Powierzchnia boczna zwykłego i ściętego stożka. Wzory i przykład rozwiązania problemu

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Ostatnio zmodyfikowany: 2023-12-17 05:38

Rozważając figury w kosmosie, często pojawiają się problemy z określeniem ich powierzchni. Jedną z takich postaci jest stożek. Zastanów się w artykule, jaka jest boczna powierzchnia stożka o okrągłej podstawie, a także stożka ściętego.

Stożek z okrągłą podstawą

Zanim przejdziemy do rozważań na temat powierzchni bocznej stożka, pokażemy jaki to jest kształt i jak go uzyskać metodami geometrycznymi.

Weź trójkąt prostokątny ABC, gdzie AB i AC to nogi. Umieśćmy ten trójkąt na odnodze AC i obróćmy go wokół odnogi AB. W rezultacie boki AC i BC opisują dwie powierzchnie rysunku pokazanego poniżej.

Liczba uzyskana przez obrót nazywana jest okrągłym prostym stożkiem. Jest okrągły, ponieważ jego podstawa jest kołem, a prosty, ponieważ prostopadła narysowana od góry figury (punkt B) przecina okrąg w jego środku. Długość tej prostopadłej nazywamy wysokością. Oczywiście jest to noga AB. Wysokość jest zwykle oznaczana literą h.

Oprócz wysokości, rozpatrywany stożek jest opisany przez dwie dodatkowe cechy liniowe:

• generowanie lub generatrix (hipotenuse BC);
• promień podstawy (noga AC).

Promień będzie oznaczony literą r, a generator przez g. Następnie, biorąc pod uwagę twierdzenie Pitagorasa, możemy zapisać równość ważną dla rozważanej figury:

g²=h²+ r²

Powierzchnia stożkowa

Całość wszystkich tworzących tworzy stożkową lub boczną powierzchnię stożka. Z wyglądu trudno powiedzieć, której płaskiej sylwetce odpowiada. Ta ostatnia jest ważna przy określaniu obszaru powierzchni stożkowej. Aby rozwiązać ten problem, stosuje się metodę przeciągnięcia. Polega na tym, że powierzchnia jest mentalnie przecięta wzdłuż dowolnej tworzącej, a następnie jest rozkładana na płaszczyźnie. Dzięki tej metodzie uzyskiwania przeciągnięcia powstaje następująca płaska figura.

Jak można się domyślić, okrąg odpowiada podstawie, ale sektor kołowy jest powierzchnią stożkową, której obszarem jesteśmy zainteresowani. Sektor jest ograniczony przez dwie tworzące i łuk. Długość tego ostatniego jest dokładnie równa obwodowi (długości) obwodu podstawy. Te cechy jednoznacznie określają wszystkie właściwości sektora cyrkularnego. Nie podamy pośrednich obliczeń matematycznych, ale od razu spiszemy ostateczną formułę, za pomocą której można obliczyć pole powierzchni bocznej stożka. Formuła to:

S_b=pigr

Pole powierzchni stożkowej S_bjest równe iloczynowi dwóch parametrów i Pi.

Ścięty stożek i jego powierzchnia

Jeśli weźmiemy zwykły stożek i odetniemy jego wierzch równoległą płaszczyzną, pozostałą figurą będzie stożek ścięty. Jego boczną powierzchnię ograniczają dwie okrągłe podstawy. Oznaczmy ich promienie jako R i r. Wysokość figury oznaczamy przez h, a tworzącą przez g. Poniżej znajduje się wycięcie z papieru dla tej figury.

Widać, że powierzchnia boczna nie jest już wycinkiem kołowym, ma mniejszą powierzchnię, ponieważ część środkowa została z niej odcięta. Rozbudowa ogranicza się do czterech linii, dwie z nich to generatory odcinków prostych, dwie pozostałe to łuki o długościach odpowiadających im okręgów podstaw stożka ściętego.

Powierzchnia boczna S_bobliczona w następujący sposób:

S_b=pig(r + R)

Generatrix, promienie i wysokość są powiązane następującą równością:

g²=h²+ (R - r)²

Problem z równością obszarów figur

Biorąc pod uwagę stożek o wysokości 20 cm i promieniu podstawy 8 cm, konieczne jest znalezienie wysokości stożka ściętego, którego powierzchnia boczna będzie miała taką samą powierzchnię jak ten stożek. Figura ścięty jest zbudowany na tej samej podstawie, a promień górnej podstawy wynosi 3 cm.

Przede wszystkim zapiszmy warunek równości pól stożka i figury ściętej. Mamy:

S_b1=S_b2=>

pig₁R=pig₂(r + R)

Teraz napiszmy wyrażenia dla tworzących każdego kształtu:

g₁=√(R²+ h₁²);

g₂=√((R-r)² + h₂ ²)

Podstawiamy g₁ i g₂ do wzoru na równe pola i kwadrat po lewej i prawej stronie, otrzymujemy:

R²(R²+ h₁²)=((R-r)²+ h₂²)(r + R)²

Gdzie otrzymujemy wyrażenie na h₂:

h₂=√(R²(R²+ h 12^{)/(r + R)}2^{- (R - r)}2 ⁾

Nie będziemy upraszczać tej równości, ale po prostu podstawiamy dane znane z warunku:

h₂=√(8²(8²+ 202^{)/(3 + 8)}2^{- (8 - 3)}2^{) ≈14,85 cm}

Tak więc, aby zrównać pola powierzchni bocznych figur, stożek ścięty musi mieć parametry: R=8 cm, r=3 cm, h₂14, 85 cm