Linia i płaszczyzna to dwa najważniejsze elementy geometryczne, które można wykorzystać do konstruowania różnych kształtów w przestrzeni 2D i 3D. Zastanów się, jak znaleźć odległość między równoległymi liniami i równoległymi płaszczyznami.
Prosta linia zadania matematycznego
Ze szkolnego kursu geometrii wiadomo, że w dwuwymiarowym prostokątnym układzie współrzędnych linia może być określona w następującej postaci:
y=kx + b.
Gdzie k i b to liczby (parametry). Pisemna forma przedstawiania linii na płaszczyźnie to płaszczyzna równoległa do osi z w przestrzeni trójwymiarowej. W związku z tym w tym artykule do matematycznego przypisania prostej posłużymy się wygodniejszą i uniwersalną formą - wektorową.
Załóżmy, że nasza prosta jest równoległa do jakiegoś wektora u¯(a, b, c) i przechodzi przez punkt P(x0, y0, z0). W tym przypadku, w postaci wektorowej, jego równanie będzie reprezentowane w następujący sposób:
(x, y, z)=(x0, y 0, z0) + λ(a, b, c).
Tutaj λ jest dowolną liczbą. Jeżeli jawnie przedstawimy współrzędne poprzez rozwinięcie wyrażenia pisanego, to otrzymamy parametryczną formę zapisu linii prostej.
Wygodnie jest pracować z równaniem wektorowym przy rozwiązywaniu różnych problemów, w których konieczne jest określenie odległości między liniami równoległymi.
Linie i odległość między nimi
Rozwiązanie o odległości między liniami ma sens tylko wtedy, gdy są one równoległe (w przypadku trójwymiarowym istnieje również niezerowa odległość między liniami skośnymi). Jeśli linie przecinają się, oczywiste jest, że znajdują się one w zerowej odległości od siebie.
Odległość między równoległymi liniami to długość prostopadłej łączącej je. Aby określić ten wskaźnik, wystarczy wybrać dowolny punkt na jednej z prostych i przerzucić z niego prostopadłą na drugą.
Opiszmy pokrótce procedurę znajdowania pożądanej odległości. Załóżmy, że znamy równania wektorowe dwóch prostych, które są przedstawione w następującej ogólnej postaci:
(x, y, z)=P + λu¯;
(x, y, z)=Q + βv¯.
Skonstruuj równoległobok na tych liniach tak, aby jedna strona była PQ, a druga, na przykład, u. Oczywiście wysokość tej figury, narysowanej od punktu P, jest długością wymaganej pionu. Aby go znaleźć, możesz zastosować następujące prosteformuła:
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.
Ponieważ odległość między liniami prostymi jest długością odcinka prostopadłego między nimi, to zgodnie z wyrażeniem pisanym wystarczy znaleźć moduł iloczynu wektorowego PQ¯ i u¯ i wynik podzielić przez długość wektora u¯.
Przykład zadania do określenia odległości między liniami prostymi
Dwie proste linie są podane przez następujące równania wektorowe:
(x, y, z)=(2, 3, -1) + λ(-2, 1, 3);
(x, y, z)=(1, 1, 1) + β(2, -1, -3).
Z wyrażeń pisanych jasno wynika, że mamy dwie równoległe linie. Rzeczywiście, jeśli pomnożymy przez -1 współrzędne wektora kierunku pierwszej linii, otrzymamy współrzędne wektora kierunku drugiej linii, co wskazuje na ich równoległość.
Odległość między liniami prostymi zostanie obliczona według wzoru zapisanego w poprzednim akapicie artykułu. Mamy:
P(2, 3, -1), Q(1, 1, 1)=>PQ¯=(-1, -2, 2);
u¯=(-2, 1, 3).
Wtedy otrzymujemy:
|u¯|=√14cm;
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|=√(90/14)=2,535 cm.
Zauważ, że zamiast punktów P i Q, do rozwiązania problemu można użyć absolutnie dowolnych punktów należących do tych prostych. W tym przypadku otrzymalibyśmy taką samą odległość d.
Ustawienie płaszczyzny w geometrii
Kwestia odległości między liniami została szczegółowo omówiona powyżej. Pokażmy teraz, jak znaleźć odległość między równoległymi płaszczyznami.
Każdy reprezentuje, czym jest samolot. Zgodnie z definicją matematyczną określony element geometryczny jest zbiorem punktów. Co więcej, jeśli skomponujesz wszystkie możliwe wektory za pomocą tych punktów, wszystkie będą prostopadłe do jednego wektora. Ten ostatni jest zwykle nazywany normalnym do samolotu.
Do określenia równania płaszczyzny w przestrzeni trójwymiarowej najczęściej używa się ogólnej postaci równania. Wygląda to tak:
Ax + By + Cz + D=0.
Gdzie wielkie litery łacińskie to niektóre cyfry. Wygodnie jest używać tego rodzaju równania płaszczyzny, ponieważ współrzędne wektora normalnego są w nim wyraźnie podane. Są to A, B, C.
Łatwo zauważyć, że dwie płaszczyzny są równoległe tylko wtedy, gdy ich normalne są równoległe.
Jak znaleźć odległość między dwiema równoległymi płaszczyznami?
Aby określić określoną odległość, powinieneś jasno zrozumieć, o co toczy się gra. Odległość między płaszczyznami równoległymi do siebie rozumiana jest jako długość odcinka prostopadłego do nich. Końce tego segmentu należą do płaszczyzn.
Algorytm rozwiązywania takich problemów jest prosty. Aby to zrobić, musisz znaleźć współrzędne absolutnie dowolnego punktu, który należy do jednej z dwóch płaszczyzn. Następnie powinieneś użyć tego wzoru:
d=|Ax0+ By0+Cz0+ D|/√(A2 + B2 + C2).
Ponieważ odległość jest wartością dodatnią, w liczniku znajduje się znak modułu. Zapisana formuła jest uniwersalna, ponieważ pozwala obliczyć odległość od płaszczyzny do absolutnie dowolnego elementu geometrycznego. Wystarczy znać współrzędne jednego punktu tego elementu.
Dla kompletności, zauważamy, że jeśli normalne dwóch płaszczyzn nie są do siebie równoległe, to takie płaszczyzny będą się przecinać. Odległość między nimi będzie wtedy wynosić zero.
Problem określenia odległości między płaszczyznami
Wiadomo, że dwie płaszczyzny są podane przez następujące wyrażenia:
y/5 + x/(-3) + z/1=1;
-x + 3/5y + 3z – 2=0.
Konieczne jest udowodnienie, że płaszczyzny są równoległe, a także określenie odległości między nimi.
Aby odpowiedzieć na pierwszą część zadania, musisz sprowadzić pierwsze równanie do ogólnej postaci. Zauważ, że jest on podany w tak zwanej postaci równania w odcinkach. Pomnóż jego lewą i prawą część przez 15 i przesuń wszystkie wyrazy na jedną stronę równania, otrzymujemy:
-5x + 3y + 15z – 15=0.
Wypiszmy współrzędne dwóch wektorów normalnych płaszczyzn:
1¯=(-5, 3, 15);
2¯=(-1, 3/5, 3)).
Widać, że jeśli n2¯ pomnożymy przez 5, to otrzymamy dokładnie współrzędne n1¯. Zatem rozważane płaszczyzny sąrównolegle.
Aby obliczyć odległość między równoległymi płaszczyznami, wybierz dowolny punkt pierwszej z nich i użyj powyższego wzoru. Weźmy na przykład punkt (0, 0, 1) należący do pierwszej płaszczyzny. Następnie otrzymujemy:
d=|Ax0+ By0+ Cz0 + D|/√(A2 + B2 + C2)=
=1/(√(1 + 9/25 + 9))=0,31 cm.
Pożądana odległość to 31 mm.
Odległość między płaszczyzną a linią
Dostarczona wiedza teoretyczna pozwala nam również rozwiązać problem wyznaczania odległości między linią prostą a płaszczyzną. Jak już wspomniano powyżej, wzór obowiązujący w obliczeniach międzypłaszczyznowych jest uniwersalny. Może być również wykorzystany do rozwiązania problemu. W tym celu wystarczy wybrać dowolny punkt należący do danej linii.
Głównym problemem przy wyznaczaniu odległości między rozważanymi elementami geometrycznymi jest dowód ich równoległości (jeśli nie, to d=0). Równoległość jest łatwa do udowodnienia, jeśli obliczysz iloczyn skalarny normalnej i wektora kierunkowego dla prostej. Jeśli rozważane elementy są równoległe, to ten iloczyn będzie równy zero.
