Kiedy musisz rozwiązać problemy fizyki dotyczące ruchu obiektów, często przydatne okazuje się zastosowanie prawa zachowania pędu. Jaki jest pęd dla ruchu liniowego i kołowego ciała oraz jaka jest istota prawa zachowania tej wartości, omówiono w artykule.
Pojęcie pędu liniowego
Dane historyczne pokazują, że po raz pierwszy wartość ta została uwzględniona w jego pracach naukowych przez Galileo Galilei na początku XVII wieku. Następnie Isaac Newton był w stanie harmonijnie zintegrować pojęcie pędu (bardziej poprawna nazwa pędu) z klasyczną teorią ruchu obiektów w przestrzeni.
Oznacz pęd jako p¯, wtedy wzór na jego obliczenie będzie zapisany jako:
p¯=mv¯.
Tutaj m to masa, v¯ to prędkość (wartość wektora) ruchu. Ta równość pokazuje, że ilość ruchu jest charakterystyką prędkości obiektu, gdzie masa odgrywa rolę mnożnika. Liczba ruchówjest wielkością wektorową skierowaną w tym samym kierunku co prędkość.
Intuicyjnie, im większa prędkość ruchu i masa ciała, tym trudniej go zatrzymać, czyli tym większą ma energię kinetyczną.
Ilość ruchu i jego zmiana
Możesz zgadnąć, że aby zmienić wartość p¯ ciała, musisz przyłożyć pewną siłę. Niech siła F¯ działa w przedziale czasu Δt, wtedy prawo Newtona pozwala na zapisanie równości:
F¯Δt=ma¯Δt; zatem F¯Δt=mΔv¯=Δp¯.
Wartość równa iloczynowi przedziału czasu Δt i siły F¯ nazywana jest impulsem tej siły. Ponieważ okazuje się, że jest on równy zmianie pędu, ten ostatni jest często nazywany po prostu pędem, co sugeruje, że wytworzyła go jakaś siła zewnętrzna F¯.
Tak więc przyczyną zmiany pędu jest pęd siły zewnętrznej. Wartość Δp¯ może prowadzić zarówno do wzrostu wartości p¯, jeśli kąt między F¯ i p¯ jest ostry, jak i do spadku modułu p¯, jeśli kąt ten jest rozwarty. Najprostsze przypadki to przyspieszenie ciała (kąt między F¯ i p¯ wynosi zero) i jego opóźnienie (kąt między wektorami F¯ i p¯ wynosi 180o).
Kiedy pęd jest zachowany: prawo
Jeśli system ciała nie jestdziałają siły zewnętrzne, a wszystkie procesy w nim zachodzące są ograniczone jedynie mechanicznym oddziaływaniem jego składowych, wtedy każda składowa pędu pozostaje niezmieniona przez dowolnie długi czas. Jest to prawo zachowania pędu ciał, które jest matematycznie zapisane w następujący sposób:
p¯=∑ipi¯=const lub
∑ipix=const; ∑ipiy=const; ∑ipiz=const.
Indeks dolny i jest liczbą całkowitą, która wylicza obiekt układu, a indeksy x, y, z opisują składowe pędu dla każdej z osi współrzędnych w prostokątnym układzie kartezjańskim.
W praktyce często konieczne jest rozwiązywanie jednowymiarowych problemów dotyczących zderzenia ciał, gdy znane są warunki początkowe oraz konieczne jest określenie stanu układu po zderzeniu. W tym przypadku pęd jest zawsze zachowywany, czego nie można powiedzieć o energii kinetycznej. Te ostatnie przed i po uderzeniu pozostaną niezmienione tylko w jednym przypadku: kiedy zachodzi absolutnie elastyczna interakcja. W tym przypadku zderzenia dwóch ciał poruszających się z prędkościami v1 i v2, wzór na zachowanie pędu przyjmie postać:
m1 v1 + m2 v 2=m1 u1 + m2 u 2.
Tutaj prędkości u1 i u2 charakteryzują ruch ciał po zderzeniu. Zwróć uwagę, że w tej formie prawa konserwatorskiego konieczne jest uwzględnienie znaku prędkości: jeśli są one skierowane do siebie, należy wziąć pod uwagępozytywny i drugi negatywny.
W przypadku zderzenia idealnie niesprężystego (dwa ciała sklejają się po zderzeniu), prawo zachowania pędu ma postać:
m1 v1 + m2 v 2=(m1+ m2)u.
Rozwiązanie problemu dotyczącego prawa zachowania p¯
Rozwiążmy następujący problem: dwie kule toczą się ku sobie. Masy kulek są takie same, a ich prędkości wynoszą 5 m/s i 3 m/s. Zakładając, że dochodzi do zderzenia absolutnie sprężystego, konieczne jest wyznaczenie prędkości kulek po nim.
Używając zasady zachowania pędu dla przypadku jednowymiarowego i biorąc pod uwagę, że energia kinetyczna jest zachowana po uderzeniu, piszemy:
v1 - v2=u1 + u 2;
v12 + v22=u12 + u22.
Tutaj natychmiast zmniejszyliśmy masy kulek ze względu na ich równość, a także wzięliśmy pod uwagę fakt, że ciała zbliżają się do siebie.
Łatwiej jest kontynuować rozwiązywanie systemu, jeśli zastąpisz znane dane. Otrzymujemy:
5 - 3 - u2=u1;
52+ 32=u12+ u22.
Podstawiając u1 do drugiego równania, otrzymujemy:
2 - u2=u1;
34=(2 - u2)2+u2 2=4 - 4u2 + 2u22; W związku z tym,u22- 2u2 - 15=0.
Otrzymaliśmy klasyczne równanie kwadratowe. Rozwiązujemy to przez dyskryminację, otrzymujemy:
D=4 - 4(-15)=64.
u2=(2 ± 8) / 2=(5; -3) m/c.
Mamy dwa rozwiązania. Jeśli podstawimy je do pierwszego wyrażenia i zdefiniujemy u1, to otrzymamy następującą wartość: u1=-3 m/s, u 2=5 m/s; u1=5 m/s, u2=-3 m/s. Druga para liczb jest podana w stanie problemu, więc nie odpowiada rzeczywistemu rozkładowi prędkości po zderzeniu.
Z tego powodu pozostaje tylko jedno rozwiązanie: u1=-3 m/s, u2=5 m/s. Ten ciekawy wynik oznacza, że w centralnym zderzeniu sprężystym dwie kule o jednakowej masie po prostu zamieniają swoje prędkości.
Moment pędu
Wszystko, co zostało powiedziane powyżej, odnosi się do ruchu liniowego. Okazuje się jednak, że podobne wielkości można wprowadzić również w przypadku kołowego przemieszczenia ciał wokół określonej osi. Moment pędu, zwany też momentem pędu, jest obliczany jako iloczyn wektora łączącego punkt materialny z osią obrotu i pędu tego punktu. Oznacza to, że formuła ma miejsce:
L¯=r¯p¯, gdzie p¯=mv¯.
Pęd, podobnie jak p¯, jest wektorem skierowanym prostopadle do płaszczyzny zbudowanej na wektorach r¯ i p¯.
Wartość L¯ jest ważną cechą systemu wirującego, ponieważ określa energię, która jest w nim zmagazynowana.
Moment pędu i prawo zachowania
Pręd pędu jest zachowywany, jeśli na układ nie działają żadne siły zewnętrzne (zazwyczaj mówi się, że nie ma momentu sił). Wyrażenie z poprzedniego akapitu, poprzez proste przekształcenia, można zapisać w postaci wygodniejszej do praktyki:
L¯=Iω¯, gdzie I=mr2 to moment bezwładności punktu materialnego, ω¯ to prędkość kątowa.
Moment bezwładności I, który pojawił się w wyrażeniu, ma dokładnie takie samo znaczenie dla obrotu, jak zwykła masa dla ruchu liniowego.
Jeżeli zachodzi jakakolwiek wewnętrzna rearanżacja systemu, w której ja się zmieniam, to ω¯ również nie pozostaje stałe. Co więcej, zmiana w obu wielkościach fizycznych następuje w taki sposób, że poniższa równość pozostaje ważna:
I1 ω1¯=I2 ω 2¯.
To jest prawo zachowania momentu pędu L¯. Jej manifestację zaobserwowała każda osoba, która choć raz uczestniczyła w balecie lub łyżwiarstwie figurowym, gdzie sportowcy wykonują piruety z rotacją.
