Typowym problemem geometrycznym jest znalezienie kąta między liniami. Na płaszczyźnie, jeśli znane są równania linii, można je narysować, a kąt zmierzyć kątomierzem. Jest to jednak metoda pracochłonna i nie zawsze możliwa. Aby znaleźć nazwany kąt, nie trzeba rysować linii prostych, można go obliczyć. Ten artykuł odpowie, jak to się robi.
Prosta i jej równanie wektorowe
Każda linia prosta może być reprezentowana jako wektor, który zaczyna się od -∞ i kończy na +∞. W tym przypadku wektor przechodzi przez pewien punkt w przestrzeni. W ten sposób wszystkie wektory, które można narysować między dowolnymi dwoma punktami na linii prostej, będą do siebie równoległe. Ta definicja pozwala ustawić równanie prostej w postaci wektorowej:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(a; b; c)
Tutaj wektor o współrzędnych (a; b; c) jest przewodnikiem dla tej linii przechodzącej przez punkt (x0; y0; z0). Parametr α pozwala na przeniesienie wskazanego punktu na dowolny inny dla tej linii. To równanie jest intuicyjne i łatwe do pracy zarówno w przestrzeni 3D, jak i na płaszczyźnie. W przypadku płaszczyzny nie będzie zawierał współrzędnych z ani składnika wektora trzeciego kierunku.
Wygoda wykonywania obliczeń i badania względnego położenia linii prostych dzięki zastosowaniu równania wektorowego wynika z faktu, że znany jest jego wektor kierunkowy. Jego współrzędne są używane do obliczania kąta między liniami i odległości między nimi.
Ogólne równanie linii prostej na płaszczyźnie
Napiszmy bezpośrednio równanie wektorowe linii prostej dla przypadku dwuwymiarowego. Wygląda to tak:
x=x0+ αa;
y=y0+ αb
Teraz obliczamy parametr α dla każdej równości i przyrównujemy prawe części uzyskanych równości:
α=(x - x0)/a;
α=(y - y0)/b;
(x - x0)/a=(y - y0)/b
Otwarcie nawiasów i przeniesienie wszystkich warunków na jedną stronę równości, otrzymujemy:
1/ax +(-1/b)y+y0/b- x0/a=0=>
Ax + By + C=0, gdzie A=1/a, B=-1/b, C=y0/b- x 0/a
Wyrażenie wynikowe nazywa się ogólnym równaniem linii prostej podanej w przestrzeni dwuwymiarowej (w trójwymiarowej przestrzeni to równanie odpowiada płaszczyźnie równoległej do osi z, a nie linii prostej).
Jeżeli wyraźnie zapiszemy y do xw tym wyrażeniu, otrzymamy następującą postać, znanąkażdy uczeń:
y=kx + p, gdzie k=-A/B, p=-C/B
To równanie liniowe jednoznacznie definiuje linię prostą na płaszczyźnie. Bardzo łatwo go narysować według znanego równania, w tym celu należy kolejno wstawić x=0 i y=0, zaznaczyć odpowiednie punkty w układzie współrzędnych i narysować linię prostą łączącą otrzymane punkty.
Wzór kąta między liniami
Na płaszczyźnie dwie linie mogą się przecinać lub być do siebie równoległe. W kosmosie do tych opcji dodaje się możliwość istnienia linii skośnych. Bez względu na zaimplementowaną wersję względnego położenia tych jednowymiarowych obiektów geometrycznych, kąt między nimi zawsze można określić za pomocą następującego wzoru:
φ=arccos(|(v1¯v2¯)|/(|v1 ¯||v2¯|))
Gdzie v1¯ i v2¯ są wektorami prowadzącymi odpowiednio dla linii 1 i 2. Licznik jest modułem iloczynu skalarnego, aby wykluczyć kąty rozwarte i uwzględnić tylko kąty ostre.
Wektory v1¯ i v2¯ mogą być podane przez dwie lub trzy współrzędne, natomiast wzór na kąt φ pozostaje bez zmian.
Równoległość i prostopadłość linii
Jeżeli kąt między 2 liniami obliczony przy użyciu powyższego wzoru wynosi 0o, mówi się, że są one równoległe. Aby określić, czy linie są równoległe, czy nie, nie możesz obliczyć kątaφ, wystarczy pokazać, że jeden wektor kierunkowy może być reprezentowany przez podobny wektor innej prostej, czyli:
v1¯=qv2¯
Tu q to jakaś liczba rzeczywista.
Jeśli równania linii są podane jako:
y=k1x + p1,
y=k2x + p2,
wtedy będą one równoległe tylko wtedy, gdy współczynniki x są równe, czyli:
k1=k2
Ten fakt można udowodnić, jeśli weźmiemy pod uwagę, jak współczynnik k wyraża się za pomocą współrzędnych wektora kierunkowego prostej.
Jeżeli kąt przecięcia linii wynosi 90o, to są one nazywane prostopadłymi. Aby określić prostopadłość prostych, nie jest również konieczne obliczanie kąta φ, wystarczy do tego obliczyć tylko iloczyn skalarny wektorów v1¯ i v 2¯. Musi wynosić zero.
W przypadku przecinania się linii prostych w przestrzeni można również użyć wzoru na kąt φ. W takim przypadku wynik należy poprawnie zinterpretować. Obliczony φ pokazuje kąt między wektorami kierunkowymi linii, które się nie przecinają i nie są równoległe.
Zadanie 1. Linie prostopadłe
Wiadomo, że równania linii mają postać:
(x; y)=(1; 2) + α(1; 2);
(x; y)=(-4; 7) + β(-4; 2)
Konieczne jest ustalenie, czy te linie sąprostopadle.
Jak wspomniano powyżej, aby odpowiedzieć na pytanie, wystarczy obliczyć iloczyn skalarny wektorów prowadnic, które odpowiadają współrzędnym (1; 2) i (-4; 2). Mamy:
(1; 2)(-4; 2)=1(-4) + 22=0
Skoro otrzymaliśmy 0, oznacza to, że rozważane linie przecinają się pod kątem prostym, czyli są prostopadłe.
Zadanie 2. Kąt przecięcia linii
Wiadomo, że dwa równania dla linii prostych mają następującą postać:
y=2x - 1;
y=-x + 3
Konieczne jest znalezienie kąta między liniami.
Ponieważ współczynniki x mają różne wartości, te linie nie są równoległe. Aby znaleźć kąt, który powstaje, gdy się przecinają, tłumaczymy każde z równań na postać wektorową.
Dla pierwszej linii otrzymujemy:
(x; y)=(x; 2x - 1)
Po prawej stronie równania mamy wektor, którego współrzędne zależą od x. Przedstawmy to jako sumę dwóch wektorów, a współrzędne pierwszego będą zawierać zmienną x, a współrzędne drugiego będą składać się wyłącznie z liczb:
(x; y)=(x; 2x) + (0; - 1)=x(1; 2) + (0; - 1)
Ponieważ x przyjmuje dowolne wartości, można je zastąpić parametrem α. Równanie wektorowe dla pierwszego wiersza staje się:
(x; y)=(0; - 1) + α(1; 2)
Te same czynności wykonujemy z drugim równaniem prostej, otrzymujemy:
(x; y)=(x; -x + 3)=(x; -x) + (0; 3)=x(1; -1) + (0; 3)=>
(x; y)=(0; 3) + β(1; -1)
Przepisaliśmy oryginalne równania w postaci wektorowej. Teraz możesz skorzystać ze wzoru na kąt przecięcia, zastępując w nim współrzędne wektorów kierujących prostych:
(1; 2)(1; -1)=-1;
|(1; 2)|=√5;
|(1; -1)|=√2;
φ=arccos(|-1|/(√5√2))=71, 565o
Tak więc rozważane linie przecinają się pod kątem 71.565o, czyli 1.249 radianów.
Ten problem mógł zostać rozwiązany inaczej. W tym celu należało wziąć dwa dowolne punkty z każdej prostej, skomponować z nich wektory bezpośrednie, a następnie użyć wzoru na φ.
