Badanie teorii prawdopodobieństwa zaczyna się od rozwiązania problemów dodawania i mnożenia prawdopodobieństw. Warto od razu wspomnieć, że przy opanowywaniu tej dziedziny wiedzy uczeń może napotkać problem: jeśli procesy fizyczne lub chemiczne można przedstawić wizualnie i zrozumieć empirycznie, to poziom abstrakcji matematycznej jest bardzo wysoki, a zrozumienie tutaj przychodzi tylko z doświadczenie.
Jednak gra jest warta świeczki, ponieważ formuły - zarówno rozważane w tym artykule, jak i te bardziej złożone - są dziś używane wszędzie i mogą być przydatne w pracy.
Pochodzenie
Co dziwne, bodźcem do rozwoju tej sekcji matematyki był… hazard. Rzeczywiście, kości, rzut monetą, poker, ruletka to typowe przykłady, które wykorzystują dodawanie i mnożenie prawdopodobieństw. Widać to wyraźnie na przykładzie zadań z dowolnego podręcznika. Ludzie byli zainteresowani nauką, jak zwiększyć swoje szanse na wygraną i muszę powiedzieć, że niektórym się to udało.
Na przykład już w XXI wieku jedna osoba, której nazwiska nie ujawnimy,wykorzystał tę wiedzę zgromadzoną przez stulecia, aby dosłownie „oczyścić” kasyno, wygrywając kilkadziesiąt milionów dolarów w ruletce.
Jednak pomimo zwiększonego zainteresowania tym tematem, dopiero w XX wieku opracowano ramy teoretyczne, dzięki którym „teorver” stał się pełnoprawnym składnikiem matematyki. Dziś w prawie każdej nauce można znaleźć obliczenia przy użyciu metod probabilistycznych.
Zastosowanie
Ważnym punktem przy używaniu formuł dodawania i mnożenia prawdopodobieństw, prawdopodobieństwo warunkowe jest spełnialnością centralnego twierdzenia granicznego. W przeciwnym razie, chociaż uczeń może tego nie wykonać, wszystkie obliczenia, bez względu na to, jak wiarygodne mogą się wydawać, będą nieprawidłowe.
Tak, wysoce zmotywowany uczeń ma pokusę korzystania z nowej wiedzy przy każdej okazji. Ale w tym przypadku należy trochę zwolnić i ściśle określić zakres stosowalności.
Teoria prawdopodobieństwa zajmuje się zdarzeniami losowymi, które w ujęciu empirycznym są wynikiem eksperymentów: możemy rzucić kostką sześciościenną, dobrać kartę z talii, przewidzieć liczbę wadliwych części w partii. Jednak w niektórych pytaniach kategorycznie niemożliwe jest użycie formuł z tego działu matematyki. Cechy rozpatrywania prawdopodobieństw zdarzenia, twierdzenia o dodawaniu i mnożeniu zdarzeń omówimy na końcu artykułu, ale na razie przejdźmy do przykładów.
Podstawowe koncepcje
Zdarzenie losowe oznacza proces lub wynik, który może się pojawić lub niew wyniku eksperymentu. Na przykład podrzucamy kanapkę - może wsypać masło lub masło w dół. Każdy z tych dwóch wyników będzie losowy i nie wiemy z góry, który z nich będzie miał miejsce.
Podczas badania dodawania i mnożenia prawdopodobieństw potrzebujemy jeszcze dwóch pojęć.
Zdarzenia wspólne to te zdarzenia, z których wystąpienie jednego nie wyklucza wystąpienia drugiego. Powiedzmy, że dwie osoby jednocześnie strzelają do celu. Jeśli jeden z nich odda udany strzał, nie wpłynie to na zdolność drugiego do trafienia lub spudłowania.
Niespójne będą takie zdarzenia, których wystąpienie jest jednocześnie niemożliwe. Na przykład, wyciągając tylko jedną piłkę z pudełka, nie możesz uzyskać jednocześnie niebieskiego i czerwonego.
Oznaczenie
Pojęcie prawdopodobieństwa jest oznaczone łacińską wielką literą P. Następnie w nawiasie znajdują się argumenty oznaczające niektóre zdarzenia.
We wzorach twierdzenia o dodawaniu, prawdopodobieństwie warunkowym, twierdzeniu o mnożeniu zobaczysz wyrażenia w nawiasach, na przykład: A+B, AB lub A|B. Będą obliczane na różne sposoby, teraz zwrócimy się do nich.
Dodanie
Rozważmy przypadki, w których używane są formuły dodawania i mnożenia.
W przypadku niezgodnych zdarzeń, najprostsza formuła dodawania jest istotna: prawdopodobieństwo dowolnego z losowych wyników będzie równe sumie prawdopodobieństw każdego z tych wyników.
Załóżmy, że jest pudełko z 2 niebieskimi, 3 czerwonymi i 5 żółtymi balonami. W pudełku znajduje się łącznie 10 przedmiotów. Jaki jest procent prawdziwości stwierdzenia, że narysujemy niebieską lub czerwoną piłkę? Wyniesie 2/10 + 3/10, czyli pięćdziesiąt procent.
W przypadku niezgodnych zdarzeń formuła staje się bardziej skomplikowana, ponieważ dodawany jest dodatkowy termin. Wrócimy do tego w jednym akapicie, po rozważeniu jeszcze jednej formuły.
Mnożenie
Dodawanie i mnożenie prawdopodobieństw niezależnych zdarzeń jest używane w różnych przypadkach. Jeśli zgodnie z warunkami eksperymentu jesteśmy zadowoleni z jednego z dwóch możliwych wyników, obliczymy sumę; jeśli chcemy uzyskać dwa określone wyniki jeden po drugim, zastosujemy inną formułę.
Wracając do przykładu z poprzedniej sekcji, chcemy najpierw narysować niebieską kulę, a potem czerwoną. Pierwsza znana nam liczba to 2/10. Co się potem dzieje? Zostało 9 kulek, pozostało tyle samo czerwonych - trzy sztuki. Zgodnie z obliczeniami otrzymujesz 3/9 lub 1/3. Ale co teraz zrobić z dwoma liczbami? Prawidłowa odpowiedź to pomnożenie, aby uzyskać 2/30.
Wspólne wydarzenia
Teraz możemy wrócić do formuły sum dla wspólnych wydarzeń. Dlaczego odchodzimy od tematu? Aby dowiedzieć się, jak mnoży się prawdopodobieństwa. Teraz ta wiedza się przyda.
Już wiemy, jakie będą dwa pierwsze wyrazy (tak samo, jak w rozważanym wcześniej wzorze na dodawanie), teraz musimy odjąćiloczyn prawdopodobieństw, które właśnie nauczyliśmy się obliczać. Dla jasności piszemy wzór: P (A + B) u003d P (A) + P (B) - P (AB). Okazuje się, że w jednym wyrażeniu używane są zarówno dodawanie, jak i mnożenie prawdopodobieństw.
Powiedzmy, że aby uzyskać uznanie, musimy rozwiązać jeden z dwóch problemów. Pierwszy możemy rozwiązać z prawdopodobieństwem 0,3, a drugi - 0,6 Rozwiązanie: 0,3 + 0,6 - 0,18=0,72 Pamiętaj, że samo zsumowanie liczb tutaj nie wystarczy.
Warunkowe prawdopodobieństwo
Na koniec istnieje pojęcie prawdopodobieństwa warunkowego, którego argumenty są podane w nawiasach i oddzielone pionową kreską. Wpis P(A|B) brzmi następująco: „prawdopodobieństwo zdarzenia A dane zdarzenie B”.
Spójrzmy na przykład: znajomy daje ci jakieś urządzenie, niech to będzie telefon. Może być zepsuty (20%) lub dobry (80%). Jesteś w stanie naprawić każde urządzenie, które wpadnie w Twoje ręce z prawdopodobieństwem 0,4 lub nie jesteś w stanie tego zrobić (0,6). Wreszcie, jeśli urządzenie jest sprawne, możesz dotrzeć do właściwej osoby z prawdopodobieństwem 0,7.
Łatwo zobaczyć, jak działa prawdopodobieństwo warunkowe w tym przypadku: nie możesz połączyć się z osobą, jeśli telefon jest uszkodzony, a jeśli jest dobry, nie musisz go naprawiać. Tak więc, aby uzyskać jakiekolwiek wyniki na "drugim poziomie", musisz wiedzieć, jakie zdarzenie zostało wykonane na pierwszym.
Obliczenia
Rozważmy przykłady rozwiązywania problemów z dodawaniem i mnożeniem prawdopodobieństw, wykorzystując dane z poprzedniego akapitu.
Najpierw znajdźmy prawdopodobieństwo, że tynaprawić otrzymane urządzenie. Aby to zrobić, po pierwsze musi być uszkodzony, a po drugie, musisz poradzić sobie z naprawą. Jest to typowy problem z mnożeniem: otrzymujemy 0,20,4=0,08.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że natychmiast dotrzesz do właściwej osoby? Łatwiej niż prosto: 0,80,7=0,56. W tym przypadku stwierdziłeś, że telefon działa i udało Ci się nawiązać połączenie.
Na koniec rozważmy następujący scenariusz: otrzymałeś zepsuty telefon, naprawiłeś go, następnie wybrałeś numer, a osoba po przeciwnej stronie odebrała telefon. Tutaj mnożenie trzech składników jest już wymagane: 0, 20, 40, 7=0, 056.
A co jeśli masz jednocześnie dwa niedziałające telefony? Jakie jest prawdopodobieństwo, że naprawisz przynajmniej jeden z nich? Jest to problem dodawania i mnożenia prawdopodobieństw, ponieważ stosuje się wspólne zdarzenia. Rozwiązanie: 0, 4 + 0, 4 - 0, 40, 4=0, 8 - 0, 16=0, 64.
Ostrożne użytkowanie
Jak wspomniano na początku artykułu, korzystanie z teorii prawdopodobieństwa powinno być przemyślane i świadome.
Im większa seria eksperymentów, tym bardziej teoretycznie przewidywana wartość zbliża się do praktycznej. Na przykład rzucamy monetą. Teoretycznie, wiedząc o istnieniu wzorów na dodawanie i mnożenie prawdopodobieństw, możemy przewidzieć, ile razy wypadną orły, jeśli przeprowadzimy eksperyment 10 razy. Zrobiliśmy eksperyment iPrzypadkowo stosunek opuszczonych boków wynosił 3 do 7. Ale jeśli przeprowadzisz serię 100, 1000 lub więcej prób, okazuje się, że wykres rozkładu jest coraz bliższy teoretycznemu: 44 do 56, 482 do 518 i tak dalej.
Teraz wyobraź sobie, że ten eksperyment jest przeprowadzany nie za pomocą monety, ale z wytworzeniem jakiejś nowej substancji chemicznej, której prawdopodobieństwa nie znamy. Przeprowadzilibyśmy 10 eksperymentów i jeśli nie otrzymalibyśmy pomyślnego wyniku, moglibyśmy uogólnić: „substancji nie można uzyskać”. Ale kto wie, czy gdybyśmy podjęli jedenastą próbę, osiągnęlibyśmy cel, czy nie?
Więc jeśli wybierasz się w nieznane, niezbadane królestwo, teoria prawdopodobieństwa może nie mieć zastosowania. Każda kolejna próba w tym przypadku może się powieść, a uogólnienia typu „X nie istnieje” lub „X jest niemożliwe” będą przedwczesne.
Słowo zamykające
Więc przyjrzeliśmy się dwóm rodzajom dodawania, mnożenia i prawdopodobieństw warunkowych. Przy dalszym badaniu tego obszaru konieczne jest nauczenie się rozróżniania sytuacji, w których stosowana jest każda konkretna formuła. Ponadto musisz zrozumieć, czy metody probabilistyczne mają ogólne zastosowanie do rozwiązania Twojego problemu.
Jeśli będziesz ćwiczył, po pewnym czasie zaczniesz wykonywać wszystkie wymagane operacje wyłącznie w swoim umyśle. Dla tych, którzy lubią gry karciane, tę umiejętność można rozważyćniezwykle cenne - znacznie zwiększysz swoje szanse na wygraną, tylko obliczając prawdopodobieństwo wypadnięcia konkretnej karty lub koloru. Zdobytą wiedzę można jednak z łatwością zastosować w innych obszarach działalności.
