Płaskie równania. Kąt między dwiema płaszczyznami

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Ostatnio zmodyfikowany: 2024-01-02 17:54

Płaszczyzna wraz z punktem i linią prostą jest podstawowym elementem geometrycznym. Za jego pomocą powstaje wiele figur w geometrii przestrzennej. W tym artykule bardziej szczegółowo rozważymy, jak znaleźć kąt między dwiema płaszczyznami.

Koncepcja

Zanim zaczniesz mówić o kącie między dwiema płaszczyznami, powinieneś dobrze zrozumieć, o jakim elemencie geometrii mówimy. Rozumiemy terminologię. Płaszczyzna to nieskończony zbiór punktów w przestrzeni, łączących, z których otrzymujemy wektory. Te ostatnie będą prostopadłe do jakiegoś jednego wektora. Jest powszechnie nazywany normalnym do samolotu.

Powyższy rysunek pokazuje płaszczyznę i dwa wektory normalne do niej. Widać, że oba wektory leżą na tej samej linii prostej. Kąt między nimi wynosi 180o.

Równania

Kąt między dwiema płaszczyznami można określić, jeśli znane jest równanie matematyczne rozważanego elementu geometrycznego. Istnieje kilka rodzajów takich równań,których imiona są wymienione poniżej:

• typ ogólny;
• wektor;
• w segmentach.

Te trzy typy są najwygodniejsze do rozwiązywania różnego rodzaju problemów, dlatego są najczęściej używane.

Równanie typu ogólnego wygląda tak:

Ax + By + Cz + D=0.

Tu x, y, z są współrzędnymi dowolnego punktu należącego do danej płaszczyzny. Parametry A, B, C i D są liczbami. Wygoda tego zapisu polega na tym, że liczby A, B, C są współrzędnymi wektora normalnego do płaszczyzny.

Wektorową postać płaszczyzny można przedstawić w następujący sposób:

x, y, z)=(x₀, y₀, z₀) + α(a₁, b₁, c₁) + β(a ₂, b₂, c_2).

Tutaj (a₂, b₂, c₂) i (a ₁, b₁, c₁) - parametry dwóch wektorów współrzędnych należących do rozważanej płaszczyzny. Punkt (x₀, y₀, z_{0) również leży na tej płaszczyźnie. Parametry α i β mogą przyjmować niezależne i dowolne wartości.}

Na koniec równanie płaszczyzny w segmentach jest przedstawione w następującej postaci matematycznej:

x/p + y/q + z/l=1.

Tutaj p, q, l są określonymi liczbami (łącznie z liczbami ujemnymi). Ten rodzaj równania jest przydatny, gdy konieczne jest zobrazowanie płaszczyzny w prostokątnym układzie współrzędnych, ponieważ liczby p, q, l pokazują punkty przecięcia z osiami x, y i zsamolot.

Zauważ, że każdy typ równania można przekonwertować na dowolny inny za pomocą prostych operacji matematycznych.

Wzór na kąt między dwiema płaszczyznami

Teraz rozważ następujący niuans. W przestrzeni trójwymiarowej dwie płaszczyzny można zlokalizować tylko na dwa sposoby. Przecinają się lub są równoległe. Między dwiema płaszczyznami kąt jest tym, co znajduje się między ich wektorami prowadzącymi (normalne). Przecinające się, 2 wektory tworzą 2 kąty (w ogólnym przypadku ostry i tępy). Kąt między płaszczyznami jest uważany za ostry. Rozważ równanie.

Wzór na kąt między dwiema płaszczyznami to:

θ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n_2¯|)).

Łatwo zgadnąć, że to wyrażenie jest bezpośrednią konsekwencją iloczynu skalarnego wektorów normalnych n₁¯ i n₂ ¯ dla rozważanych płaszczyzn. Moduł iloczynu skalarnego w liczniku wskazuje, że kąt θ przyjmie tylko wartości od 0^o do 90^{o. Iloczyn modułów wektorów normalnych w mianowniku oznacza iloczyn ich długości.}

Uwaga, jeśli (n₁¯n_{2¯)=0, to płaszczyzny przecinają się pod kątem prostym.}

Przykładowy problem

Po ustaleniu, co nazywa się kątem między dwiema płaszczyznami, rozwiążemy następujący problem. Jako przykład. Dlatego konieczne jest obliczenie kąta między takimi płaszczyznami:

2x - 3y + 4=0;

(x, y, z)=(2, 0, -1) + α(1, 1, -1) + β(0, 2, 3).

Aby rozwiązać ten problem, musisz znać wektory kierunku samolotów. Dla pierwszej płaszczyzny wektor normalny to: n₁¯=(2, -3, 0). Aby znaleźć wektor normalny drugiej płaszczyzny, należy pomnożyć wektory po parametrach α i β. Wynikiem jest wektor: n_{2¯=(5, -3, 2).}

Aby określić kąt θ, użyjemy wzoru z poprzedniego akapitu. Otrzymujemy:

θ=arccos (|((2, -3, 0)(5, -3, 2))|/(|(2, -3, 0)||(5, -3, 2)|))=

=arccos (19/√(1338))=0,5455 rad.

Obliczony kąt w radianach odpowiada 31,26^o. Zatem płaszczyzny ze stanu problemu przecinają się pod kątem 31, 26^o.