Podczas badania ich cech i właściwości zwraca się szczególną uwagę na figury rewolucji w geometrii. Jednym z nich jest stożek ścięty. Ten artykuł ma na celu odpowiedź na pytanie, jakiego wzoru można użyć do obliczenia powierzchni stożka ściętego.
O której postaci mówimy?
Przed opisaniem obszaru stożka ściętego należy podać dokładną definicję geometryczną tej figury. Ścięty jest taki stożek, który uzyskuje się w wyniku odcięcia wierzchołka zwykłego stożka przez płaszczyznę. W tej definicji należy podkreślić szereg niuansów. Po pierwsze, płaszczyzna przekroju musi być równoległa do płaszczyzny podstawy stożka. Po drugie, oryginalna figura musi być okrągłym stożkiem. Oczywiście może to być figura eliptyczna, hiperboliczna i innego typu, ale w tym artykule ograniczymy się do rozważenia jedynie okrągłego stożka. To ostatnie pokazano na poniższym rysunku.
Łatwo się domyślić, że można go uzyskać nie tylko za pomocą odcinka samolotem, ale także za pomocą operacji obrotu. DoAby to zrobić, musisz wziąć trapez, który ma dwa kąty proste i obrócić go wokół boku, który sąsiaduje z tymi kątami prostymi. W rezultacie podstawy trapezu staną się promieniami podstaw ściętego stożka, a boczna nachylona strona trapezu będzie opisywała powierzchnię stożkową.
Rozwój kształtu
Biorąc pod uwagę powierzchnię stożka ściętego, warto przybliżyć jego rozwinięcie, czyli obraz powierzchni trójwymiarowej figury na płaszczyźnie. Poniżej znajduje się skan badanej figury z dowolnymi parametrami.
Widać, że obszar figury tworzą trzy elementy: dwa koła i jeden ścięty segment koła. Oczywiście, aby określić wymagany obszar, konieczne jest zsumowanie obszarów wszystkich wymienionych figur. Rozwiążmy ten problem w następnym akapicie.
Obszar ściętego stożka
Aby ułatwić zrozumienie poniższego rozumowania, wprowadzamy następującą notację:
- r1, r2 - promienie odpowiednio dużej i małej podstawy;
- h - wysokość figury;
- g - tworząca stożka (długość skośnej strony trapezu).
Obszar podstawy ściętego stożka jest łatwy do obliczenia. Napiszmy odpowiednie wyrażenia:
So1=pir12;
So2=pir22.
Powierzchnia części segmentu kołowego jest nieco trudniejsza do określenia. Jeśli wyobrazimy sobie, że środek tego okrągłego sektora nie jest wycięty, to jego promień będzie równy wartości G. Obliczenie tego nie jest trudne, jeśli weźmiemy pod uwagę odpowiednipodobne prostokątne trójkąty stożkowe. Jest równy:
G=r1g/(r1-r2).
Wtedy obszar całego sektora kołowego, który jest zbudowany na promieniu G i opiera się na łuku o długości 2pir1, będzie równy do:
S1=pir1G=pir1 2g/(r1-r2).
Teraz określmy obszar małego okrągłego sektora S2, który trzeba będzie odjąć od S1. Jest równy:
S2=pir2(G - g)=pir2 (r1g/(r1-r2) - g)=pir22g/(r1-r2 ).
Obszar stożkowej ściętej powierzchni Sbjest równy różnicy między S1 i S 2. Otrzymujemy:
Sb=S1- S2=pir 12g/(r1-r2) - pi r22g/(r1-r2)=pig(r1+r2).
Pomimo kłopotliwych obliczeń otrzymaliśmy dość proste wyrażenie na pole powierzchni bocznej figury.
Dodając pola podstawy i Sb, otrzymujemy wzór na pole ściętego stożka:
S=So1+ So2+ Sb=pir 12 + pir22 + pig (r1+r2).
Tak więc, aby obliczyć wartość S badanej figury, musisz znać jej trzy parametry liniowe.
Przykładowy problem
Okrągły prosty stożeko promieniu 10 cm i wysokości 15 cm odcięto płaszczyzną tak, aby uzyskać regularny stożek ścięty. Wiedząc, że odległość między podstawami obciętej figury wynosi 10 cm, konieczne jest wyznaczenie jej pola powierzchni.
Aby użyć wzoru na powierzchnię stożka ściętego, musisz znaleźć trzy jego parametry. Jeden, który znamy:
r1=10 cm.
Pozostałe dwa są łatwe do obliczenia, jeśli weźmiemy pod uwagę podobne trójkąty prostokątne, które otrzymujemy w wyniku osiowego przekroju stożka. Biorąc pod uwagę stan problemu, otrzymujemy:
r2=105/15=3,33 cm.
Na koniec prowadnicą stożka ściętego g będzie:
g=√(102+ (r1-r2) 2)=12,02 cm.
Teraz możesz podstawić wartości r1, r2 i g do wzoru na S:
S=pir12+ pir2 2+ pig(r1+r2)=851,93 cm 2.
Pożądana powierzchnia figury wynosi około 852 cm2.
