Powierzchnia prostego pryzmatu: wzory i przykład problemu

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Ostatnio zmodyfikowany: 2024-01-02 17:54

Objętość i powierzchnia to dwie ważne cechy każdego ciała, które ma skończone wymiary w przestrzeni trójwymiarowej. W tym artykule rozważymy dobrze znaną klasę wielościanów - pryzmaty. W szczególności zostanie ujawnione pytanie, jak znaleźć pole powierzchni pryzmatu prostego.

Co to jest pryzmat?

Graniastosłup to dowolny wielościan ograniczony kilkoma równoległobokami i dwoma identycznymi wielokątami umieszczonymi w równoległych płaszczyznach. Te wielokąty są uważane za podstawy figury, a jej równoległoboki są bokami. Ilość boków (rogów) podstawy określa nazwę figurki. Na przykład poniższy rysunek przedstawia pryzmat pięciokątny.

Odległość między podstawami nazywana jest wysokością figury. Jeśli wysokość jest równa długości dowolnej krawędzi bocznej, taki pryzmat będzie prosty. Drugą wystarczającą cechą prostego pryzmatu jest to, że wszystkie jego boki są prostokątami lub kwadratami. Jeśli jednakJeśli jedna strona jest ogólnym równoległobokiem, postać będzie nachylona. Poniżej możesz zobaczyć, jak pryzmaty proste i ukośne różnią się wizualnie na przykładzie figur czworokątnych.

Powierzchnia prostego pryzmatu

Jeżeli figura geometryczna ma podstawę n-kątną, to składa się z n+2 ścian, z których n to prostokąty. Oznaczmy długości boków podstawy jako a_i, gdzie i=1, 2, …, n i oznaczmy wysokość figury, która jest równa długości krawędź boczna, jak wys. Aby określić obszar (S) powierzchni wszystkich ścian, dodaj obszar S_{o każdej z podstaw i wszystkie obszary boków (prostokąty). Zatem wzór na S w postaci ogólnej można zapisać w następujący sposób:}

S=2S_o+ S_b

Gdzie S_{b to powierzchnia boczna.}

Ponieważ podstawą prostego graniastosłupa może być absolutnie dowolny płaski wielokąt, to nie można podać jednego wzoru na obliczenie S_{o, a do określenia tej wartości ogólnie przypadku należy przeprowadzić analizę geometryczną. Na przykład, jeśli podstawą jest regularny n-kąt o boku a, to jego powierzchnię oblicza się według wzoru:}

S_o=n/4ctg(pi/n)a²

Jeśli chodzi o wartość S_{b, można podać wyrażenie do jej obliczenia. Powierzchnia boczna pryzmatu prostego to:}

S_b=h∑_i=1(a_i)

To jest wartośćS_{b oblicza się jako iloczyn wysokości figury i obwodu jej podstawy.}

Przykład rozwiązywania problemów

Zastosujmy nabytą wiedzę do rozwiązania następującego problemu geometrycznego. Biorąc pod uwagę pryzmat, którego podstawą jest trójkąt prostokątny o bokach pod kątem prostym 5 cm i 7 cm, wysokość figury wynosi 10 cm, konieczne jest znalezienie pola powierzchni prawego trójkątnego pryzmatu.

Najpierw obliczmy przeciwprostokątną trójkąta. Będzie równa:

c=√(5²+ 7^{2)=8,6 cm}

Teraz zróbmy jeszcze jedną przygotowawczą operację matematyczną - oblicz obwód bazy. Będzie to:

P=5 + 7 + 8,6=20,6 cm

Pole powierzchni bocznej figury oblicza się jako iloczyn wartości P i wysokości h=10 cm, czyli S_b=206 cm ^2.

Aby znaleźć obszar całej powierzchni, do znalezionej wartości należy dodać dwa obszary bazowe. Ponieważ obszar trójkąta prostokątnego jest określony przez połowę iloczynu nóg, otrzymujemy:

2S_o=257/2=35cm²

Wtedy otrzymujemy, że powierzchnia prostego trójkątnego graniastosłupa wynosi 35 + 206=241 cm2.