej strome, tym większa wartość pochodnej wraz ze wzrostem kąta nachylenia. W okresach spadków wartość ta przyjmuje wartości ujemne, zwracając się do zera w skrajnych punktach, a wykres pochodnej w tym drugim przypadku jest rysowany równolegle do osi OX.
Wszelkie inne procesy należy traktować w ten sam sposób. Ale najlepszą rzeczą w tej koncepcji może powiedzieć ruch różnych ciał, wyraźnie pokazany na wykresach.
Ruch
Załóżmy, że jakiś obiekt porusza się w linii prostej, równomiernie nabierając prędkości. W tym okresie zmiana współrzędnych ciała przedstawia graficznie pewną krzywą, którą matematyk nazwałby gałęzią paraboli. Jednocześnie funkcja stale się zwiększa, ponieważ wskaźniki współrzędnych zmieniają się coraz szybciej z każdą sekundą. Wykres prędkości pokazuje zachowanie pochodnej, której wartość również wzrasta. Oznacza to, że ruch nie ma punktów krytycznych.
To trwałoby w nieskończoność. Ale jeśli ciało nagle zdecyduje się zwolnić, zatrzymaj się i zacznij poruszać się w innymkierunek? W takim przypadku wskaźniki współrzędnych zaczną się zmniejszać. A funkcja przekaże wartość krytyczną i zmieni się z rosnącej na malejącą.
W tym przykładzie możesz ponownie zrozumieć, że ekstrema na wykresie funkcji pojawiają się w momentach, w których przestaje on być monotonny.
Fizyczne znaczenie pochodnej
Opisane wcześniej wyraźnie pokazało, że pochodną jest zasadniczo szybkość zmiany funkcji. To wyrafinowanie zawiera swoje fizyczne znaczenie. Skrajne punkty to krytyczne obszary na wykresie. Można je znaleźć i wykryć, obliczając wartość pochodnej, która okazuje się być równa zero.
Istnieje jeszcze jeden znak, który jest wystarczającym warunkiem dla ekstremum. Pochodna w takich miejscach przegięcia zmienia swój znak: z "+" na "-" w obszarze maksimum iz "-" na "+" w obszarze minimum.
Ruch pod wpływem grawitacji
Wyobraźmy sobie inną sytuację. Dzieci grając w piłkę rzuciły ją w taki sposób, że zaczęła się poruszać pod kątem do horyzontu. W momencie początkowym prędkość tego obiektu była największa, ale pod wpływem grawitacji zaczęła spadać iz każdą sekundą o tę samą wartość, równą około 9,8 m/s2. Jest to wartość przyspieszenia zachodzącego pod wpływem grawitacji ziemskiej podczas swobodnego spadania. Na Księżycu byłaby około sześć razy mniejsza.
Wykres opisujący ruch ciała to parabola z gałęziami,zniżkowy. Jak znaleźć punkty ekstremalne? W tym przypadku jest to wierzchołek funkcji, gdzie prędkość ciała (piłki) przyjmuje wartość zerową. Pochodna funkcji wynosi zero. W tym przypadku kierunek, a tym samym wartość prędkości, zmienia się na przeciwny. Ciało leci w dół z każdą sekundą coraz szybciej i przyspiesza o tę samą wartość - 9,8 m/s2.
Druga pochodna
W poprzednim przypadku wykres modułu prędkości jest rysowany jako linia prosta. Ta linia jest najpierw skierowana w dół, ponieważ wartość tej wielkości stale maleje. Po osiągnięciu zera w jednym z punktów w czasie wskaźniki tej wartości zaczynają rosnąć, a kierunek graficznej reprezentacji modułu prędkości zmienia się dramatycznie. Linia jest teraz skierowana w górę.
Prędkość, będąca pochodną współrzędnej w czasie, ma również punkt krytyczny. W tym rejonie funkcja, początkowo malejąca, zaczyna się zwiększać. To jest miejsce ekstremum pochodnej funkcji. W takim przypadku nachylenie stycznej wynosi zero. A przyspieszenie, będące drugą pochodną współrzędnej względem czasu, zmienia znak z „-” na „+”. A ruch z jednostajnie powolnego staje się jednostajnie przyspieszony.
Wykres przyspieszenia
Teraz rozważ cztery zdjęcia. Każdy z nich wyświetla wykres zmiany w czasie takiej wielkości fizycznej jak przyspieszenie. W przypadku „A” jego wartość pozostaje dodatnia i stała. Oznacza to, że prędkość ciała, podobnie jak jego współrzędna, stale rośnie. Jeśliwyobraź sobie, że obiekt będzie się w ten sposób poruszał przez nieskończenie długi czas, funkcja odzwierciedlająca zależność współrzędnej od czasu okaże się stale rosnąca. Wynika z tego, że nie ma regionów krytycznych. Na wykresie pochodnej nie ma również ekstremów, czyli liniowo zmieniającej się prędkości.
To samo dotyczy przypadku „B” z dodatnim i stale rosnącym przyspieszeniem. To prawda, że wykresy dla współrzędnych i prędkości będą tutaj nieco bardziej skomplikowane.
Gdy przyspieszenie dąży do zera
Oglądając obraz „B”, możesz zobaczyć zupełnie inny obraz, który charakteryzuje ruchy ciała. Jego prędkość zostanie graficznie przedstawiona jako parabola z gałęziami skierowanymi w dół. Jeśli będziemy kontynuować linię opisującą zmianę przyspieszenia, aż przetnie się z osią OX i dalej, to możemy sobie wyobrazić, że do tej wartości krytycznej, gdzie przyspieszenie okaże się równe zero, prędkość obiektu wzrośnie coraz wolniej. Ekstremalny punkt pochodnej funkcji współrzędnych będzie znajdował się tuż na szczycie paraboli, po czym ciało zmieni radykalnie charakter ruchu i zacznie poruszać się w innym kierunku.
W tym drugim przypadku, „G”, nie można dokładnie określić charakteru ruchu. Tutaj wiemy tylko, że przez pewien rozważany okres nie ma przyspieszenia. Oznacza to, że obiekt może pozostać na miejscu lub ruch odbywa się ze stałą prędkością.
Zadanie dodawania współrzędnych
Przejdźmy do zadań, które są często spotykane w nauce algebry w szkole i są oferowane doprzygotowanie do egzaminu. Poniższy rysunek przedstawia wykres funkcji. Wymagane jest obliczenie sumy punktów ekstremalnych.
Zróbmy to dla osi y, określając współrzędne obszarów krytycznych, w których obserwuje się zmianę właściwości funkcji. Mówiąc najprościej, znajdujemy wartości wzdłuż osi x dla punktów przegięcia, a następnie przystępujemy do dodawania otrzymanych wyrazów. Z wykresu wynika, że przyjmują one następujące wartości: -8; -7; -5; -3; -2; jeden; 3. To daje -21, co jest odpowiedzią.
Optymalne rozwiązanie
Nie trzeba wyjaśniać, jak ważny może być wybór optymalnego rozwiązania w realizacji zadań praktycznych. W końcu istnieje wiele sposobów na osiągnięcie celu, a najlepsze wyjście z reguły jest tylko jedno. Jest to niezwykle potrzebne, na przykład przy projektowaniu statków, statków kosmicznych i samolotów, konstrukcji architektonicznych, aby znaleźć optymalny kształt tych obiektów stworzonych przez człowieka.
Prędkość pojazdów w dużej mierze zależy od kompetentnej minimalizacji oporu, jaki napotykają podczas poruszania się w wodzie i powietrzu, od przeciążeń powstających pod wpływem sił grawitacyjnych i wielu innych wskaźników. Statek na morzu potrzebuje takich cech jak stabilność podczas sztormu, dla statku rzecznego ważne jest minimalne zanurzenie. Podczas obliczania optymalnego projektu, ekstrema na wykresie mogą wizualnie dać wyobrażenie o najlepszym rozwiązaniu złożonego problemu. Zadania tego rodzaju są częstosą rozwiązywane w gospodarce, w obszarach ekonomicznych, w wielu innych sytuacjach życiowych.
Z historii starożytnej
Ekstremalne problemy zajmowały nawet starożytnych mędrców. Greccy naukowcy z powodzeniem rozwikłali tajemnicę obszarów i objętości za pomocą obliczeń matematycznych. Jako pierwsi zrozumieli, że na płaszczyźnie różnych figur o tym samym obwodzie okrąg ma zawsze największą powierzchnię. Podobnie kula ma maksymalną objętość wśród innych obiektów w przestrzeni o tej samej powierzchni. Takie sławne osobistości jak Archimedes, Euklides, Arystoteles, Apoloniusz poświęciły się rozwiązywaniu takich problemów. Heronowi udało się bardzo dobrze znaleźć punkty ekstremalne, które, uciekając się do obliczeń, zbudowały genialne urządzenia. Obejmowały one automatyczne maszyny poruszające się za pomocą pary, pompy i turbiny działające na tej samej zasadzie.
Budowa Kartaginy
Istnieje legenda, której fabuła opiera się na rozwiązaniu jednego z ekstremalnych problemów. Efektem biznesowego podejścia zademonstrowanego przez fenicką księżniczkę, która zwróciła się o pomoc do mędrców, była budowa Kartaginy. Działka pod to starożytne i słynne miasto została podarowana Dydona (tak nazywał się władca) przywódca jednego z plemion afrykańskich. Powierzchnia działki nie wydawała mu się z początku bardzo duża, gdyż zgodnie z umową musiała być pokryta skórą wołową. Ale księżniczka kazała swoim żołnierzom pociąć go na cienkie paski i zrobić z nich pasek. Okazało się, że trwała tak długo, że obejmowała witrynę,gdzie mieści się całe miasto.
Początki rachunku różniczkowego
A teraz przejdźmy od czasów starożytnych do późniejszej epoki. Co ciekawe, spotkanie ze sprzedawcą wina skłoniło Keplera w XVII wieku do zrozumienia podstaw analizy matematycznej. Kupiec był tak dobrze zorientowany w swoim zawodzie, że mógł łatwo określić objętość napoju w beczce, po prostu opuszczając do niej żelazną opaskę uciskową. Zastanawiając się nad taką ciekawością, słynny naukowiec zdołał sam rozwiązać ten dylemat. Okazuje się, że zręczni bednarze tamtych czasów nauczyli się robić naczynia w taki sposób, aby przy określonej wysokości i promieniu obwodu pierścieni mocujących mieli maksymalną pojemność.
To był powód do dalszej refleksji Keplera. Bochars doszedł do optymalnego rozwiązania przez długie poszukiwania, błędy i nowe próby, przekazując swoje doświadczenie z pokolenia na pokolenie. Ale Kepler chciał przyspieszyć ten proces i nauczyć się robić to samo w krótkim czasie poprzez obliczenia matematyczne. Wszystkie jego opracowania, podchwycone przez kolegów, przekształciły się w znane obecnie twierdzenia Fermata i Newtona - Leibniza.
Problem z maksymalnym obszarem
Wyobraźmy sobie, że mamy drut o długości 50 cm. Jak zrobić z niego prostokąt o największej powierzchni?
Rozpoczynając decyzję, należy postępować od prostych i znanych prawd. Oczywiste jest, że obwód naszej figury wyniesie 50 cm, składa się również z dwukrotnej długości obu stron. Oznacza to, że po wyznaczeniu jednego z nich jako „X”, drugi może być wyrażony jako (25 - X).
Stamtąd otrzymujemyobszar równy X (25 - X). To wyrażenie może być reprezentowane jako funkcja, która przyjmuje wiele wartości. Rozwiązanie problemu wymaga znalezienia ich maksimum, co oznacza, że powinieneś znaleźć punkty ekstremum.
Aby to zrobić, znajdujemy pierwszą pochodną i przyrównujemy ją do zera. Rezultatem jest proste równanie: 25 - 2X=0.
Z tego dowiadujemy się, że jeden z boków X=12, 5.
Dlatego inny: 25 – 12, 5=12, 5.
Okazuje się, że rozwiązaniem problemu będzie kwadrat o boku 12,5 cm.
Jak znaleźć maksymalną prędkość
Rozważmy jeszcze jeden przykład. Wyobraź sobie, że istnieje ciało, którego ruch prostoliniowy jest opisany równaniem S=- t3 + 9t2 – 24t – 8, gdzie odległość przebyta droga jest wyrażona w metrach, a czas w sekundach. Wymagane jest znalezienie maksymalnej prędkości. Jak to zrobić? Pobrane znajdź prędkość, czyli pierwszą pochodną.
Otrzymujemy równanie: V=- 3t2 + 18t – 24. Teraz, aby rozwiązać problem, ponownie musimy znaleźć ekstrema. Należy to zrobić w taki sam sposób, jak w poprzednim zadaniu. Znajdź pierwszą pochodną prędkości i przyrównaj ją do zera.
Otrzymujemy: - 6t + 18=0. Stąd t=3 s. Jest to czas, w którym prędkość ciała nabiera krytycznej wartości. Otrzymane dane podstawiamy do równania prędkości i otrzymujemy: V=3 m/s.
Ale jak zrozumieć, że jest to dokładnie maksymalna prędkość, ponieważ krytycznymi punktami funkcji mogą być jej maksymalne lub minimalne wartości? Aby to sprawdzić, musisz znaleźć drugipochodna prędkości. Jest wyrażona jako liczba 6 ze znakiem minus. Oznacza to, że znaleziony punkt to maksimum. A w przypadku dodatniej wartości drugiej pochodnej byłoby minimum. Tak więc znalezione rozwiązanie okazało się poprawne.
Zadania podane jako przykład to tylko część zadań, które można rozwiązać, znajdując ekstrema funkcji. W rzeczywistości jest ich znacznie więcej. A taka wiedza otwiera nieograniczone możliwości dla cywilizacji ludzkiej.
