Pojawienie się pojęcia całki wynikało z potrzeby znalezienia funkcji pierwotna przez jej pochodną, a także określenia nakładu pracy, pola figur złożonych, przebytej odległości, parametry wyznaczone przez krzywe opisane wzorami nieliniowymi.
Z kursu
a fizyka wie, że praca jest iloczynem siły i odległości. Jeśli cały ruch odbywa się ze stałą prędkością lub dystans pokonany przy użyciu tej samej siły, to wszystko jest jasne, wystarczy je pomnożyć. Co to jest całka stałej? Jest to funkcja liniowa w postaci y=kx+c.
Ale siła podczas pracy może się zmienić iw pewnym rodzaju naturalnej zależności. Ta sama sytuacja ma miejsce przy obliczaniu przebytej odległości, jeśli prędkość nie jest stała.
Więc jasne jest, do czego służy całka. Jego definicja jako suma iloczynów wartości funkcji przez nieskończenie mały przyrost argumentu w pełni opisuje główne znaczenie tego pojęcia jako obszar figury ograniczony od góry linią funkcji, a przy krawędzie przy granicach definicji.
Jean Gaston Darboux, francuski matematyk, w drugiej połowie XIXwieku bardzo jasno wyjaśnił, czym jest integralna. Dał do zrozumienia tak jasno, że ogólnie rzecz biorąc, zrozumienie tego problemu nie będzie trudne nawet dla ucznia gimnazjum.
Powiedzmy, że istnieje funkcja o dowolnej formie złożonej. Oś y, na której kreślone są wartości argumentu, jest podzielona na małe przedziały, najlepiej są one nieskończenie małe, ale ponieważ pojęcie nieskończoności jest raczej abstrakcyjne, wystarczy wyobrazić sobie tylko małe odcinki, wartość z czego jest zwykle oznaczana grecką literą Δ (delta).
Funkcja okazała się być "pocięta" na małe klocki.
Każda wartość argumentu odpowiada punktowi na osi y, na którym wykreślane są odpowiednie wartości funkcji. Ale ponieważ zaznaczony obszar ma dwie granice, będą również dwie wartości funkcji, mniej i więcej.
Suma iloczynów większych wartości przez przyrost Δ nazywana jest dużą sumą Darboux i jest oznaczona jako S. W związku z tym mniejsze wartości w ograniczonym obszarze, pomnożone przez Δ, razem tworzą małą sumę Darboux. Sam przekrój przypomina prostokątny trapez, ponieważ krzywiznę linii funkcji z jej nieskończenie małym przyrostem można pominąć. Najłatwiejszym sposobem wyznaczenia pola powierzchni takiej figury geometrycznej jest dodanie iloczynów większej i mniejszej wartości funkcji przez przyrost Δ i podzielenie przez dwa, czyli wyznaczenie jej jako średniej arytmetycznej.
Oto czym jest całka Darboux:
s=Σf(x) Δ to niewielka ilość;
S=Σf(x+Δ)Δ to duża suma.
Więc czym jest całka? Obszar ograniczony linią funkcji i granicami definicji będzie:
∫f(x)dx={(S+s)/2} +c
Oznacza to, że średnia arytmetyczna dużych i małych sum Darboux.c jest wartością stałą, która podczas różniczkowania jest ustawiana na zero.
Na podstawie geometrycznego wyrażenia tej koncepcji, fizyczne znaczenie całki staje się jasne. Obszar figury, wyznaczony przez funkcję prędkości i ograniczony odstępem czasu wzdłuż osi odciętej, będzie długością przebytej drogi.
L=∫f(x)dx w przedziale od t1 do t2, Gdzie
f(x) – funkcja prędkości, czyli wzór, według którego zmienia się w czasie;
L – długość ścieżki;
t1 – czas rozpoczęcia;
t2 – czas zakończenia podróży.
Dokładnie według tej samej zasady, ilość pracy jest określana, tylko odległość zostanie wykreślona wzdłuż odciętej, a wielkość siły przyłożonej w każdym konkretnym punkcie zostanie wykreślona wzdłuż rzędnej.
