Wzór do określania objętości stożka. Przykład rozwiązania problemu

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Ostatnio zmodyfikowany: 2023-12-17 05:38

Każdy uczeń studiujący stereometrię w liceum natknął się na pachołek. Dwie ważne cechy tej figury przestrzennej to powierzchnia i objętość. W tym artykule pokażemy, jak obliczyć objętość okrągłego stożka.

Okrągły stożek jako figura obrotu trójkąta prostokątnego

Przed przejściem bezpośrednio do tematu artykułu należy opisać stożek z geometrycznego punktu widzenia.

Niech będzie jakiś trójkąt prostokątny. Jeśli obrócisz go wokół którejkolwiek z nóg, wynikiem tego działania będzie pożądana figura, pokazana na poniższym rysunku.

Tutaj noga AB jest częścią osi stożka, a jej długość odpowiada wysokości figury. Druga noga (segment CA) będzie promieniem stożka. Podczas rotacji opisze okrąg, który ogranicza podstawę figury. Przeciwprostokątna BC nazywana jest tworzącą figury lub jej tworzącą. Punkt B jest jedynym wierzchołkiem stożka.

Biorąc pod uwagę własności trójkąta ABC, możemy zapisać zależność między tworzącą g, promieniem r i wysokością h w następujący sposóbrówność:

g²=h²+ r²

Ta formuła jest przydatna w rozwiązywaniu wielu problemów geometrycznych z daną figurą.

Formuła objętości stożka

Objętość dowolnej figury przestrzennej to obszar przestrzeni, który jest ograniczony przez powierzchnie tej figury. Na stożek są dwie takie powierzchnie:

1. Boczne lub stożkowe. Tworzą go wszystkie pokolenia.
2. Fundacja. W tym przypadku jest to okrąg.

Pobierz wzór na określenie objętości stożka. Aby to zrobić, mentalnie pocięliśmy go na wiele warstw równoległych do podstawy. Każda z warstw ma grubość dx, która dąży do zera. Obszar S_x warstwy w odległości x od wierzchołka figury jest równy następującemu wyrażeniu:

S_x=pir²x²/h ²

Ważność tego wyrażenia można zweryfikować intuicyjnie, podstawiając wartości x=0 i x=h. W pierwszym przypadku otrzymamy powierzchnię równą zeru, w drugim przypadku będzie ona równa powierzchni okrągłej podstawy.

Aby określić objętość stożka, musisz zsumować małe „objętości” każdej warstwy, to znaczy, powinieneś użyć rachunku całkowego:

V=∫₀^h(pir²x ²/h²dx)=pir²/h² ∫₀^h(x²dx)

Obliczając tę całkę, dochodzimy do końcowego wzoru na okrągły stożek:

V=1/3pir²h

Ciekawe, że ten wzór jest całkowicie podobny do tego, który służy do obliczania objętości arbitralnej piramidy. Ten zbieg okoliczności nie jest przypadkowy, ponieważ każda piramida staje się stożkiem, gdy liczba jej krawędzi wzrasta do nieskończoności.

Problem z obliczaniem objętości

Przydatne jest podanie przykładu rozwiązania problemu, który zademonstruje zastosowanie wyprowadzonego wzoru dla objętości V.

Biorąc pod uwagę okrągły stożek, którego powierzchnia podstawowa wynosi 37 cm², a generator figury jest trzykrotnie większy od promienia. Jaka jest objętość stożka?

Mamy prawo użyć wzoru na objętość, jeśli znamy dwie wielkości: wysokość h i promień r. Znajdźmy formuły, które je określają zgodnie ze stanem problemu.

Promień r można obliczyć znając powierzchnię koła S_o, mamy:

S_o=pir²=>

r=√(S_o/pi)

Korzystając z warunku problemu, zapisujemy równość dla generatora g:

g=3r=3√(S_o/pi)

Znając wzory na r i g, oblicz wysokość h:

h=√(g²- r²)=√(9S_o /pi - S_o/pi)=√(8S_o/pi)

Znaleźliśmy wszystkie niezbędne parametry. Teraz nadszedł czas, aby podłączyć je do wzoru na V:

V=1/3pir²h=1/3piS_o/pi√ (8S_o/pi)=S_o/3√(8S_o /pi)

Pozostaje do zastąpieniaobszar bazowy S_o i obliczyć wartość objętości: V=119,75 cm³.