Prawdopodobnie pojęcie pochodnej jest znane każdemu z nas od czasów szkolnych. Zwykle uczniowie mają trudności ze zrozumieniem tego, bez wątpienia bardzo ważnej rzeczy. Jest aktywnie wykorzystywany w różnych dziedzinach życia ludzi, a wiele opracowań inżynieryjnych opierało się właśnie na obliczeniach matematycznych uzyskanych za pomocą pochodnej. Ale zanim przejdziemy do analizy, czym są pochodne liczb, jak je obliczać i gdzie są dla nas przydatne, zanurzmy się w historii.
Historia
Koncepcję pochodnej, która jest podstawą analizy matematycznej, odkrył (lepiej powiedzieć „wynaleziony”, bo nie istniała w naturze jako taka) przez Isaaca Newtona, którego wszyscy znamy od odkrycia prawa powszechnego ciążenia. To on jako pierwszy zastosował tę koncepcję w fizyce, aby powiązać naturę prędkości i przyspieszenia ciał. I wielu naukowców wciąż chwali Newtona za ten wspaniały wynalazek, ponieważ w rzeczywistości wynalazł on podstawę rachunku różniczkowego i całkowego, w rzeczywistości podstawę całej dziedziny matematyki zwanej „rachunkiem różniczkowym”. Gdyby w tym czasie Nagrodę Nobla, Newton otrzymał ją z dużym prawdopodobieństwem kilka razy.
Nie bez innych wielkich umysłów. Z wyjątkiem NewtonaNad rozwojem pochodnej i całki pracowali tak wybitni geniusze matematyczni, jak Leonhard Euler, Louis Lagrange i Gottfried Leibniz. To dzięki nim otrzymaliśmy teorię rachunku różniczkowego w takiej formie, w jakiej istnieje do dziś. Nawiasem mówiąc, to Leibniz odkrył geometryczne znaczenie pochodnej, która okazała się niczym innym jak tangensem nachylenia stycznej do wykresu funkcji.
Co to są pochodne liczb? Powtórzmy trochę, przez co przeszliśmy w szkole.
Co to jest pochodna?
To pojęcie można zdefiniować na kilka różnych sposobów. Najprostszym wyjaśnieniem jest to, że pochodna to szybkość zmian funkcji. Wyobraź sobie wykres jakiejś funkcji y od x. Jeśli nie jest prosty, to ma na wykresie pewne krzywe, okresy wzrostu i spadku. Jeśli weźmiemy jakiś nieskończenie mały przedział tego wykresu, będzie to odcinek linii prostej. Zatem stosunek wielkości tego nieskończenie małego odcinka wzdłuż współrzędnej y do wielkości wzdłuż współrzędnej x będzie pochodną tej funkcji w danym punkcie. Jeśli rozważymy funkcję jako całość, a nie w określonym punkcie, to otrzymamy funkcję pochodną, czyli pewną zależność y od x.
Poza tym, oprócz fizycznego znaczenia pochodnej jako szybkości zmian funkcji, istnieje również znaczenie geometryczne. Porozmawiamy o nim teraz.
Zmysł geometryczny
Pochodne liczb same w sobie reprezentują pewną liczbę, która bez odpowiedniego zrozumienia nie zawieraBez sensu. Okazuje się, że pochodna pokazuje nie tylko tempo wzrostu lub spadku funkcji, ale także styczną nachylenia stycznej do wykresu funkcji w danym punkcie. Niezbyt jasna definicja. Przeanalizujmy to bardziej szczegółowo. Powiedzmy, że mamy wykres funkcji (dla zainteresowania weźmy krzywą). Ma nieskończoną liczbę punktów, ale są obszary, w których tylko jeden punkt ma maksimum lub minimum. Przez każdy taki punkt można narysować linię prostopadłą do wykresu funkcji w tym punkcie. Taka linia będzie nazywana styczną. Powiedzmy, że spędziliśmy go na przecięciu z osią OX. Zatem kąt uzyskany między styczną a osią OX będzie określony przez pochodną. Dokładniej, tangens tego kąta będzie mu równy.
Porozmawiajmy trochę o szczególnych przypadkach i przeanalizujmy pochodne liczb.
Przypadki specjalne
Jak już powiedzieliśmy, pochodne liczb to wartości pochodnej w określonym punkcie. Na przykład weźmy funkcję y=x2. Pochodna x jest liczbą, aw ogólnym przypadku funkcją równą 2x. Jeśli musimy obliczyć pochodną, powiedzmy, w punkcie x0=1, to otrzymujemy y'(1)=21=2. Wszystko jest bardzo proste. Ciekawym przypadkiem jest pochodna liczby zespolonej. Nie będziemy wchodzić w szczegółowe wyjaśnienie, czym jest liczba zespolona. Powiedzmy, że jest to liczba zawierająca tak zwaną jednostkę urojoną - liczbę, której kwadrat wynosi -1. Obliczenie takiej pochodnej jest możliwe tylko wtedy, gdy:warunki:
1) Muszą istnieć pochodne cząstkowe pierwszego rzędu części rzeczywistych i urojonych względem Y i X.
2) Warunki Cauchy'ego-Riemanna związane z równością pochodnych cząstkowych opisane w pierwszym akapicie są spełnione.
Kolejny interesujący przypadek, choć nie tak skomplikowany jak poprzedni, to pochodna liczby ujemnej. W rzeczywistości każdą liczbę ujemną można przedstawić jako liczbę dodatnią pomnożoną przez -1. Cóż, pochodna stałej i funkcji jest równa stałej pomnożonej przez pochodną funkcji.
Ciekawe będzie poznanie roli pochodnej w życiu codziennym io tym teraz będziemy dyskutować.
Aplikacja
Prawdopodobnie każdy z nas przynajmniej raz w życiu przyłapie się na myśleniu, że matematyka raczej mu nie przyda. A tak skomplikowana rzecz, jak pochodna, prawdopodobnie w ogóle nie ma zastosowania. W rzeczywistości matematyka jest nauką podstawową, a wszystkie jej owoce rozwijają głównie fizyka, chemia, astronomia, a nawet ekonomia. Pochodna była początkiem analizy matematycznej, która dała nam możliwość wyciągania wniosków z wykresów funkcji i dzięki temu nauczyliśmy się interpretować prawa natury i obracać je na naszą korzyść.
Wniosek
Oczywiście nie każdy może potrzebować pochodnej w prawdziwym życiu. Ale matematyka rozwija logikę, która z pewnością będzie potrzebna. Nie bez powodu matematykę nazywa się królową nauk: stanowi podstawę zrozumienia innych dziedzin wiedzy.
