Funkcja i badanie jej cech to jeden z kluczowych rozdziałów we współczesnej matematyce. Głównym składnikiem każdej funkcji są wykresy przedstawiające nie tylko jej właściwości, ale także parametry pochodnej tej funkcji. Przyjrzyjmy się temu trudnemu tematowi. Jaki jest najlepszy sposób na znalezienie maksymalnych i minimalnych punktów funkcji?
Funkcja: Definicja
Każdą zmienną, która zależy w jakiś sposób od wartości innej wartości, można nazwać funkcją. Na przykład funkcja f(x2) jest kwadratowa i określa wartości dla całego zbioru x. Powiedzmy, że x=9, wtedy wartość naszej funkcji będzie równa 92=81.
Funkcje występują w wielu różnych typach: logiczne, wektorowe, logarytmiczne, trygonometryczne, numeryczne i inne. W ich badania zaangażowane były takie wybitne umysły jak Lacroix, Lagrange, Leibniz i Bernoulli. Ich pisma służą jako bastion we współczesnych sposobach badania funkcji. Przed znalezieniem punktów minimalnych bardzo ważne jest zrozumienie samego znaczenia funkcji i jej pochodnej.
Pochodna i jej rola
Wszystkie funkcje są włączonew zależności od ich wartości zmiennych, co oznacza, że w każdej chwili mogą zmienić swoją wartość. Na wykresie będzie to przedstawione jako krzywa opadająca lub wznosząca się wzdłuż osi y (jest to cały zestaw liczb „y” wzdłuż pionu wykresu). I tak definicja punktu maksimum i minimum funkcji jest właśnie związana z tymi "drganiami". Wyjaśnijmy, na czym polega ta relacja.
Pochodna dowolnej funkcji jest rysowana na wykresie w celu zbadania jej głównych cech i obliczenia, jak szybko funkcja się zmienia (tj. zmienia swoją wartość w zależności od zmiennej „x”). W momencie, gdy funkcja rośnie, wykres jej pochodnej również się zwiększy, ale w każdej chwili funkcja może zacząć maleć, a wtedy wykres pochodnej zmniejszy się. Punkty, w których pochodna przechodzi od minus do plus, nazywane są punktami minimalnymi. Aby wiedzieć, jak znaleźć punkty minimalne, powinieneś lepiej zrozumieć pojęcie pochodnej.
Jak obliczyć pochodną?
Definiowanie i obliczanie pochodnej funkcji implikuje kilka pojęć z rachunku różniczkowego. Ogólnie samą definicję pochodnej można wyrazić w następujący sposób: jest to wartość, która pokazuje tempo zmian funkcji.
Matematyczny sposób określenia tego dla wielu uczniów wydaje się skomplikowany, ale w rzeczywistości wszystko jest znacznie prostsze. Musisz tylko podążaćstandardowy plan znajdowania pochodnej dowolnej funkcji. Poniżej opisano, w jaki sposób można znaleźć punkt minimalny funkcji bez stosowania zasad różniczkowania i bez zapamiętywania tablicy pochodnych.
- Możesz obliczyć pochodną funkcji za pomocą wykresu. Aby to zrobić, musisz przedstawić samą funkcję, a następnie wziąć na niej jeden punkt (punkt A na rys.) Narysuj linię pionowo w dół do osi odciętej (punkt x0) i w punkcie A narysuj styczną do funkcji grafiki. Oś odciętych i styczna tworzą kąt a. Aby obliczyć wartość szybkości wzrostu funkcji, musisz obliczyć tangens tego kąta a.
- Okazuje się, że styczna kąta między styczną a kierunkiem osi x jest pochodną funkcji na małym obszarze z punktem A. Ta metoda jest uważana za geometryczny sposób wyznaczania pochodnej.
Metody badania funkcji
W szkolnym programie nauczania matematyki możliwe jest znalezienie minimalnego punktu funkcji na dwa sposoby. Przeanalizowaliśmy już pierwszą metodę z wykorzystaniem wykresu, ale jak wyznaczyć wartość liczbową pochodnej? Aby to zrobić, musisz nauczyć się kilku formuł opisujących właściwości pochodnej i pomóc w konwersji zmiennych, takich jak „x” na liczby. Poniższa metoda jest uniwersalna, więc można ją zastosować do prawie wszystkich rodzajów funkcji (zarówno geometrycznych, jak i logarytmicznych).
- Konieczne jest zrównanie funkcji z funkcją pochodną, a następnie uproszczenie wyrażenia za pomocą regułzróżnicowanie.
- dziel przez zero).
- Następnie powinieneś przekształcić oryginalną postać funkcji w proste równanie, przyrównując całe wyrażenie do zera. Na przykład, jeśli funkcja wyglądała tak: f(x)=2x3+38x, to zgodnie z regułami różniczkowania jej pochodna jest równa f'(x)=3x 2 +1. Następnie przekształcamy to wyrażenie w równanie o następującej postaci: 3x2+1=0.
- Po rozwiązaniu równania i znalezieniu punktów "x" należy je narysować na osi x i określić, czy pochodna w tych obszarach pomiędzy zaznaczonymi punktami jest dodatnia czy ujemna. Po wyznaczeniu stanie się jasne, w którym momencie funkcja zaczyna się zmniejszać, czyli zmienia znak z minus na przeciwny. W ten sposób możesz znaleźć zarówno minimalne, jak i maksymalne punkty.
Zasady różnicowania
Najbardziej podstawową częścią uczenia się funkcji i jej pochodnej jest znajomość zasad różniczkowania. Tylko z ich pomocą możliwe jest przekształcanie niewygodnych wyrażeń i dużych złożonych funkcji. Zapoznajmy się z nimi, jest ich całkiem sporo, ale wszystkie są bardzo proste ze względu na regularne właściwości funkcji potęgowych i logarytmicznych.
- Pochodna dowolnej stałej wynosi zero (f(x)=0). Oznacza to, że pochodna f(x)=x5+ x - 160 przyjmie następującą postać: f' (x)=5x4+1.
- Pochodna sumy dwóch wyrazów: (f+w)'=f'w + fw'.
- Pochodna funkcji logarytmicznej: (logad)'=d/ln ad. Ten wzór ma zastosowanie do wszystkich rodzajów logarytmów.
- Pochodna stopnia: (x)'=nxn-1. Na przykład (9x2)'=92x=18x.
- Pochodna funkcji sinusoidalnej: (sin a)'=cos a. Jeśli grzech kąta a wynosi 0,5, to jego pochodna wynosi √3/2.
Ekstremalne punkty
Już dowiedzieliśmy się, jak znaleźć punkty minimalne, jednak istnieje pojęcie punktów maksymalnych funkcji. Jeżeli minimum oznacza te punkty, w których funkcja przechodzi od minus do plus, to maksimum to te punkty na osi x, w których pochodna funkcji zmienia się z plus na przeciwną - minus.
Maksymalne punkty można znaleźć za pomocą metody opisanej powyżej, tylko należy wziąć pod uwagę, że oznaczają one te obszary, w których funkcja zaczyna się zmniejszać, czyli pochodna będzie mniejsza od zera.
W matematyce zwyczajowo uogólnia się oba pojęcia, zastępując je wyrażeniem „punkty skrajne”. Gdy zadanie prosi o wyznaczenie tych punktów, oznacza to, że należy obliczyć pochodną tej funkcji i znaleźć punkty minimalne i maksymalne.
