W geometrii używa się dwóch ważnych cech do badania figur: długości boków i kątów między nimi. W przypadku figur przestrzennych do tych cech dodawane są kąty dwuścienne. Zastanówmy się, co to jest, a także opiszmy metodę wyznaczania tych kątów na przykładzie piramidy.
Pojęcie kąta dwuściennego
Każdy wie, że dwie przecinające się linie tworzą kąt z wierzchołkiem w punkcie ich przecięcia. Kąt ten można zmierzyć za pomocą kątomierza lub można go obliczyć za pomocą funkcji trygonometrycznych. Kąt utworzony przez dwa kąty proste nazywa się liniowym.
Teraz wyobraź sobie, że w przestrzeni trójwymiarowej znajdują się dwie płaszczyzny, które przecinają się w linii prostej. Pokazano je na zdjęciu.
Kąt dwuścienny to kąt między dwiema przecinającymi się płaszczyznami. Podobnie jak liniowa, jest mierzona w stopniach lub radianach. Jeśli do dowolnego punktu linii, wzdłuż której przecinają się płaszczyzny, przywróć dwie prostopadłe,leżąc w tych płaszczyznach, wówczas kąt między nimi będzie pożądanym dwuściennym. Najłatwiejszym sposobem wyznaczenia tego kąta jest użycie ogólnych równań płaszczyzn.
Równanie płaszczyzn i wzór na kąt między nimi
Równanie dowolnej płaszczyzny w przestrzeni w ujęciu ogólnym jest zapisane w następujący sposób:
A × x + B × y + C × z + D=0.
Tu x, y, z to współrzędne punktów należących do płaszczyzny, współczynniki A, B, C, D to niektóre znane liczby. Wygoda tej równości przy obliczaniu kątów dwuściennych polega na tym, że wyraźnie zawiera współrzędne wektora kierunku płaszczyzny. Oznaczymy to przez n¯. Wtedy:
n¯=(A; B; C).
Wektor n¯ jest prostopadły do płaszczyzny. Kąt między dwiema płaszczyznami jest równy kątowi między ich wektorami kierunkowymi n1¯ i n2¯. Z matematyki wiadomo, że kąt utworzony przez dwa wektory jest jednoznacznie określony na podstawie ich iloczynu skalarnego. Pozwala to na napisanie wzoru do obliczenia kąta dwuściennego między dwiema płaszczyznami:
φ=arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|)).
Jeżeli podstawimy współrzędne wektorów, wzór zostanie napisany wprost:
φ=arccos (|A1 × A2 + B1 × B 2 + C1 × C2| / (√(A1 2 + B12 + C12 ) × √(A22+B22 + C22))).
Znak modulo w liczniku służy do zdefiniowania tylko kąta ostrego, ponieważ kąt dwuścienny jest zawsze mniejszy lub równy 90o.
Piramida i jej narożniki
Piramida to figura utworzona przez jeden n-kąt i n trójkątów. Tutaj n jest liczbą całkowitą równą liczbie boków wielokąta będącego podstawą piramidy. Ta figura przestrzenna jest wielościanem lub wielościanem, ponieważ składa się z płaskich ścian (boków).
Kąty dwuścienne ostrosłupa-wielościanu mogą być dwojakiego rodzaju:
- między podstawą a bokiem (trójkąt);
- między dwiema stronami.
Jeśli piramida jest uważana za regularną, łatwo jest określić jej nazwane kąty. W tym celu wykorzystując współrzędne trzech znanych punktów należy ułożyć równanie płaszczyzn, a następnie zastosować wzór podany w powyższym akapicie dla kąta φ.
Poniżej podajemy przykład, w którym pokazujemy, jak znaleźć kąty dwuścienne u podstawy czworokątnej regularnej piramidy.
Czworokątna regularna piramida i kąt u jej podstawy
Załóżmy, że dana jest regularna piramida o podstawie kwadratu. Długość boku kwadratu to a, wysokość figury to h. Znajdź kąt między podstawą piramidy a jej bokiem.
Umieść początek układu współrzędnych w środku kwadratu. Następnie współrzędne punktówA, B, C, D pokazane na zdjęciu będą:
A=(a/2; -a/2; 0);
B=(a/2; a/2; 0);
C=(-a/2; a/2; 0);
D=(0; 0; h).
Rozważmy płaszczyzny ACB i ADB. Oczywiście wektor kierunkowy n1¯ dla płaszczyzny ACB będzie:
1¯=(0; 0; 1).
Aby określić wektor kierunkowy n2¯ płaszczyzny ADB, wykonaj następujące czynności: znajdź dwa dowolne wektory, które do niego należą, na przykład AD¯ i AB¯, następnie obliczyć ich pracę wektorową. Jego wynik da współrzędne n2¯. Mamy:
AD¯=D - A=(0; 0; h) - (a/2; -a/2; 0)=(-a/2; a/2; h);
AB¯=B - A=(a/2; a/2; 0) - (a/2; -a/2; 0)=(0; a; 0);
2¯=[AD¯ × AB¯]=[(-a/2; a/2; h) × (0; a; 0)]=(-a × h; 0;-a2/2).
Ponieważ mnożenie i dzielenie wektora przez liczbę nie zmienia jego kierunku, przekształcamy wynikowe n2¯, dzieląc jego współrzędne przez -a, otrzymujemy:
2¯=(h; 0; a/2).
Zdefiniowaliśmy prowadnice wektorowe n1¯ i n2¯ dla podstawy ACB i płaszczyzn bocznych ADB. Pozostaje użyć wzoru na kąt φ:
φ=arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|))=arccos (a / (2 × √h2 + a 2/4)).
Przekształć wynikowe wyrażenie i przepisz je w ten sposób:
φ=arccos (a / √(a2+ 4 × h2)).
Uzyskaliśmy wzór na dwuścienny kąt przy podstawie dla regularnej czworokątnej piramidy. Znając wysokość figury i długość jej boku, możesz obliczyć kąt φ. Na przykład dla piramidy Cheopsa, której bok podstawy wynosi 230,4 metra, a wysokość początkowa 146,5 metra, kąt φ będzie wynosił 51,8o.
Możliwe jest również wyznaczenie kąta dwuściennego dla czworokątnej ostrosłupa regularnego przy użyciu metody geometrycznej. Aby to zrobić, wystarczy wziąć pod uwagę trójkąt prostokątny utworzony przez wysokość h, połowę długości podstawy a/2 i apotem trójkąta równoramiennego.
