Trójkątna piramida i wzory na określenie jej powierzchni

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Ostatnio zmodyfikowany: 2023-12-17 05:38

Piramida to geometryczna figura przestrzenna, której cechy są badane w liceum w trakcie geometrii bryłowej. W tym artykule rozważymy trójkątną piramidę, jej rodzaje, a także wzory na obliczanie jej powierzchni.

O której piramidzie mówimy?

Trójkątna piramida to figura, którą można uzyskać łącząc wszystkie wierzchołki dowolnego trójkąta jednym punktem, który nie leży na płaszczyźnie tego trójkąta. Zgodnie z tą definicją rozważana piramida powinna składać się z trójkąta początkowego, zwanego podstawą figury, oraz trzech trójkątów bocznych, które mają jeden wspólny bok z podstawą i są ze sobą połączone w punkcie. Ten ostatni nazywa się szczytem piramidy.

Powyższy rysunek przedstawia dowolną trójkątną piramidę.

Rozważana figura może być ukośna lub prosta. W tym drugim przypadku prostopadła opuszczona ze szczytu piramidy do jej podstawy musi przecinać ją w geometrycznym środku. geometryczny środek każdegotrójkąt jest punktem przecięcia jego median. Środek geometryczny pokrywa się ze środkiem masy figury w fizyce.

Jeżeli regularny (równoboczny) trójkąt leży u podstawy prostej piramidy, to nazywamy go regularnym trójkątem. W regularnej piramidzie wszystkie boki są sobie równe i są trójkątami równobocznymi.

Jeśli wysokość regularnej piramidy jest taka, że jej boczne trójkąty stają się równoboczne, wtedy nazywa się ją czworościanem. W czworościanie wszystkie cztery ściany są sobie równe, więc każdą z nich można uznać za podstawę.

Elementy piramidy

Te elementy obejmują twarze lub boki figury, jej krawędzie, wierzchołki, wysokość i apotemy.

Jak pokazano, wszystkie boki trójkątnej piramidy są trójkątami. Ich liczba to 4 (3 strony i jedna u podstawy).

Wierzchołki są punktami przecięcia trzech trójkątnych boków. Nietrudno zgadnąć, że dla rozważanej piramidy są ich 4 (3 należą do podstawy i 1 do szczytu piramidy).

Krawędzie można zdefiniować jako linie przecinające dwa trójkątne boki lub jako linie łączące co dwa wierzchołki. Liczba krawędzi odpowiada dwukrotnej liczbie wierzchołków podstawy, czyli dla ostrosłupa trójkątnego wynosi 6 (3 krawędzie należą do podstawy, a 3 krawędzie tworzą ściany boczne).

Wysokość, jak wspomniano powyżej, to długość prostopadłej narysowanej od szczytu piramidy do jej podstawy. Jeśli narysujemy wysokości z tego wierzchołka po obu stronach trójkątnej podstawy,wtedy będą nazywane apotemami (lub apotemami). Tak więc trójkątna piramida ma jedną wysokość i trzy apotemy. Te ostatnie są sobie równe dla zwykłej piramidy.

Podstawa piramidy i jej powierzchnia

Ponieważ podstawą rozważanej figury jest z reguły trójkąt, do obliczenia jej powierzchni wystarczy znaleźć jej wysokość h_o oraz długość boku podstawy a, na którym jest opuszczany. Wzór na obszar S_o podstawy to:

S_o=1/2h_oa

Jeżeli trójkąt podstawy jest równoboczny, wówczas powierzchnia podstawy trójkątnej piramidy jest obliczana według następującego wzoru:

S_o=√3/4a²

To znaczy, obszar S_ojest jednoznacznie określony przez długość boku a trójkątnej podstawy.

Boczna i całkowita powierzchnia figury

Zanim przyjrzymy się powierzchni trójkątnej piramidy, warto pokazać jej rozwój. Jest na zdjęciu poniżej.

Obszar tego przeciągnięcia utworzonego przez cztery trójkąty to całkowita powierzchnia piramidy. Jeden z trójkątów odpowiada podstawie, której wzór na rozważaną wartość został napisany powyżej. Trzy boczne trójkątne twarze tworzą razem boczny obszar figury. Dlatego do wyznaczenia tej wartości wystarczy zastosować powyższy wzór na dowolny trójkąt do każdego z nich, a następnie dodać trzy wyniki.

Jeśli piramida jest poprawna, to obliczeniapole powierzchni bocznej jest ułatwione, ponieważ wszystkie powierzchnie boczne są identycznymi trójkątami równobocznymi. Oznacz h_bdługość apotem, a następnie obszar powierzchni bocznej S_b można określić w następujący sposób:

S_b=3/2ah_b

Ta formuła wynika z ogólnego wyrażenia na obszar trójkąta. Liczba 3 pojawiła się w licznikach ze względu na to, że piramida ma trzy ściany boczne.

Apotema h_b w regularnej piramidzie można obliczyć, jeśli znana jest wysokość figury h. Stosując twierdzenie Pitagorasa otrzymujemy:

h_b=√(h²+ a²/12)

Oczywiście, całkowita powierzchnia S powierzchni figury jest równa sumie jej powierzchni bocznych i bazowych:

S=S_o+ S_b

Dla zwykłej piramidy, zastępując wszystkie znane wartości, otrzymujemy wzór:

S=√3/4a²+ 3/2a√(h²+ a ²/12)

Powierzchnia trójkątnej piramidy zależy tylko od długości boku jej podstawy i od wysokości.

Przykładowy problem

Wiadomo, że boczna krawędź trójkątnej piramidy ma 7 cm, a bok podstawy 5 cm. Musisz znaleźć pole powierzchni figury, jeśli wiesz, że piramida jest regularne.

Użyj ogólnej równości:

S=S_o+ S_b

Obszar S_ojest równy:

S_o=√3/4a² =√3/45^{2 ≈10, 825cm}2.

Aby określić powierzchnię boczną, musisz znaleźć apotemę. Nietrudno wykazać, że przez długość krawędzi bocznej a_b określa ją wzór:

h_b=√(a_b²- a^{2 /4)=√(7} 2^-52^{/4) ≈ 6,538 cm.}

Wtedy obszar S_b to:

S_b=3/2ah_b=3/256, 538=49,035 cm2.

Całkowita powierzchnia piramidy to:

S=S_o+ S_b=10,825 + 49,035=59,86 cm².

Zauważ, że przy rozwiązywaniu problemu nie użyliśmy w obliczeniach wartości wysokości piramidy.