Obszar powierzchni bocznej i objętość ostrosłupa ściętego: wzory i przykład rozwiązania typowego problemu

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Ostatnio zmodyfikowany: 2024-01-02 17:54

Badając właściwości figur w przestrzeni trójwymiarowej w ramach stereometrii, często trzeba rozwiązywać problemy związane z określeniem objętości i pola powierzchni. W tym artykule pokażemy, jak obliczyć objętość i powierzchnię boczną dla ostrosłupa ściętego przy użyciu dobrze znanych wzorów.

Piramida w geometrii

W geometrii zwykła piramida to figura w przestrzeni zbudowana na jakimś płaskim n-kącie. Wszystkie jego wierzchołki są połączone z jednym punktem znajdującym się poza płaszczyzną wielokąta. Na przykład tutaj jest zdjęcie przedstawiające pięciokątną piramidę.

Tę figurę tworzą twarze, wierzchołki i krawędzie. Twarz pięciokątna nazywana jest podstawą. Pozostałe trójkątne powierzchnie tworzą powierzchnię boczną. Punktem przecięcia wszystkich trójkątów jest główny wierzchołek piramidy. Jeśli pion jest obniżony z niego do podstawy, możliwe są dwie opcje położenia punktu przecięcia:

• w geometrycznym środku, piramida nazywana jest linią prostą;
• nie wgeometryczny środek, wtedy figura będzie ukośna.

Ponadto rozważymy tylko liczby proste o regularnej podstawie n-kątnej.

Co to za figura - ścięta piramida?

Aby określić objętość ściętej piramidy, konieczne jest jasne zrozumienie, o którą figurę chodzi konkretnie. Wyjaśnijmy ten problem.

Załóżmy, że bierzemy płaszczyznę cięcia równoległą do podstawy zwykłej piramidy i odcinamy nią część bocznej powierzchni. Jeśli tę operację wykonamy z pięciokątną piramidą pokazaną powyżej, otrzymamy taką figurę jak na poniższym rysunku.

Na zdjęciu widać, że ta piramida ma już dwie podstawy, a górna jest podobna do dolnej, ale jest mniejsza. Powierzchnia boczna nie jest już reprezentowana przez trójkąty, ale przez trapezy. Są równoramienne, a ich liczba odpowiada liczbie boków podstawy. Figura ścięta nie ma głównego wierzchołka, jak w przypadku regularnej piramidy, a jej wysokość określa odległość między równoległymi podstawami.

W ogólnym przypadku, jeśli rozważana figura jest utworzona przez podstawy n-boczne, ma n+2 ścian lub boków, 2n wierzchołków i 3n krawędzi. Oznacza to, że ścięta piramida jest wielościanem.

Wzór objętości ściętej piramidy

Przypomnij sobie, że objętość zwykłej piramidy wynosi 1/3 iloczynu jej wysokości i powierzchni podstawy. Ta formuła nie jest odpowiednia dla ściętej piramidy, ponieważ ma dwie podstawy. I jego objętośćzawsze będzie mniejsza niż ta sama wartość dla zwykłej liczby, z której została wyprowadzona.

Nie wchodząc w matematyczne szczegóły uzyskania wyrażenia, przedstawiamy ostateczny wzór na objętość ściętej piramidy. Jest napisany w następujący sposób:

V=1/3h(S₁+ S₂+ √(S₁ S₂₎₎

Tutaj S₁ i S_{2 to odpowiednio obszary dolnej i górnej podstawy, h to wysokość figury. Wyrażenie pisane jest ważne nie tylko dla prostej regularnej ściętej piramidy, ale także dla dowolnej figury tej klasy. Co więcej, niezależnie od rodzaju wielokątów bazowych. Jedynym warunkiem ograniczającym użycie wyrażenia na V jest konieczność równoległości podstaw piramidy.}

Na podstawie właściwości tej formuły można wyciągnąć kilka ważnych wniosków. Tak więc, jeśli powierzchnia górnej podstawy wynosi zero, dochodzimy do wzoru na V zwykłej piramidy. Jeżeli pola podstaw są sobie równe, to otrzymujemy wzór na objętość pryzmatu.

Jak określić powierzchnię boczną?

Poznanie właściwości ściętej piramidy wymaga nie tylko umiejętności obliczania jej objętości, ale także umiejętności określenia pola powierzchni bocznej.

Skrócona piramida składa się z dwóch typów twarzy:

• trapezoidy równoramienne;
• bazy wielokątne.

Jeżeli w podstawach znajduje się wielokąt foremny, obliczenie jego powierzchni nie jest dużetrudności. Aby to zrobić, wystarczy znać długość boku a i ich liczbę n.

W przypadku powierzchni bocznej obliczenie jej powierzchni polega na określeniu tej wartości dla każdego z n trapezów. Jeśli n-kąt jest poprawny, to wzór na powierzchnię boczną wygląda następująco:

S_b=h_bn(a₁+a_2)/2

Tu h_b to wysokość trapezu, zwanego apotemą figury. Ilości a₁ i a_{2są długościami boków regularnych podstaw n-kątnych.}

Dla każdej regularnej n-kątnej obciętej piramidy, apotema h_b może być jednoznacznie zdefiniowana za pomocą parametrów a₁ i a _{2i wysokość h kształtu.}

Zadanie obliczenia objętości i powierzchni figury

Biorąc pod uwagę regularną trójkątną ściętą piramidę. Wiadomo, że jego wysokość h wynosi 10 cm, a długości boków podstawy to 5 cm i 3 cm Jaka jest objętość ściętej piramidy i pole jej powierzchni bocznej?

Najpierw obliczmy wartość V. Aby to zrobić, znajdź obszary trójkątów równobocznych znajdujących się u podstaw figury. Mamy:

S₁=√3/4a₁²=√3/4 5²=10.825cm^2;

S₂=√3/4a₂²=√3/4 3²=3,897 cm²

Wstaw dane do wzoru na V, otrzymamy pożądaną objętość:

V=1/310(10, 825 + 3, 897 + √(10, 825 3, 897)) ≈ 70,72 cm3

Aby określić powierzchnię boczną, powinieneś wiedziećapotem długość h_{b. Biorąc pod uwagę odpowiedni trójkąt prostokątny wewnątrz piramidy, możemy zapisać dla niego równość:}

h_b=√((√3/6(a₁- a₂))²+ h^{2) ≈ 10.017 cm}

Wartość apotem i boki podstaw trójkątnych są podstawiane do wyrażenia dla S_{b i otrzymujemy odpowiedź:}

S_b=h_bn(a₁+a₂)/2=10.0173(5+3)/2 ≈ 120,2cm²

W ten sposób odpowiedzieliśmy na wszystkie pytania problemu: V ≈ 70,72 cm³, S_b ≈ 120,2 cm2^.