Wyprowadzenie wzoru na pole powierzchni stożka. Przykład rozwiązania problemu

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Ostatnio zmodyfikowany: 2023-12-17 05:38

Badanie właściwości figur przestrzennych odgrywa ważną rolę w rozwiązywaniu praktycznych problemów. Nauka zajmująca się figurami w przestrzeni nazywa się stereometrią. W tym artykule z punktu widzenia geometrii bryłowej rozważymy stożek i pokażemy jak znaleźć pole powierzchni stożka.

Stożek z okrągłą podstawą

W ogólnym przypadku stożek jest powierzchnią zbudowaną na pewnej płaskiej krzywej, której wszystkie punkty są połączone segmentami z jednym punktem w przestrzeni. Ten ostatni nazywa się wierzchołkiem stożka.

Z powyższej definicji jasno wynika, że krzywa może mieć dowolny kształt, na przykład paraboliczny, hiperboliczny, eliptyczny i tak dalej. Niemniej jednak w praktyce i w problemach geometrycznych często spotyka się okrągły stożek. Jest to pokazane na poniższym obrazku.

Tutaj symbol r oznacza promień okręgu znajdującego się u podstawy figury, h jest prostopadłą do płaszczyzny okręgu, która jest rysowana od góry figury. Nazywa się to wzrostem. Wartość s jest tworzącą stożka lub jego tworzącą.

Widać, że segmenty r, h i stworzą trójkąt prostokątny. Jeśli zostanie obrócony wokół nogi h, to przeciwprostokątna s opisuje powierzchnię stożkową, a noga r tworzy okrągłą podstawę figury. Z tego powodu stożek uważany jest za figurę rewolucji. Trzy nazwane parametry liniowe są połączone równością:

s²=r²+ h²

Zauważ, że podana równość jest ważna tylko dla okrągłego prostego stożka. Postać prosta występuje tylko wtedy, gdy jej wysokość przypada dokładnie na środek okręgu podstawowego. Jeśli ten warunek nie jest spełniony, figura nazywa się ukośną. Różnicę między stożkami prostymi i ukośnymi pokazano na poniższym rysunku.

Rozwój kształtu

Badanie powierzchni stożka jest wygodne do przeprowadzenia, biorąc pod uwagę go na płaszczyźnie. Ten sposób przedstawiania powierzchni postaci w przestrzeni nazywamy ich rozwojem. W przypadku stożka rozwój ten można uzyskać w następujący sposób: musisz wziąć figurę wykonaną na przykład z papieru. Następnie nożyczkami odetnij okrągłą podstawę na obwodzie. Następnie wzdłuż tworzącej wykonaj cięcie powierzchni stożkowej i zamień ją w płaszczyznę. Wynikiem tych prostych operacji będzie rozwój stożka, pokazany na poniższym rysunku.

Jak widać, powierzchnię stożka rzeczywiście można przedstawić na płaszczyźnie. Składa się z następujących dwóch części:

• okrąg o promieniu r reprezentującym podstawę figury;
• sektor kołowy o promieniu g, który jest powierzchnią stożkową.

Wzór na pole powierzchni stożka polega na znalezieniu pól obu rozłożonych powierzchni.

Oblicz powierzchnię figury

Podzielmy zadanie na dwa etapy. Najpierw znajdujemy obszar podstawy stożka, następnie obszar powierzchni stożka.

Pierwsza część problemu jest łatwa do rozwiązania. Ponieważ podany jest promień r, wystarczy przypomnieć odpowiednie wyrażenie dla obszaru koła, aby obliczyć obszar podstawy. Zapiszmy to:

S_o=pi × r²

Jeżeli promień nie jest znany, należy go najpierw znaleźć, korzystając ze wzoru zależności między nim, wysokością i generatorem.

Druga część problemu znalezienia obszaru stożka jest nieco bardziej skomplikowana. Zauważ, że sektor kołowy jest zbudowany na promieniu g tworzącej i jest ograniczony łukiem, którego długość jest równa obwodowi koła. Fakt ten pozwala na zapisanie proporcji i znalezienie kąta rozważanego sektora. Oznaczmy to grecką literą φ. Ten kąt będzie równy:

2 × pi=>2 × pi × g;

φ=> 2 × pi × r;

φ=2 × pi × r / g

Znając kąt środkowy φ wycinka koła, możesz użyć odpowiedniej proporcji, aby znaleźć jego powierzchnię. Oznaczmy to symbolem S_b. Będzie równa:

2 × pi=>pi × g²;

φ=> S_b;

S_b=pi × g² × φ / (2 × pi)=pi × r × g

Oznacza to, że pole powierzchni stożkowej odpowiada iloczynowi tworzącej g, promienia podstawy r i liczby Pi.

Wiedza o obszarach oburozważane powierzchnie, możemy zapisać ostateczny wzór na pole powierzchni stożka:

S=S_o+ S_b=pi × r²+ pi × r × g=pi × r × (r + g)

Wyrażenie pisemne zakłada znajomość dwóch liniowych parametrów stożka do obliczenia S. Jeśli g lub r są nieznane, można je znaleźć poprzez wysokość h.

Problem obliczania powierzchni stożka

Wiadomo, że wysokość okrągłego prostego stożka jest równa jego średnicy. Konieczne jest obliczenie powierzchni figury, wiedząc, że powierzchnia jej podstawy wynosi 50 cm².

Znając obszar koła, możesz znaleźć promień figury. Mamy:

S_o=pi × r²=>

r=√(S_o /pi)

Teraz znajdźmy generator g w kategoriach h i r. Zgodnie z warunkiem wysokość h figury jest równa dwóm promieniom r, wtedy:

h=2 × r;

g²=(2 × r)²+ r²=>

g=√5 × r=√(5 × S_o /pi)

Znalezione wzory na g i r należy podstawić do wyrażenia dla całej powierzchni stożka. Otrzymujemy:

S=S_o+ pi × √(S_o / pi) × √(5 × S _o /pi)=S_o × (1 + √5)

Do otrzymanego wyrażenia podstawiamy obszar podstawy S_o i zapisujemy odpowiedź: S ≈ 161,8 cm².