Koncepcja pryzmatu. Wzory objętościowe dla różnych typów pryzmatów: regularnych, prostych i skośnych. Rozwiązanie problemu

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Ostatnio zmodyfikowany: 2023-12-17 05:38

Objętość jest cechą każdej figury, która ma niezerowe wymiary we wszystkich trzech wymiarach przestrzeni. W tym artykule z punktu widzenia stereometrii (geometrii figur przestrzennych) rozważymy pryzmat i pokażemy, jak znaleźć objętości pryzmatów różnych typów.

Co to jest pryzmat?

Stereometry ma dokładną odpowiedź na to pytanie. Przez pryzmat w nim rozumie się figurę utworzoną z dwóch identycznych wielobocznych ścian i kilku równoległoboków. Poniższy rysunek przedstawia cztery różne pryzmaty.

Każde z nich można uzyskać w następujący sposób: musisz wziąć wielokąt (trójkąt, czworokąt itd.) oraz odcinek o określonej długości. Następnie każdy wierzchołek wielokąta należy przenieść za pomocą równoległych segmentów na inną płaszczyznę. W nowej płaszczyźnie, która będzie równoległa do pierwotnej, uzyskany zostanie nowy wielokąt, podobny do wybranego początkowo.

Pryzmaty mogą być różnych typów. Mogą więc być proste, ukośne i poprawne. Jeśli boczna krawędź pryzmatu (segment,łącząc wierzchołki podstaw) prostopadle do podstaw figury, to ta ostatnia jest linią prostą. W związku z tym, jeśli ten warunek nie jest spełniony, mówimy o pryzmacie pochyłym. Postać regularna to prawy graniastosłup o podstawie równokątnej i równobocznej.

W dalszej części artykułu pokażemy, jak obliczyć objętość każdego z tych typów pryzmatów.

Objętość zwykłych pryzmatów

Zacznijmy od najprostszego przypadku. Podajemy wzór na objętość zwykłego graniastosłupa o podstawie n-kątnej. Wzór objętości V dla dowolnej figury rozważanej klasy jest następujący:

V=S_oh.

To znaczy, aby określić objętość, wystarczy obliczyć powierzchnię jednej z podstaw S_o i pomnożyć ją przez wysokość h figury.

W przypadku zwykłego graniastosłupa oznaczmy literą a długość boku jego podstawy, a literą h wysokość, która jest równa długości krawędzi bocznej. Jeśli podstawa n-kąta jest prawidłowa, to najłatwiejszym sposobem obliczenia jego pola jest zastosowanie uniwersalnego wzoru:

S=n/4a²ctg(pi/n).

Podstawiając wartość liczby boków n i długości jednego boku a na równość, można obliczyć pole n-kątnej podstawy. Zauważ, że funkcja cotangens jest tutaj obliczana dla kąta pi/n, który jest wyrażony w radianach.

Biorąc pod uwagę równość zapisaną dla S, otrzymujemy końcową formułę na objętość zwykłego graniastosłupa:

V=n/4a²hctg(pi/n).

Dla każdego konkretnego przypadku możesz napisać odpowiednie formuły dla V, ale wszystkiejednoznacznie wynika z pisemnego wyrażenia ogólnego. Na przykład dla zwykłego pryzmatu czworokątnego, który w ogólnym przypadku jest równoległościanem prostokątnym, otrzymujemy:

V₄=4/4a²hctg(pi/4)=a² h.

Jeśli weźmiemy h=a w tym wyrażeniu, otrzymamy wzór na objętość sześcianu.

Objętość pryzmatów bezpośrednich

Od razu zauważamy, że dla figur prostych nie ma ogólnego wzoru na obliczanie objętości, który został podany powyżej dla zwykłych pryzmatów. Przy wyszukiwaniu danej wartości należy użyć oryginalnego wyrażenia:

V=S_oh.

Tutaj h jest długością bocznej krawędzi, tak jak w poprzednim przypadku. Obszar bazowy S_o może przyjmować różne wartości. Zadanie obliczenia prostego pryzmatu objętości sprowadza się do znalezienia obszaru jego podstawy.

Obliczenia wartości S_onależy przeprowadzić w oparciu o charakterystykę samej bazy. Na przykład, jeśli jest to trójkąt, to obszar można obliczyć w następujący sposób:

S_o3=1/2ah_a.

Tu h_a to apotem trójkąta, to znaczy jego wysokość obniżona do podstawy a.

Jeżeli podstawa jest czworokątna, może to być trapez, równoległobok, prostokąt lub zupełnie dowolny typ. We wszystkich tych przypadkach należy użyć odpowiedniego wzoru planimetrycznego, aby określić obszar. Na przykład dla trapezu ta formuła wygląda tak:

S_o4=1/2(a₁+ a₂)h _a.

Gdzie h_a to wysokość trapezu, a₁ i a₂ to długości jego równoległych boków.

Aby określić obszar dla wielokątów wyższego rzędu, należy podzielić je na proste kształty (trójkąty, czworokąty) i obliczyć sumę powierzchni tych ostatnich.

Objętość pochylonego pryzmatu

To najtrudniejszy przypadek obliczenia objętości pryzmatu. Obowiązuje również ogólna formuła dla takich liczb:

V=S_oh.

Jednak do złożoności znalezienia obszaru podstawy reprezentującego dowolny typ wielokąta dodawany jest problem określenia wysokości figury. Jest zawsze mniejsza niż długość bocznej krawędzi w pochyłym pryzmacie.

Najłatwiejszym sposobem na znalezienie tej wysokości jest znajomość dowolnego kąta figury (płaska lub dwuścienna). Jeżeli taki kąt jest podany, to należy z jego pomocą skonstruować trójkąt prostokątny wewnątrz graniastosłupa, który zawierałby wysokość h jako jeden z boków i korzystając z funkcji trygonometrycznych i twierdzenia Pitagorasa znaleźć wartość h.

Problem z objętością geometryczną

Biorąc pod uwagę zwykły pryzmat z trójkątną podstawą, o wysokości 14 cm i długości boku 5 cm. Jaka jest objętość pryzmatu trójkątnego?

Ponieważ mówimy o prawidłowej liczbie, mamy prawo użyć dobrze znanego wzoru. Mamy:

V₃=3/4a²hctg(pi/3)=3/45²141/√3=√3/42514=151,55 cm³.

Trójkątny pryzmat to dość symetryczna figura, w postaci której często powstają różne konstrukcje architektoniczne. Ten szklany pryzmat jest używany w optyce.