Regularna sześciokątna piramida. Wzory objętości i powierzchni. Rozwiązanie problemu geometrycznego

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Ostatnio zmodyfikowany: 2024-01-02 17:54

Stereometria, jako gałąź geometrii w przestrzeni, bada właściwości pryzmatów, walców, stożków, kul, piramid i innych trójwymiarowych figur. Ten artykuł jest poświęcony szczegółowemu przeglądowi cech i właściwości sześciokątnej piramidy foremnej.

Która piramida będzie badana

Ostrosłup sześciokątny foremny to figura w przestrzeni, która jest ograniczona jednym sześciokątem równobocznym i równokątnym oraz sześcioma identycznymi trójkątami równoramiennymi. W pewnych warunkach trójkąty te mogą być również równoboczne. Piramida ta jest pokazana poniżej.

Ta sama figura jest pokazana tutaj, tylko w jednym przypadku jest zwrócona boczną stroną do czytelnika, aw drugim - boczną krawędzią.

Regularna sześciokątna piramida ma 7 ścian, o których była mowa powyżej. Ma również 7 wierzchołków i 12 krawędzi. W przeciwieństwie do graniastosłupów, wszystkie piramidy mają jeden specjalny wierzchołek, który powstaje przez przecięcie bocznejtrójkąty. W przypadku regularnej piramidy odgrywa ważną rolę, ponieważ prostopadła obniżona od niej do podstawy figury to wysokość. Ponadto wysokość będzie oznaczona literą h.

Pokazana piramida jest nazywana poprawną z dwóch powodów:

• u podstawy znajduje się sześciokąt o równych długościach boków a i równych kątach 120o;
• Wysokość ostrosłupa h przecina sześciokąt dokładnie w jego środku (punkt przecięcia leży w tej samej odległości ze wszystkich stron i ze wszystkich wierzchołków sześciokąta).

Powierzchnia

Właściwości regularnej sześciokątnej piramidy będą brane pod uwagę na podstawie definicji jej powierzchni. Aby to zrobić, warto najpierw rozłożyć figurę na płaszczyźnie. Schematyczne przedstawienie tego jest pokazane poniżej.

Widać, że obszar przeciągnięcia, a tym samym cała powierzchnia rozważanej figury, jest równa sumie pól sześciu identycznych trójkątów i jednego sześciokąta.

Aby określić pole sześciokąta S_{6, użyj uniwersalnego wzoru na regularny n-kąt:}

S=n/4a2ctg(pi/n)=>

S₆=3√3/2a^2.

Gdzie a jest długością boku sześciokąta.

Obszar trójkąta S₃ boku bocznego można znaleźć, jeśli znasz wartość jego wysokości h_b:

S₃=1/2h_ba.

Ponieważ wszystkie sześćtrójkąty są sobie równe, wtedy otrzymujemy wyrażenie robocze określające pole powierzchni sześciokąta ostrosłupa o prawidłowej podstawie:

S=S₆+ 6S₃=3√3/2a^{2 + 61/2h}b_{a=3a(√3/2a + h}b_).

Wolumen piramidy

Podobnie jak powierzchnia, objętość sześciokątnej regularnej piramidy jest jej ważną właściwością. Objętość ta jest obliczana według ogólnego wzoru dla wszystkich piramid i stożków. Zapiszmy to:

V=1/3S_oh.

Tutaj symbol S_o jest obszarem sześciokątnej podstawy, tj. S_o=S _6.

Podstawiając powyższe wyrażenie za S_{6 do wzoru na V, dochodzimy do ostatecznej równości określającej objętość foremnej sześciokątnej piramidy:}

V=√3/2a2h.

Przykład problemu geometrycznego

W regularnej sześciokątnej piramidzie, boczna krawędź jest dwukrotnie większa od długości boku podstawy. Wiedząc, że ta ostatnia ma 7 cm, należy obliczyć pole powierzchni i objętość tej figury.

Jak można się domyślić, rozwiązanie tego problemu polega na użyciu wyrażeń uzyskanych powyżej dla S i V. Niemniej jednak nie będzie można ich użyć od razu, ponieważ nie znamy apotem i wysokość regularnej sześciokątnej piramidy. Obliczmy je.

Apotem h_b można określić, biorąc pod uwagę trójkąt prostokątny zbudowany na bokach b, a/2 i h_{b. Tutaj b jest długością bocznej krawędzi. Wykorzystując warunek problemu otrzymujemy:}

h_b=√(b²-a²/4)=√(14 ²-7^{2/4)=13 555 cm.}

Wysokość h piramidy można określić dokładnie w taki sam sposób jak twierdzenie, ale teraz powinniśmy rozważyć trójkąt o bokach h, b i a, znajdujący się wewnątrz piramidy. Wysokość będzie wynosić:

h=√(b²- a²)=√(14²- 7 ^{2)=12, 124 cm.}

Widać, że obliczona wartość wysokości jest mniejsza niż wartość dla apotem, co jest prawdziwe dla każdej piramidy.

Teraz możesz używać wyrażeń dla objętości i powierzchni:

S=3a(√3/2a + h_b)=37(√3/27 + 13, 555)=411, 96cm^2;

V=√3/2a²h=√3/27²12, 124=514, 48cm^3.

Tak więc, aby jednoznacznie określić jakąkolwiek cechę regularnej sześciokątnej piramidy, musisz znać dowolne dwa jej parametry liniowe.