Bezpośredni pryzmat trójkątny. Wzory objętości i powierzchni. Rozwiązanie problemu geometrycznego

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Ostatnio zmodyfikowany: 2024-01-02 17:54

W liceum, po przestudiowaniu właściwości figur na płaszczyźnie, przechodzą do rozważania przestrzennych obiektów geometrycznych, takich jak pryzmaty, kule, piramidy, walce i stożki. W tym artykule podamy najpełniejszy opis prostego trójkątnego pryzmatu.

Co to jest trójkątny pryzmat?

Rozpocznijmy artykuł od definicji figury, która zostanie omówiona dalej. Graniastosłup z punktu widzenia geometrii to figura w przestrzeni utworzona przez dwa identyczne n-gony położone w równoległych płaszczyznach, których te same kąty są połączone odcinkami linii prostych. Te segmenty nazywane są żebrami bocznymi. Razem z bokami podstawy tworzą powierzchnię boczną, która jest ogólnie reprezentowana przez równoległoboki.

Dwa n-gony są podstawą figury. Jeśli krawędzie boczne są do nich prostopadłe, mówią o pryzmacie prostym. W związku z tym, jeśli liczba boków n wielokąta u podstaw wynosi trzy, to taką figurę nazywamy graniastosłupem trójkątnym.

Na powyższym rysunku pokazano trójkątny pryzmat prosty. Ta figura jest również nazywana regularną, ponieważ jej podstawą są trójkąty równoboczne. Długość bocznej krawędzi figury, oznaczona literą h na figurze, nazywana jest jej wysokością.

Na rysunku widać, że pryzmat o trójkątnej podstawie składa się z pięciu ścian, z których dwie to trójkąty równoboczne, a trzy to identyczne prostokąty. Oprócz twarzy pryzmat ma sześć wierzchołków u podstawy i dziewięć krawędzi. Liczby rozważanych elementów są powiązane ze sobą przez twierdzenie Eulera:

liczba krawędzi=liczba wierzchołków + liczba boków - 2.

Obszar prawego trójkątnego pryzmatu

Powyżej dowiedzieliśmy się, że figura, o której mowa, składa się z pięciu ścian dwóch typów (dwa trójkąty, trzy prostokąty). Wszystkie te twarze tworzą całą powierzchnię pryzmatu. Ich łączna powierzchnia to powierzchnia figury. Poniżej znajduje się rozkładany trójkątny pryzmat, który można uzyskać odcinając najpierw dwie podstawy z figury, a następnie przecinając jedną krawędź i rozkładając powierzchnię boczną.

Podajmy wzory do określania pola powierzchni tego przeciągnięcia. Zacznijmy od podstaw prawego trójkątnego pryzmatu. Ponieważ reprezentują one trójkąty, obszar S_{3 każdego z nich można znaleźć w następujący sposób:}

S₃=1/2ah_a.

Tu a to bok trójkąta, h_{a to wysokość obniżona od wierzchołka trójkąta do tej strony.}

Jeżeli trójkąt jest równoboczny (regularny), to wzór na S_{3 zależy tylko od jednego parametru a. Wygląda to tak:}

S₃=√3/4a^2.

To wyrażenie można uzyskać, biorąc pod uwagę trójkąt prostokątny utworzony przez segmenty a, a/2, h_a.

Powierzchnia podstaw S_o dla zwykłej figury jest dwukrotnością wartości S_3:

S_o=2S₃=√3/2a^2.

Jeśli chodzi o powierzchnię boczną S_{b, nie jest trudno ją obliczyć. Aby to zrobić, wystarczy pomnożyć przez trzy powierzchnię jednego prostokąta utworzonego przez boki a i h. Odpowiednia formuła to:}

S_b=3ah.

W związku z tym obszar regularnego pryzmatu o trójkątnej podstawie określa następujący wzór:

S=S_o+ S_b=√3/2a^{2+ 3 ah.}

Jeżeli pryzmat jest prosty, ale nieregularny, to aby obliczyć jego pole, należy osobno dodać pola prostokątów, które nie są sobie równe.

Określanie objętości figury

Objętość pryzmatu rozumiana jest jako przestrzeń ograniczona jego bokami (ścianami). Obliczenie objętości prostokątnego graniastosłupa trójkątnego jest znacznie łatwiejsze niż obliczenie jego powierzchni. Aby to zrobić, wystarczy znać obszar podstawy i wysokość sylwetki. Ponieważ wysokość h figury prostej jest długością jej krawędzi bocznej, a jak obliczyć powierzchnię podstawy, podaliśmy w poprzednimpunktu, pozostaje pomnożyć te dwie wartości przez siebie, aby uzyskać pożądaną objętość. Wzór na to wygląda następująco:

V=S_3h.

Pamiętaj, że iloczyn powierzchni jednej podstawy i wysokości da objętość nie tylko prostego pryzmatu, ale także ukośnej figury, a nawet cylindra.

Rozwiązywanie problemów

Szklane trójkątne pryzmaty są używane w optyce do badania widma promieniowania elektromagnetycznego ze względu na zjawisko dyspersji. Wiadomo, że zwykły szklany pryzmat ma długość boku podstawy 10 cm i długość krawędzi 15 cm. Jaka jest powierzchnia jego szklanych powierzchni i jaką zawiera objętość?

Aby określić obszar, użyjemy wzoru zapisanego w artykule. Mamy:

S=√3/2a²+ 3ah=√3/210² + 3 1015=536,6 cm^2.

Aby określić objętość V, używamy również powyższego wzoru:

V=S₃h=√3/4a²h=√3/410 2^{15=649,5 cm}3^.

Pomimo tego, że krawędzie pryzmatu mają długość 10 cm i 15 cm, objętość figury to tylko 0,65 litra (kostka o boku 10 cm ma objętość 1 litra).