Rozwiązując problemy geometryczne w przestrzeni, często zdarza się, że konieczne jest obliczenie kątów między różnymi obiektami przestrzennymi. W tym artykule rozważymy kwestię znajdowania kątów między płaszczyznami oraz między nimi a linią prostą.
Linia w przestrzeni
Wiadomo, że absolutnie każda linia prosta w płaszczyźnie może być zdefiniowana przez następującą równość:
y=ax + b
Tutaj a i b to kilka liczb. Jeśli za pomocą tego samego wyrażenia przedstawimy linię prostą w przestrzeni, otrzymamy płaszczyznę równoległą do osi z. Do matematycznego zdefiniowania linii przestrzennej stosuje się inną metodę rozwiązania niż w przypadku dwuwymiarowym. Polega na wykorzystaniu pojęcia „wektora kierunkowego”.
Wektor kierunkowy linii prostej pokazuje jej orientację w przestrzeni. Ten parametr należy do linii. Ponieważ istnieje nieskończony zbiór wektorów równoległych w przestrzeni, to w celu jednoznacznego określenia rozważanego obiektu geometrycznego konieczne jest również poznanie współrzędnych punktu należącego do niego.
Załóżmy, że istniejepunkt P(x0; y0; z0) i wektor kierunkowy v¯(a; b; c), to równanie prostej może być podane w następujący sposób:
(x; y; z)=P + αv¯ lub
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(a; b; c)
To wyrażenie nazywa się parametrycznym równaniem wektora linii prostej. Współczynnik α to parametr, który może przyjmować absolutnie dowolne wartości rzeczywiste. Współrzędne linii można przedstawić jawnie, rozszerzając tę równość:
x=x0+ αa;
y=y0+ αb;
z=z0+ αc
Równanie samolotu
Istnieje kilka form zapisywania równania płaszczyzny w przestrzeni. Tutaj rozważymy jeden z nich, który jest najczęściej używany przy obliczaniu kątów między dwiema płaszczyznami lub między jedną z nich a linią prostą.
Jeśli znany jest jakiś wektor n¯(A; B; C), który jest prostopadły do żądanej płaszczyzny i punkt P(x0; y 0; z0), która należy do niego, to ogólne równanie dla tego ostatniego to:
Ax + By + Cz + D=0 gdzie D=-1(Ax0+ By 0 + Cz0)
Pominęliśmy wyprowadzenie tego wyrażenia, które jest dość proste. Tutaj tylko zauważamy, że znając współczynniki zmiennych w równaniu płaszczyzny, można łatwo znaleźć wszystkie wektory, które są do niej prostopadłe. Te ostatnie nazywane są normalnymi i są używane do obliczania kątów między nachyloną a płaszczyzną oraz międzydowolne analogi.
Położenie płaszczyzn i wzór na kąt między nimi
Powiedzmy, że są dwa samoloty. Jakie są opcje ich względnej pozycji w przestrzeni. Ponieważ płaszczyzna ma dwa nieskończone wymiary i jedno zero, możliwe są tylko dwie opcje ich wzajemnej orientacji:
- będą one równoległe do siebie;
- mogą się nakładać.
Kąt między płaszczyznami jest indeksem między ich wektorami kierunku, tj. między ich normalnymi n1¯ i n2¯.
Oczywiście, jeśli są one równoległe do płaszczyzny, to kąt przecięcia między nimi wynosi zero. Jeśli się przecinają, to jest niezerowe, ale zawsze ostre. Szczególnym przypadkiem przecięcia będzie kąt 90o, gdy płaszczyzny są wzajemnie prostopadłe do siebie.
Kąt α między n1¯ i n2¯ można łatwo wyznaczyć z iloczynu skalarnego tych wektorów. Oznacza to, że formuła ma miejsce:
α=arccos((n1¯n2¯)/(|n1 ¯| |n2¯|))
Załóżmy, że współrzędne tych wektorów to: n1¯(a1; b1; c1), n2¯(a2; b2; c2). Następnie, korzystając ze wzorów na obliczanie iloczynu skalarnego i modułów wektorów poprzez ich współrzędne, powyższe wyrażenie można przepisać jako:
α=arccos(|a1 a2 + b1 b 2 +c1 c2| / (√(a12 + b12 + c12)√(a22 + b 22 + c22)))
Moduł w liczniku pojawił się, aby wykluczyć wartości kątów rozwartych.
Przykłady rozwiązywania zadań wyznaczania kąta przecięcia płaszczyzn
Wiedząc, jak znaleźć kąt między płaszczyznami, rozwiążemy następujący problem. Podane są dwie płaszczyzny, których równania to:
3x + 4y - z + 3=0;
-x - 2y + 5z +1=0
Jaki jest kąt między płaszczyznami?
Aby odpowiedzieć na pytanie, pamiętajmy, że współczynniki zmiennych w ogólnym równaniu płaszczyzny są współrzędnymi wektora prowadzącego. Dla wskazanych płaszczyzn mamy następujące współrzędne ich normalnych:
1¯(3; 4; -1);
2¯(-1; -2; 5)
Teraz znajdujemy iloczyn skalarny tych wektorów i ich modułów, mamy:
(n1¯n2¯)=-3 -8 -5=-16;
|n1¯|=√(9 + 16 + 1)=√26;
|n2¯|=√(1 + 4 + 25)=√30
Teraz możesz zastąpić znalezione liczby wzorem podanym w poprzednim akapicie. Otrzymujemy:
α=arccos(|-16 | / (√26√30) ≈ 55, 05o
Wynikowa wartość odpowiada ostremu kątowi przecięcia płaszczyzn określonych w warunkuzadania.
Rozważmy teraz inny przykład. Biorąc pod uwagę dwa samoloty:
x + y -3=0;
3x + 3y + 8=0
Czy się przecinają? Wypiszmy wartości współrzędnych ich wektorów kierunkowych, obliczmy ich iloczyn skalarny i moduły:
1¯(1; 1; 0);
2¯(3; 3; 0);(n1¯n2¯)=3 + 3 + 0=6;
|n1¯|=√2;
|n2¯|=√18
Wtedy kąt przecięcia wynosi:
α=arccos(|6| / (√2√18)=0o.
Ten kąt wskazuje, że płaszczyzny nie przecinają się, ale są równoległe. Łatwo sprawdzić, czy nie pasują do siebie. Przyjmijmy za to dowolny punkt należący do pierwszego z nich, na przykład P(0; 3; 2). Podstawiamy jego współrzędne do drugiego równania, otrzymujemy:
30 +33 + 8=17 ≠ 0
To znaczy, że punkt P należy tylko do pierwszej płaszczyzny.
Więc dwie płaszczyzny są równoległe, gdy ich normalne są.
Samolot i linia prosta
W przypadku rozważania względnego położenia między płaszczyzną a linią prostą, istnieje kilka opcji więcej niż w przypadku dwóch płaszczyzn. Fakt ten wiąże się z faktem, że linia prosta jest obiektem jednowymiarowym. Linia i płaszczyzna mogą być:
- wzajemnie równoległe, w tym przypadku płaszczyzna nie przecina linii;
- ten ostatni może należeć do płaszczyzny, a jednocześnie będzie do niego równoległy;
- oba obiekty mogąprzecinają się pod pewnym kątem.
Rozważmy najpierw ostatni przypadek, ponieważ wymaga on wprowadzenia pojęcia kąta przecięcia.
Linia i płaszczyzna, kąt między nimi
Jeżeli linia prosta przecina płaszczyznę, nazywa się ją nachyloną względem niej. Punkt przecięcia nazywany jest podstawą skarpy. Aby określić kąt między tymi obiektami geometrycznymi, konieczne jest obniżenie prostej prostopadłej do płaszczyzny z dowolnego punktu. Wtedy punkt przecięcia prostopadłej z płaszczyzną i miejsce przecięcia z nią linii pochylonej tworzą linię prostą. Ta ostatnia nazywana jest rzutem pierwotnej linii na rozważaną płaszczyznę. Kąt ostry między linią a jej rzutem jest wymagany.
Nieco myląca definicja kąta między płaszczyzną a skośną wyjaśni poniższy rysunek.
Tutaj kąt ABO jest kątem między linią AB a płaszczyzną a.
Aby zapisać wzór na to, rozważ przykład. Niech będzie prosta i płaszczyzna, które opisują równania:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ(a; b; c);
Ax + Bx + Cx + D=0
Łatwo obliczyć żądany kąt dla tych obiektów, jeśli znajdziesz iloczyn skalarny między wektorami kierunkowymi linii i płaszczyzny. Otrzymany kąt ostry należy odjąć od 90o, a następnie uzyskać go pomiędzy linią prostą a płaszczyzną.
Powyższy rysunek przedstawia opisany algorytm wyszukiwaniarozważany kąt. Tutaj β jest kątem między normalną a prostą, a α między prostą i jej rzutem na płaszczyznę. Widać, że ich suma wynosi 90o.
Powyżej przedstawiono wzór, który odpowiada na pytanie, jak znaleźć kąt między płaszczyznami. Teraz podajemy odpowiednie wyrażenie dla przypadku linii prostej i płaszczyzny:
α=arcsin(|aA + bB + cC| / (√(a 2 + b2 + c 2)√(A 2 + B 2 + C 2)))
Moduł we wzorze umożliwia obliczenie tylko kątów ostrych. Funkcja arcus sinus pojawiła się zamiast arcus cosinus dzięki zastosowaniu odpowiedniego wzoru redukcji między funkcjami trygonometrycznymi (cos(β)=sin(90o-β)=sin(α)).
Problem: Samolot przecina linię prostą
Teraz pokażmy, jak pracować z powyższą formułą. Rozwiążmy problem: konieczne jest obliczenie kąta między osią y a płaszczyzną określoną wzorem:
y - z + 12=0
Ten samolot jest pokazany na zdjęciu.
Widać, że przecina on osie y i z odpowiednio w punktach (0; -12; 0) i (0; 0; 12) i jest równoległy do osi x.
Wektor kierunkowy linii y ma współrzędne (0; 1; 0). Wektor prostopadły do danej płaszczyzny charakteryzuje współrzędne (0; 1; -1). Stosujemy wzór na kąt przecięcia prostej i płaszczyzny, otrzymujemy:
α=arcsin(|1| / (√1√2))=arcsin(1 / √2)=45o
Problem: linia prosta równoległa do płaszczyzny
Teraz zdecydujmypodobny do poprzedniego problemu, którego pytanie jest postawione inaczej. Znane są równania płaszczyzny i prostej:
x + y - z - 3=0;
(x; y; z)=(1; 0; 0) + λ(0; 2; 2)
Konieczne jest sprawdzenie, czy te obiekty geometryczne są do siebie równoległe.
Mamy dwa wektory: kierunek linii prostej to (0; 2; 2), a kierunek płaszczyzny to (1; 1; -1). Znajdź ich produkt kropkowy:
01 + 12 - 12=0
Wynikowe zero wskazuje, że kąt między tymi wektorami wynosi 90o, co dowodzi, że prosta i płaszczyzna są równoległe.
Teraz sprawdźmy, czy ta linia jest tylko równoległa, czy też leży w płaszczyźnie. W tym celu wybierz dowolny punkt na linii i sprawdź, czy należy on do płaszczyzny. Na przykład weźmy λ=0, wtedy punkt P(1; 0; 0) należy do prostej. Podstaw do równania płaszczyzny P:
1 - 3=-2 ≠ 0
Punkt P nie należy do płaszczyzny, co oznacza, że cała linia również w nim nie leży.
Gdzie jest ważna znajomość kątów między rozważanymi obiektami geometrycznymi?
Powyższe wzory i przykłady rozwiązywania problemów mają znaczenie nie tylko teoretyczne. Są one często używane do wyznaczania ważnych wielkości fizycznych rzeczywistych trójwymiarowych figur, takich jak pryzmaty czy piramidy. Ważna jest umiejętność określenia kąta między płaszczyznami przy obliczaniu objętości figur i pól ich powierzchni. Co więcej, jeśli w przypadku prostego graniastosłupa można nie używać tych wzorów do określeniaokreślonych wartości, wtedy dla każdego rodzaju piramidy ich użycie jest nieuniknione.
Poniżej rozważ przykład użycia powyższej teorii do określenia kątów piramidy o podstawie kwadratu.
Piramida i jej narożniki
Poniższy rysunek przedstawia piramidę, u podstawy której leży kwadrat o boku a. Wysokość figury to h. Musisz znaleźć dwa rogi:
- pomiędzy powierzchnią boczną a podstawą;
- między bocznym żebrem a podstawą.
Aby rozwiązać problem, musisz najpierw wprowadzić układ współrzędnych i określić parametry odpowiednich wierzchołków. Rysunek pokazuje, że początek współrzędnych pokrywa się z punktem w środku podstawy kwadratu. W tym przypadku płaszczyzna bazowa jest opisana równaniem:
z=0
Oznacza to, że dla dowolnych x i y wartość trzeciej współrzędnej jest zawsze równa zero. Płaszczyzna boczna ABC przecina oś z w punkcie B(0; 0; h) oraz oś y w punkcie o współrzędnych (0; a/2; 0). Nie przecina osi X. Oznacza to, że równanie płaszczyzny ABC można zapisać jako:
y / (a / 2) + z / h=1 lub
2hy + az - ah=0
Wektor AB¯ to krawędź boczna. Jego współrzędne początkowe i końcowe to: A(a/2; a/2; 0) i B(0; 0; h). Następnie współrzędne samego wektora:
AB¯(-a/2; -a/2; h)
Znaleźliśmy wszystkie niezbędne równania i wektory. Teraz pozostaje skorzystać z rozważanych formuł.
Najpierw obliczamy w piramidzie kąt między płaszczyznami podstawyi boczne. Odpowiednie wektory normalne to: n1¯(0; 0; 1) i n2¯(0; 2h; a). Wtedy kąt będzie wynosił:
α=arccos(a / √(4h2 + a2))
Kąt między płaszczyzną a krawędzią AB będzie wynosił:
β=arcsin(h / √(a2 /2 + h2))
Pozostaje zastąpienie określonych wartości boku podstawy a i wysokości h, aby uzyskać wymagane kąty.
