Matematyka jest jak układanka. Dotyczy to zwłaszcza dzielenia i mnożenia w kolumnie. W szkole te działania są badane od prostych do złożonych. Dlatego z pewnością konieczne jest opanowanie algorytmu wykonywania powyższych operacji na prostych przykładach. Aby później nie było trudności z dzieleniem ułamków dziesiętnych na kolumnę. W końcu to najtrudniejsza wersja takich zadań.
Porada dla tych, którzy chcą być dobrzy z matematyki
Ten temat wymaga konsekwentnego studiowania. Luki w wiedzy są tu niedopuszczalne. Tej zasady powinien nauczyć się każdy uczeń już w pierwszej klasie. Dlatego jeśli pominiesz kilka lekcji z rzędu, będziesz musiał sam opanować materiał. W przeciwnym razie później pojawią się problemy nie tylko z matematyką, ale także z innymi przedmiotami z nią związanymi.
Drugim warunkiem pomyślnego studiowania matematyki jest przejście do długich przykładów dzielenia dopiero po opanowaniu dodawania, odejmowania i mnożenia.
Dzieckotrudno będzie dzielić, jeśli nie nauczył się tabliczki mnożenia. Nawiasem mówiąc, lepiej nauczyć się tego z tabeli pitagorejskiej. Nie ma w tym nic zbędnego, a mnożenie jest w tym przypadku łatwiejsze do strawienia.
Jak mnożyć liczby naturalne w kolumnie?
Jeżeli jest trudność w rozwiązaniu przykładów w kolumnie do dzielenia i mnożenia, to konieczne jest rozpoczęcie rozwiązywania zadania od mnożenia. Ponieważ dzielenie jest odwrotnością mnożenia:
- Zanim pomnożysz dwie liczby, musisz im dokładnie przyjrzeć się. Wybierz ten z większą liczbą cyfr (dłuższy), najpierw go zapisz. Umieść pod nim drugą. Ponadto numery odpowiedniej kategorii powinny znajdować się w tej samej kategorii. Oznacza to, że skrajna prawa cyfra pierwszej liczby powinna znajdować się powyżej skrajnej prawej cyfry drugiej.
- Pomnóż skrajną prawą cyfrę dolnej liczby przez każdą cyfrę górnej liczby, zaczynając od prawej. Wpisz odpowiedź pod linią, tak aby jej ostatnia cyfra znajdowała się pod tą, przez którą pomnożyłeś.
- Powtórz to samo z drugą cyfrą dolnego numeru. Ale wynik mnożenia należy przesunąć o jedną cyfrę w lewo. W tym przypadku jego ostatnia cyfra będzie pod tą, przez którą została pomnożona.
Kontynuuj to mnożenie w kolumnie, aż wyczerpią się liczby w drugim mnożniku. Teraz trzeba je złożyć. To będzie pożądana odpowiedź.
Algorytm mnożenia do kolumny ułamków dziesiętnych
Po pierwsze, należy sobie wyobrazić, że nie podaje się ułamków dziesiętnych, ale naturalne. Oznacza to, że usuń z nich przecinki, a następnie postępuj zgodnie z opisem w poprzednimsprawa.
Różnica zaczyna się po zarejestrowaniu odpowiedzi. W tym momencie należy policzyć wszystkie liczby znajdujące się po przecinku w obu ułamkach. Tyle z nich musisz policzyć od końca odpowiedzi i wstawić tam przecinek.
Wygodnie jest zilustrować ten algorytm przykładem: 0,25 x 0,33:
- Zapisz te ułamki, aby liczba 33 była mniejsza niż 25.
- Teraz prawą trójkę należy pomnożyć przez 25. Okazuje się, że 75. Należy to napisać tak, aby piątka znajdowała się pod trójką, przez którą wykonano mnożenie.
- Następnie pomnóż 25 przez pierwsze 3. Znowu będzie to 75, ale zostanie zapisane tak, że 5 jest poniżej 7 poprzedniej liczby.
- Po dodaniu tych dwóch liczb otrzymujemy 825. W ułamkach dziesiętnych 4 cyfry są oddzielone przecinkami. Dlatego w odpowiedzi należy również oddzielić 4 cyfry przecinkiem. Ale jest ich tylko trzech. Aby to zrobić, będziesz musiał napisać 0 przed 8, wstawić przecinek, przed nim kolejne 0.
- Odpowiedzią w przykładzie będzie liczba 0, 0825.
Jak rozpocząć naukę dzielenia?
Przed rozwiązywaniem długich przykładów dzielenia należy zapamiętać nazwy liczb użytych w przykładzie dzielenia. Pierwsza z nich (ta podzielna) to podzielna. Drugi (podzielony na nią) jest dzielnikiem. Odpowiedź jest ilorazem.
Następnie, na prostym, codziennym przykładzie, wyjaśnimy istotę tego matematycznego działania. Na przykład, jeśli weźmiesz 10 słodyczy, łatwo podzielić je równo między mamę i tatę. Ale co, jeśli musisz rozdać je swoim rodzicom i bratu?
Po tym możesz zapoznać się z zasadamipodziały i opanuj je konkretnymi przykładami. Najpierw proste, a potem coraz bardziej złożone.
Algorytm dzielenia liczb na kolumnę
Najpierw przedstawiamy procedurę dla liczb naturalnych podzielnych przez jedną cyfrę. Będą również podstawą do dzielników wielocyfrowych lub ułamków dziesiętnych. Dopiero wtedy należy wprowadzić drobne zmiany, ale o tym później:
- Zanim zaczniesz dzielić długie, musisz dowiedzieć się, gdzie są dywidenda i dzielnik.
- Napisz dywidendę. Po prawej stronie znajduje się dzielnik.
- Narysuj lewą i dolną część w pobliżu ostatniego rogu.
- Określ niepełną dywidendę, czyli liczbę, która będzie minimalna do podziału. Zwykle składa się z jednej cyfry, maksymalnie dwóch.
- Wybierz numer, który będzie pierwszym wpisanym w odpowiedzi. Musi być to, ile razy dzielnik mieści się w dywidendzie.
- Zapisz wynik pomnożenia tej liczby przez dzielnik.
- Zapisz to pod niepełnym dzielnikiem. Odejmij.
- Usuń pierwszą cyfrę po już podzielonej części.
- Odbierz odpowiedź ponownie.
- Powtórz mnożenie i odejmowanie. Jeśli reszta wynosi zero, a dywidenda się skończyła, przykład jest gotowy. W przeciwnym razie powtórz kroki: zburz liczbę, podnieś liczbę, pomnóż, odejmij.
Jak rozwiązać długie dzielenie, jeśli dzielnik ma więcej niż jedną cyfrę?
Sam algorytm całkowicie pokrywa się z tym, co opisano powyżej. Różnica będzie liczbą cyfr w niepełnej dywidendzie. Ichteraz powinny być co najmniej dwie, ale jeśli okażą się mniejsze niż dzielnik, to ma działać z pierwszymi trzema cyframi.
W tym podziale jest jeszcze jeden niuans. Faktem jest, że reszta i przeniesiona do niej postać czasami nie są podzielne przez dzielnik. Następnie należy przypisać jeszcze jedną figurę w kolejności. Ale jednocześnie odpowiedź musi wynosić zero. Jeśli trzycyfrowe liczby są podzielone na kolumnę, może być konieczne usunięcie więcej niż dwóch cyfr. Następnie wprowadzana jest zasada: w odpowiedzi powinno być o jeden mniej zer niż liczba skreślonych cyfr.
Możesz rozważyć taki podział na przykładzie - 12082: 863.
- Niepełna podzielna w nim jest liczba 1208. Liczba 863 jest w nim umieszczona tylko raz. Dlatego w odpowiedzi ma wpisać 1, a pod 1208 napisać 863.
- Po odjęciu reszta wynosi 345.
- Musisz zburzyć numer 2.
- Liczba 3452 pasuje cztery razy 863.
- Cztery muszą być napisane w odpowiedzi. Co więcej, gdy pomnożymy ją przez 4, otrzymamy tę liczbę.
- Reszta po odjęciu wynosi zero. Oznacza to, że podział się skończył.
Odpowiedzią w przykładzie będzie liczba 14.
Co jeśli dywidenda kończy się na zero?
Albo kilka zer? W takim przypadku otrzymuje się resztę zerową, a dywidenda nadal zawiera zera. Nie rozpaczaj, wszystko jest łatwiejsze niż mogłoby się wydawać. Wystarczy dodać do odpowiedzi wszystkie zera, które pozostały niepodzielne.
Na przykład musisz podzielić 400 przez 5. Niepełna dywidenda to 40. Pięć jest w niej umieszczanych 8 razy. Oznacza to, że odpowiedź ma być napisana 8. Kiedynie ma reszty do odjęcia. Oznacza to, że podział się skończył, ale w dywidendzie pozostaje zero. Będzie musiał zostać dodany do odpowiedzi. Więc 400 podzielone przez 5 to 80.
Co zrobić, jeśli musisz dzielić ułamek dziesiętny?
Ponownie ta liczba wygląda jak liczba naturalna, z wyjątkiem przecinka oddzielającego część całkowitą od części ułamkowej. Sugeruje to, że długi podział miejsc dziesiętnych jest podobny do opisanego powyżej.
Jedyną różnicą będzie średnik. Należy odpowiedzieć natychmiast, gdy tylko pierwsza cyfra z części ułamkowej zostanie usunięta. W inny sposób można powiedzieć tak: dzielenie części całkowitej jest zakończone - wstaw przecinek i kontynuuj rozwiązanie dalej.
Rozwiązując przykłady podziału na kolumnę z ułamkami dziesiętnymi, należy pamiętać, że do części po przecinku można przypisać dowolną liczbę zer. Czasami jest to konieczne, aby uzupełnić liczby do końca.
Podział dwóch miejsc po przecinku
To może wydawać się skomplikowane. Ale tylko na początku. W końcu, jak wykonać dzielenie w kolumnie ułamków przez liczbę naturalną, jest już jasne. Musimy więc zredukować ten przykład do już znanej formy.
To proste. Musisz pomnożyć oba ułamki przez 10, 100, 1000 lub 10 000, a może milion, jeśli zadanie tego wymaga. Mnożnik powinien być wybrany na podstawie liczby zer w części dziesiętnej dzielnika. Oznacza to, że w rezultacie okazuje się, że ułamek trzeba będzie podzielić przez liczbę naturalną.
I tobędzie w najgorszym przypadku. W końcu może się okazać, że dywidenda z tej operacji stanie się liczbą całkowitą. Wtedy rozwiązanie przykładu z podziałem na kolumnę ułamków zostanie zredukowane do najprostszej opcji: operacji na liczbach naturalnych.
Jako przykład: 28, 4 podzielone przez 3, 2:
- Po pierwsze, muszą być pomnożone przez 10, ponieważ druga liczba ma tylko jedną cyfrę po przecinku. Mnożenie da 284 i 32.
- Mają być rozdzieleni. I od razu całkowita liczba 284 na 32.
- Pierwsza dopasowana liczba to 8. Pomnożenie jej daje 256. Reszta to 28.
- Zakończono dzielenie części całkowitej i należy wstawić przecinek w odpowiedzi.
- Dash, aby zrównoważyć 0.
- Weź 8 ponownie.
- Reszta: 24. Dodaj do niej kolejne 0.
- Teraz musisz wziąć 7.
- Wynikiem mnożenia jest 224, reszta to 16.
- Zburz kolejne 0. Weź po 5 i zdobądź dokładnie 160. Reszta to 0.
Podział się skończył. Wynik przykładu 28, 4:3, 2 to 8, 875.
Co jeśli dzielnik wynosi 10, 100, 0, 1 lub 0,01?
Podobnie jak w przypadku mnożenia, dzielenie długie nie jest tutaj potrzebne. Wystarczy przesunąć przecinek we właściwym kierunku dla określonej liczby cyfr. Co więcej, zgodnie z tą zasadą, możesz rozwiązywać przykłady za pomocą zarówno liczb całkowitych, jak i ułamków dziesiętnych.
Tak więc, jeśli musisz podzielić przez 10, 100 lub 1000, przecinek jest przesuwany w lewo o tyle cyfr, ile jest zer w dzielniku. Oznacza to, że gdy liczba jest podzielna przez 100, przecinekpowinien przesunąć się o dwie cyfry w lewo. Jeżeli dzielna jest liczbą naturalną, to zakłada się, że przecinek znajduje się na jej końcu.
Ta akcja daje taki sam wynik, jak gdyby liczba była pomnożona przez 0, 1, 0, 01 lub 0,001. W tych przykładach przecinek jest również przesuwany w lewo o liczbę cyfr równą długość części ułamkowej.
Przy dzieleniu przez 0, 1 (itd.) lub mnożeniu przez 10 (itd.) przecinek powinien przesunąć się w prawo o jedną cyfrę (lub dwie, trzy, w zależności od liczby zer lub długości części ułamkowe).
Warto zauważyć, że liczba cyfr podana w dywidendzie może być niewystarczająca. Następnie brakujące zera można dodać z lewej strony (w części całkowitej) lub z prawej (po przecinku).
Podział na ułamki cykliczne
W tym przypadku nie będziesz w stanie uzyskać dokładnej odpowiedzi podczas dzielenia na kolumnę. Jak rozwiązać przykład, jeśli napotkamy ułamek z kropką? Tutaj konieczne jest przejście do zwykłych frakcji. A następnie dokonaj ich podziału według wcześniej poznanych zasad.
Na przykład musisz podzielić 0, (3) przez 0, 6. Pierwsza część jest okresowa. Przelicza się ją na frakcję 3/9, która po redukcji da 1/3. Drugi ułamek to ostatnia część dziesiętna. Jeszcze łatwiej jest zapisać zwykły: 6/10, czyli 3/5. Reguła dzielenia zwykłych ułamków nakazuje zastąpienie dzielenia mnożeniem, a dzielnika odwrotnością. Czyli przykład sprowadza się do pomnożenia 1/3 przez 5/3. Odpowiedź będzie 5/9.
Jeśli przykład zawiera różne ułamki…
W takim razie istnieje kilka możliwych rozwiązań. Po pierwsze, zwykły ułamek może byćspróbuj przekonwertować na dziesiętny. Następnie podziel już dwa miejsca po przecinku zgodnie z powyższym algorytmem.
Po drugie, każdy ostatni ułamek dziesiętny może być zapisany jako zwykły ułamek. Po prostu nie zawsze jest to wygodne. Najczęściej takie frakcje okazują się ogromne. Tak, a odpowiedzi są kłopotliwe. Dlatego pierwsze podejście jest uważane za bardziej preferowane.
