Metody wyznaczania równań prostych w płaszczyźnie i w przestrzeni trójwymiarowej

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Ostatnio zmodyfikowany: 2024-01-02 17:54

Linia prosta jest głównym obiektem geometrycznym na płaszczyźnie iw przestrzeni trójwymiarowej. To z linii prostych buduje się wiele figur, na przykład: równoległobok, trójkąt, graniastosłup, piramida i tak dalej. Rozważ w artykule różne sposoby ustawiania równań prostych.

Definicja prostej i rodzaje równań do jej opisu

Każdy uczeń ma dobre pojęcie o tym, o jakim obiekcie geometrycznym mówi. Prostą można przedstawić jako zbiór punktów, a jeśli połączymy każdy z nich po kolei ze wszystkimi innymi, to otrzymamy zbiór równoległych wektorów. Innymi słowy, możliwe jest dotarcie do każdego punktu prostej z jednego z jej punktów stałych, przenosząc go na jakiś wektor jednostkowy pomnożony przez liczbę rzeczywistą. Ta definicja linii prostej służy do zdefiniowania równości wektora dla jej matematycznego opisu zarówno na płaszczyźnie, jak iw przestrzeni trójwymiarowej.

Linia prosta może być matematycznie reprezentowana przez następujące typy równań:

ogólne;
wektor;
parametryczne;
w segmentach;
symetryczny (kanoniczny).

Następnie rozważymy wszystkie wymienione typy i pokażemy, jak z nimi pracować na przykładach rozwiązywania problemów.

Wektorowy i parametryczny opis linii prostej

Zacznijmy od zdefiniowania linii prostej przechodzącej przez znany wektor. Załóżmy, że istnieje stały punkt w przestrzeni M(x₀; y₀; z_{0). Wiadomo, że linia prosta przechodzi przez nią i jest skierowana wzdłuż odcinka wektora v¯(a; b; c). Jak znaleźć dowolny punkt linii z tych danych? Odpowiedź na to pytanie da następującą równość:}

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + λ(a; b; c)}

Gdzie λ jest dowolną liczbą.

Podobne wyrażenie można napisać dla przypadku dwuwymiarowego, w którym współrzędne wektorów i punktów są reprezentowane przez zbiór dwóch liczb:

(x; y)=(x₀; y_{0) + λ(a; b)}

Zapisane równania nazywają się równaniami wektorowymi, a sam odcinek skierowany v¯ jest wektorem kierunkowym dla linii prostej.

Z wyrażeń pisanych uzyskuje się w prosty sposób odpowiednie równania parametryczne, wystarczy je wyraźnie przepisać. Na przykład dla przypadku w przestrzeni otrzymujemy następujące równanie:

x=x_{0+ λa;}

y=y_{0+ λb;}

z=z_{0+ λc}

Wygodnie jest pracować z równaniami parametrycznymi, jeśli chcesz przeanalizować zachowaniekażdą współrzędną. Zauważ, że chociaż parametr λ może przyjmować dowolne wartości, musi być taki sam we wszystkich trzech równościach.

Równanie ogólne

Innym sposobem zdefiniowania linii prostej, często używanej do pracy z rozważanym obiektem geometrycznym, jest użycie równania ogólnego. Dla przypadku dwuwymiarowego wygląda to tak:

Ax + By + C=0

Tutaj wielkie litery łacińskie reprezentują określone wartości liczbowe. Wygoda tej równości w rozwiązywaniu problemów polega na tym, że wyraźnie zawiera wektor prostopadły do linii prostej. Jeśli oznaczymy to przez n¯, to możemy napisać:

n¯=[A; B]

Ponadto wyrażenie jest wygodne w użyciu do określenia odległości od linii prostej do pewnego punktu P(x₁; y_{1). Wzór na odległość d to:}

d=|Ax₁+ By₁+ C| / √(A²+ B²⁾

Łatwo pokazać, że jeśli wyrazimy jawnie zmienną y z ogólnego równania, otrzymamy następującą dobrze znaną formę zapisania prostej:

y=kx + b

Gdzie k i b są jednoznacznie określone przez liczby A, B, C.

Równanie segmentowe i kanoniczne

Przecięcie osi współrzędnych linii prostej

Równanie w segmentach jest najłatwiejsze do uzyskania z widoku ogólnego. Pokażemy Ci, jak to zrobić.

Załóżmy, że mamy następujący wiersz:

Ax + By + C=0

Przenieś wyraz wolny na prawą stronę równości, a następnie podziel przez niego całe równanie, otrzymamy:

Ax + By=-C;

x / (-C / A) + y / (-C / B)=1;

x / q + y / p=1, gdzie q=-C / A, p=-C / B

Uzyskaliśmy tak zwane równanie w segmentach. Swoją nazwę zawdzięcza temu, że mianownik, według którego dzielona jest każda zmienna, pokazuje wartość współrzędnej przecięcia linii z odpowiednią osią. Wygodnie jest wykorzystać ten fakt do zobrazowania linii prostej w układzie współrzędnych, a także do analizy jej względnego położenia w stosunku do innych obiektów geometrycznych (proste, punkty).

Teraz przejdźmy do uzyskania równania kanonicznego. Łatwiej to zrobić, jeśli weźmiemy pod uwagę opcję parametryczną. W przypadku samolotu mamy:

x=x_{0+ λa;}

y=y_{0+ λb}

Wyrażamy parametr λ w każdej równości, następnie zrównujemy je, otrzymujemy:

λ=(x - x_{0) / a;}

λ=(y - y_{0) / b;}

(x - x₀) / a=(y - y_{0) / b}

To jest pożądane równanie zapisane w formie symetrycznej. Podobnie jak wyrażenie wektorowe, zawiera jawnie współrzędne wektora kierunku i współrzędne jednego z punktów należących do prostej.

Widać, że w tym akapicie podaliśmy równania dla przypadku dwuwymiarowego. Podobnie możesz napisać równanie linii prostej w przestrzeni. Należy tutaj zauważyć, że jeśli forma kanonicznazapisy i wyrażenia w odcinkach będą miały tę samą postać, to ogólne równanie w przestrzeni dla prostej jest reprezentowane przez układ dwóch równań dla przecinających się płaszczyzn.

Problem konstrukcji równania prostej

Z geometrii każdy uczeń wie, że za pomocą dwóch punktów można narysować jedną linię. Załóżmy, że na płaszczyźnie współrzędnych podane są następujące punkty:

M_{1(1; 2);}

M_{2(-1; 3)}

Konieczne jest znalezienie równania prostej, do której należą oba punkty, w odcinkach, w postaci wektorowej, kanonicznej i ogólnej.

Najpierw zdobądźmy równanie wektorowe. Aby to zrobić, zdefiniuj dla wektora kierunku bezpośredniego M₁M_2¯:

M₁M_{2¯=(-1; 3) - (1; 2)=(-2; 1)}

Teraz możesz utworzyć równanie wektorowe, biorąc jeden z dwóch punktów określonych w opisie problemu, na przykład M_2:

(x; y)=(-1; 3) + λ(-2; 1)

Aby otrzymać równanie kanoniczne, wystarczy przekształcić znalezioną równość na postać parametryczną i wykluczyć parametr λ. Mamy:

x=-1 - 2λ, zatem λ=x + 1 / (-2);

y=3 + λ, to otrzymujemy λ=y - 3;

x + 1 / (-2)=(y - 3) / 1

Pozostałe dwa równania (ogólne i w segmentach) można znaleźć z równania kanonicznego, przekształcając je w następujący sposób:

x + 1=-2y + 6;

ogólne równanie: x + 2y - 5=0;

w równaniu segmentów: x / 5 + y / 2, 5=1

Wynikowe równania pokazują, że wektor (1; 2) musi być prostopadły do prostej. Rzeczywiście, jeśli znajdziesz jego iloczyn skalarny z wektorem kierunku, to będzie on równy zero. Równanie odcinka linii mówi, że linia przecina oś x w (5; 0) i oś y w (2, 5; 0).

Problem wyznaczenia punktu przecięcia linii

Dwie proste linie są podane na płaszczyźnie przez następujące równania:

2x + y -1=0;

(x; y)=(0; -1) + λ(-1; 3)

Konieczne jest określenie współrzędnych punktu, w którym te linie się przecinają.

Istnieją dwa sposoby rozwiązania problemu:

Przekształć równanie wektorowe w postać ogólną, a następnie rozwiąż układ dwóch równań liniowych.
Nie wykonuj żadnych przekształceń, ale po prostu wstaw współrzędną punktu przecięcia, wyrażoną przez parametr λ, do pierwszego równania. Następnie znajdź wartość parametru.

Zróbmy drugi sposób. Mamy: