Oblicz kąt między linią a płaszczyzną. Koordynacja metody rozwiązywania problemów

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Ostatnio zmodyfikowany: 2024-01-02 17:54

Jednym z powszechnych problemów w stereometrii są zadania polegające na przecinaniu linii prostych i płaszczyzn oraz obliczanie kątów między nimi. Rozważmy w tym artykule bardziej szczegółowo tak zwaną metodę współrzędnych i kąty między linią a płaszczyzną.

Linia i płaszczyzna w geometrii

Przed rozważeniem metody współrzędnych i kąta między linią a płaszczyzną, powinieneś zapoznać się z nazwanymi obiektami geometrycznymi.

Prosta to taki zbiór punktów w przestrzeni lub na płaszczyźnie, z których każdy można uzyskać poprzez liniowe przeniesienie poprzedniego do określonego wektora. Poniżej oznaczymy ten wektor symbolem u¯. Jeśli ten wektor pomnożymy przez dowolną liczbę, która nie jest równa zeru, to otrzymamy wektor równoległy do u¯. Linia jest liniowym nieskończonym obiektem.

Płaszczyzna to także zbiór punktów, które są ułożone w taki sposób, że jeśli skomponujesz z nich dowolne wektory, to wszystkie będą prostopadłe do jakiegoś wektora n¯. Ten ostatni nazywa się normalnym lub po prostu normalnym. Płaszczyzna, w przeciwieństwie do linii prostej, jest dwuwymiarowym obiektem nieskończonym.

Metoda współrzędnych do rozwiązywania problemów geometrycznych

Koordynacja metody rozwiązywania problemów

Na podstawie nazwy samej metody możemy stwierdzić, że mówimy o metodzie rozwiązywania problemów, która opiera się na wykonywaniu analitycznych obliczeń sekwencyjnych. Innymi słowy, metoda współrzędnych pozwala rozwiązywać problemy geometryczne za pomocą uniwersalnych narzędzi algebry, z których głównym są równania.

Należy zauważyć, że rozważana metoda pojawiła się u zarania współczesnej geometrii i algebry. Wielki wkład w jego rozwój wnieśli w XVII-XVIII wieku Rene Descartes, Pierre de Fermat, Isaac Newton i Leibniz.

Istotą metody jest obliczanie odległości, kątów, powierzchni i objętości elementów geometrycznych na podstawie współrzędnych znanych punktów. Zauważ, że forma otrzymanych równań końcowych zależy od układu współrzędnych. Najczęściej prostokątny układ kartezjański jest używany w problemach, ponieważ jest najwygodniejszy do pracy.

Równanie linii

Rozważając metodę współrzędnych i kąty między prostą a płaszczyzną zacznijmy od ustalenia równania prostej. Istnieje kilka sposobów przedstawiania prostych w formie algebraicznej. Tutaj rozważamy tylko równanie wektorowe, ponieważ można je łatwo uzyskać w dowolnej innej postaci i łatwo z nim pracować.

Załóżmy, że istnieją dwa punkty: P i Q. Wiadomo, że można przez nie poprowadzić linię ibędzie jedynym. Odpowiednia matematyczna reprezentacja elementu wygląda tak:

(x, y, z)=P + λPQ¯.

Gdzie PQ¯ jest wektorem, którego współrzędne są uzyskiwane w następujący sposób:

PQ¯=Q - P.

Symbol λ oznacza parametr, który może przyjąć absolutnie dowolną liczbę.

W wyrażeniu pisanym możesz zmienić kierunek wektora, a także podstawić współrzędne Q zamiast punktu P. Wszystkie te przekształcenia nie doprowadzą do zmiany położenia geometrycznego linii.

Zauważ, że podczas rozwiązywania problemów czasami wymagane jest przedstawienie zapisanego równania wektorowego w postaci jawnej (parametrycznej).

Ustawienie samolotu w przestrzeni

Oprócz linii prostej, istnieje również kilka form równań matematycznych dla płaszczyzny. Wśród nich zwracamy uwagę na wektor, równanie w segmentach i ogólną postać. W tym artykule zwrócimy szczególną uwagę na ostatni formularz.

Ogólne równanie dla dowolnej płaszczyzny można zapisać w następujący sposób:

Ax + By + Cz + D=0.

Wielkie litery łacińskie to pewne cyfry określające płaszczyznę.

Udogodnieniem tego zapisu jest to, że wyraźnie zawiera wektor normalny do płaszczyzny. Jest równy:

n¯=(A, B, C).

Znanie tego wektora umożliwia, patrząc pokrótce na równanie płaszczyzny, wyobrażenie sobie położenia tej ostatniej w układzie współrzędnych.

Wzajemne porozumienie wprzestrzeń linii i płaszczyzny

W następnym akapicie artykułu przejdziemy do rozważenia metody współrzędnych i kąta między prostą a płaszczyzną. Tutaj odpowiemy na pytanie, w jaki sposób rozważane elementy geometryczne mogą znajdować się w przestrzeni. Istnieją trzy sposoby:

Linia prosta przecina płaszczyznę. Korzystając z metody współrzędnych, możesz obliczyć, w którym punkcie linia i płaszczyzna przecinają się.
Płaszczyzna linii prostej jest równoległa. W tym przypadku układ równań elementów geometrycznych nie ma rozwiązania. Aby udowodnić równoległość, zwykle wykorzystuje się własność iloczynu skalarnego wektora kierunkowego prostej i normalnej do płaszczyzny.
Samolot zawiera linię. Rozwiązując układ równań w tym przypadku dojdziemy do wniosku, że dla dowolnej wartości parametru λ otrzymujemy poprawną równość.

W drugim i trzecim przypadku kąt między określonymi obiektami geometrycznymi jest równy zero. W pierwszym przypadku mieści się w zakresie od 0 do 90o.

Obliczanie kątów między liniami i płaszczyznami

Teraz przejdźmy bezpośrednio do tematu artykułu. Każde przecięcie linii i płaszczyzny następuje pod pewnym kątem. Kąt ten jest tworzony przez samą linię prostą i jej rzut na płaszczyznę. Rzut można uzyskać, jeżeli z dowolnego punktu linii prostej obniży się prostopadła na płaszczyznę, a następnie przez uzyskany punkt przecięcia płaszczyzny i pionu oraz punkt przecięcia płaszczyzny z linią pierwotną narysować linia prosta, która będzie rzutem.

Obliczanie kątów między liniami i płaszczyznami nie jest trudnym zadaniem. Aby go rozwiązać, wystarczy znać równania odpowiednich obiektów geometrycznych. Powiedzmy, że te równania wyglądają tak:

(x, y, z)=(x₀, y₀, z_{0) + λ(a, b, c);}

Ax + By + Cz + D=0.

Pożądany kąt można łatwo znaleźć korzystając z własności iloczynu wektorów skalarnych u¯ i n¯. Ostateczna formuła wygląda tak:

θ=arcsin(|(u¯n¯)|/(|u¯||n¯|)).

Wzór ten mówi, że sinus kąta między prostą a płaszczyzną jest równy stosunkowi modułu iloczynu skalarnego zaznaczonych wektorów do iloczynu ich długości. Aby zrozumieć, dlaczego zamiast cosinusa pojawił się sinus, wróćmy do poniższego rysunku.

Widać, że jeśli zastosujemy funkcję cosinus, otrzymamy kąt między wektorami u¯ i n¯. Pożądany kąt θ (α na rysunku) uzyskuje się w następujący sposób:

θ=90o- β.

Sinus pojawia się w wyniku zastosowania formuł redukcyjnych.

Przykładowy problem

Przejdźmy do praktycznego wykorzystania zdobytej wiedzy. Rozwiążmy typowy problem dotyczący kąta między prostą a płaszczyzną. Podane są następujące współrzędne czterech punktów:

P=(1, -1, 0);

Q=(-1, 2, 2);

M=(0, 3, -1);

N=(-2, -1, 1).

Wiadomo, że poprzez punkty PQMprzelatuje przez nią samolot, a przez MN przechodzi linia prosta. Za pomocą metody współrzędnych należy obliczyć kąt między płaszczyzną a linią.

Najpierw zapiszmy równania prostej i płaszczyzny. W przypadku linii prostej łatwo ją skomponować:

MN¯=(-2, -4, 2)=>

(x, y, z)=(0, 3, -1) + λ(-2, -4, 2).

Aby stworzyć równanie płaszczyzny, najpierw znajdujemy do niego normalną. Jego współrzędne są równe iloczynowi wektorowemu dwóch wektorów leżących na danej płaszczyźnie. Mamy: