Typowe problemy geometryczne w płaszczyźnie iw przestrzeni trójwymiarowej to problemy wyznaczania obszarów powierzchni o różnych kształtach. W tym artykule przedstawiamy wzór na pole powierzchni bocznej ostrosłupa czworokątnego foremnego.
Co to jest piramida?
Podajmy ścisłą geometryczną definicję piramidy. Załóżmy, że istnieje jakiś wielokąt o n bokach i n narożnikach. Wybieramy dowolny punkt w przestrzeni, który nie będzie znajdował się na płaszczyźnie określonego n-kąta i łączymy go z każdym wierzchołkiem wielokąta. Otrzymamy figurę o pewnej objętości, którą nazywamy piramidą n-kątną. Na przykład pokażmy na poniższym rysunku, jak wygląda pięciokątna piramida.
Dwa ważne elementy każdej piramidy to jej podstawa (n-gon) i szczyt. Elementy te są połączone ze sobą n trójkątami, które na ogół nie są sobie równe. Prostopadły spadł zod góry do dołu nazywana jest wysokością postaci. Jeśli przecina podstawę w środku geometrycznym (zbiega się ze środkiem masy wielokąta), to taka piramida nazywana jest linią prostą. Jeśli oprócz tego warunku podstawą jest wielokąt foremny, wówczas cała piramida nazywana jest regularną. Poniższy rysunek pokazuje, jak wyglądają regularne piramidy o podstawie trójkątnej, czworokątnej, pięciokątnej i sześciokątnej.
Powierzchnia piramidy
Zanim przejdziemy do kwestii pola powierzchni bocznej regularnej czworokątnej piramidy, powinniśmy zastanowić się nad samą koncepcją powierzchni.
Jak wspomniano powyżej i pokazano na rysunkach, każda piramida jest utworzona przez zestaw ścian lub boków. Jedna strona to podstawa, a n boków to trójkąty. Powierzchnia całej figury jest sumą pól każdego z jej boków.
Wygodnie jest badać powierzchnię na przykładzie rozwijającej się figury. Na poniższych rysunkach pokazano skan regularnej piramidy czworokątnej.
Widzimy, że jego pole powierzchni jest równe sumie czterech pól identycznych trójkątów równoramiennych i pola kwadratu.
Całkowity obszar wszystkich trójkątów tworzących boki figury nazywany jest obszarem powierzchni bocznej. Następnie pokażemy, jak to obliczyć dla zwykłej piramidy czworokątnej.
Obszar powierzchni bocznej czworokątnej regularnej piramidy
Aby obliczyć powierzchnię bocznąpowierzchni określonej figury, ponownie zwracamy się do powyższego skanu. Załóżmy, że znamy bok podstawy kwadratu. Oznaczmy to symbolem a. Można zauważyć, że każdy z czterech identycznych trójkątów ma podstawę o długości a. Aby obliczyć ich całkowitą powierzchnię, musisz znać tę wartość dla jednego trójkąta. Z przebiegu geometrii wiadomo, że pole trójkąta St jest równe iloczynowi podstawy i wysokości, którą należy podzielić na pół. Czyli:
St=1/2hba.
Gdzie hb jest wysokością trójkąta równoramiennego narysowanego do podstawy a. Dla piramidy ta wysokość jest apotemem. Teraz pozostaje pomnożyć wynikowe wyrażenie przez 4, aby uzyskać pole Sb powierzchni bocznej dla danej piramidy:
Sb=4St=2hba.
Ta formuła zawiera dwa parametry: apotem i bok podstawy. Jeśli to drugie jest znane w większości warunków problemów, to pierwsze należy obliczyć znając inne wielkości. Oto wzory do obliczania apotemy hb dla dwóch przypadków:
- kiedy znana jest długość bocznego żebra;
- kiedy znana jest wysokość piramidy.
Jeżeli długość krawędzi bocznej (bok trójkąta równoramiennego) oznaczymy symbolem L, to apotema hb jest określona wzorem:
hb=√(L2 - a2/4).
To wyrażenie jest wynikiem zastosowania twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta powierzchni bocznej.
Jeśli znanewysokość h piramidy, apotemę hb można obliczyć w następujący sposób:
hb=√(h2 + a2/4).
Zrozumienie tego wyrażenia nie jest trudne, jeśli rozważymy wewnątrz piramidy trójkąt prostokątny utworzony przez nogi h i a/2 oraz przeciwprostokątną hb.
Pokażmy, jak zastosować te formuły, rozwiązując dwa interesujące problemy.
Problem ze znaną powierzchnią
Wiadomo, że powierzchnia boczna regularnej czworokątnej piramidy wynosi 108 cm2. Należy obliczyć wartość długości jej apotemu hb, jeśli wysokość piramidy wynosi 7 cm.
Napiszmy wzór na obszar Sbpowierzchni bocznej przez wysokość. Mamy:
Sb=2√(h2 + a2/4) a.
Tutaj właśnie podstawiliśmy odpowiednią formułę apotemy do wyrażenia dla Sb. Podnieśmy do kwadratu obie strony równania:
Sb2=4a2h2 + a4.
Aby znaleźć wartość a, zmieńmy zmienne:
a2=t;
t2+ 4h2t - Sb 2=0.
Teraz podstawiamy znane wartości i rozwiązujemy równanie kwadratowe:
t2+ 196t - 11664=0.
t≈ 47, 8355.
Wypisaliśmy tylko dodatni pierwiastek tego równania. Wtedy boki podstawy piramidy będą wyglądały:
a=√t=√47,8355 ≈6,916 cm.
Aby uzyskać długość apotemy,po prostu użyj formuły:
hb=√(h2 + a2/4)=√(7 2+ 6, 9162/4) ≈ 7, 808 zobacz
Boczna powierzchnia piramidy Cheopsa
Określ wartość powierzchni bocznej największej piramidy egipskiej. Wiadomo, że u jego podstawy leży kwadrat o długości boku 230,363 metrów. Wysokość konstrukcji pierwotnie wynosiła 146,5 metra. Podstaw te liczby do odpowiedniego wzoru na Sb, otrzymujemy:
Sb=2√(h2 + a2/4) a=2√(146, 52+230, 3632/4)230, 363 ≈ 85860 m2.
Znaleziona wartość jest nieco większa niż powierzchnia 17 boisk piłkarskich.
