Badanie funkcji i ich wykresów to temat, na który zwraca się szczególną uwagę w ramach programu nauczania w szkole średniej. Niektóre podstawy analizy matematycznej - różnicowanie - są zawarte w profilu egzaminu z matematyki. Niektóre dzieci w wieku szkolnym mają problemy z tym tematem, ponieważ mylą wykresy funkcji z pochodną, a także zapominają o algorytmach. W tym artykule omówimy główne typy zadań i sposoby ich rozwiązywania.
Jaka jest wartość funkcji?
Funkcja matematyczna to specjalne równanie. Ustanawia związek między liczbami. Funkcja zależy od wartości argumentu.
Wartość funkcji jest obliczana zgodnie z podanym wzorem. Aby to zrobić, zastąp x dowolny argument, który odpowiada zakresowi prawidłowych wartości w tej formule i wykonaj niezbędne operacje matematyczne. Co?
Jak znaleźć najmniejszą wartość funkcji,za pomocą funkcji wykresu?
Graficzna reprezentacja zależności funkcji od argumentu nazywana jest wykresem funkcji. Jest zbudowany na płaszczyźnie z pewnym segmentem jednostki, gdzie wartość zmiennej lub argumentu jest wykreślana wzdłuż poziomej osi odciętej, a odpowiadająca jej wartość funkcji wzdłuż pionowej osi rzędnych.
Im większa wartość argumentu, tym bardziej po prawej stronie wykresu. A im większa wartość samej funkcji, tym wyższy punkt.
Co to mówi? Najmniejszą wartością funkcji będzie punkt leżący najniżej na wykresie. Aby znaleźć go w segmencie wykresu, potrzebujesz:
1) Znajdź i zaznacz końce tego segmentu.
2) Wizualnie określ, który punkt w tym segmencie leży najniżej.
3) W odpowiedzi zapisz jego wartość liczbową, którą można określić rzutując punkt na oś y.
Ekstremalne punkty na wykresie pochodnych. Gdzie szukać?
Jednakże przy rozwiązywaniu problemów czasami podaje się wykres nie funkcji, ale jej pochodnej. Aby uniknąć przypadkowego popełnienia głupiego błędu, lepiej uważnie przeczytać warunki, ponieważ zależy to od tego, gdzie należy szukać punktów ekstremalnych.
Więc pochodna jest chwilową szybkością wzrostu funkcji. Zgodnie z definicją geometryczną pochodna odpowiada nachyleniu stycznej, która jest bezpośrednio rysowana do danego punktu.
Wiadomo, że w skrajnych punktach styczna jest równoległa do osi Wół. Oznacza to, że jego nachylenie wynosi 0.
Z tego możemy wywnioskować, że w ekstremum pochodna leży na osi x lub zanika. Ale dodatkowo w tych punktach funkcja zmienia kierunek. Oznacza to, że po okresie wzrostu zaczyna spadać, a pochodna odpowiednio zmienia się z dodatniej na ujemną. Lub odwrotnie.
Jeśli pochodna staje się ujemna od dodatniej, jest to punkt maksymalny. Jeśli z ujemna staje się dodatnia - punkt minimum.
Ważne: jeśli chcesz określić minimalny lub maksymalny punkt w zadaniu, w odpowiedzi powinieneś wpisać odpowiednią wartość wzdłuż osi odciętej. Ale jeśli chcesz znaleźć wartość funkcji, musisz najpierw podstawić odpowiednią wartość argumentu do funkcji i obliczyć ją.
Jak znaleźć ekstrema za pomocą pochodnej?
Rozważane przykłady odnoszą się głównie do zadania nr 7 egzaminu, które polega na pracy z wykresem pochodnej lub funkcji pierwotnej. Ale zadanie 12 USE - znalezienie najmniejszej wartości funkcji na odcinku (czasem największej) - jest wykonywane bez żadnych rysunków i wymaga podstawowych umiejętności w zakresie analizy matematycznej.
Aby to wykonać, musisz być w stanie znaleźć ekstrema za pomocą pochodnej. Algorytm ich znajdowania jest następujący:
- Znajdź pochodną funkcji.
- Ustaw to na zero.
- Znajdź pierwiastki równania.
- Sprawdź, czy uzyskane punkty są ekstremami lub punktami przegięcia.
Aby to zrobić, narysuj schemat i dalejotrzymane przedziały określają znaki pochodnej przez podstawienie liczb należących do segmentów do pochodnej. Jeśli przy rozwiązywaniu równania masz pierwiastki podwójnej krotności, to są to punkty przegięcia.
Stosując twierdzenia, określ, które punkty są minimalne, a które maksymalne
Oblicz najmniejszą wartość funkcji za pomocą pochodnej
Jednak po wykonaniu wszystkich tych czynności znajdziemy wartości minimalnych i maksymalnych punktów wzdłuż osi X. Ale jak znaleźć najmniejszą wartość funkcji na segmencie?
Co należy zrobić, aby znaleźć liczbę odpowiadającą funkcji w określonym punkcie? Musisz podstawić wartość argumentu do tej formuły.
Punkty minimum i maksimum odpowiadają najmniejszej i największej wartości funkcji w segmencie. Tak więc, aby znaleźć wartość funkcji, musisz obliczyć funkcję przy użyciu uzyskanych wartości x.
Ważne! Jeśli zadanie wymaga określenia punktu minimalnego lub maksymalnego, w odpowiedzi należy wpisać odpowiednią wartość wzdłuż osi x. Ale jeśli chcesz znaleźć wartość funkcji, musisz najpierw podstawić odpowiednią wartość argumentu do funkcji i wykonać niezbędne operacje matematyczne.
Co powinienem zrobić, jeśli w tym segmencie nie ma dołków?
Ale jak znaleźć najmniejszą wartość funkcji w segmencie bez ekstremów?
Oznacza to, że funkcja monotonicznie zmniejsza się lub zwiększa na nim. Następnie musisz podstawić do funkcji wartość skrajnych punktów tego odcinka. Są dwa sposoby.
1) Po obliczeniupochodna i przedziały, na których jest dodatnia lub ujemna, aby stwierdzić, czy funkcja maleje, czy rośnie na danym odcinku.
Zgodnie z nimi wstaw większą lub mniejszą wartość argumentu do funkcji.
2) Po prostu wstaw oba punkty do funkcji i porównaj otrzymane wartości funkcji.
W których zadaniach znalezienie pochodnej jest opcjonalne
Z reguły w przypisaniach USE nadal musisz znaleźć pochodną. Jest tylko kilka wyjątków.
1) Parabola.
Wierzchołek paraboli znajduje się według wzoru.
Jeżeli < 0, to gałęzie paraboli są skierowane w dół. A jego szczyt jest punktem maksymalnym.
Jeżeli > 0, to gałęzie paraboli są skierowane w górę, wierzchołek jest punktem minimalnym.
Po obliczeniu wierzchołka paraboli, należy wstawić jego wartość do funkcji i obliczyć odpowiednią wartość funkcji.
2) Funkcja y=tg x. Lub y=ctg x.
Te funkcje rosną monotonicznie. Dlatego im większa wartość argumentu, tym większa wartość samej funkcji. Następnie przyjrzymy się, jak znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji na segmencie z przykładami.
Główne rodzaje zadań
Zadanie: największa lub najmniejsza wartość funkcji. Przykład na wykresie.
Na rysunku widać wykres pochodnej funkcji f (x) na przedziale [-6; 6]. W którym punkcie odcinka [-3; 3] f(x) przyjmuje najmniejszą wartość?
Więc na początek powinieneś wybrać określony segment. Na nim funkcja raz przyjmuje wartość zero i zmienia swój znak - to jest punkt ekstremum. Skoro pochodna z ujemnej staje się dodatnia, oznacza to, że jest to punkt minimum funkcji. Ten punkt odpowiada wartości argumentu 2.
Odpowiedź: 2.
Kontynuuj przeglądanie przykładów. Zadanie: znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji w segmencie.
Znajdź najmniejszą wartość funkcji y=(x - 8) ex-7 w przedziale [6; 8].
1. Weź pochodną funkcji zespolonej.
y' (x)=(x - 8) ex-7 =(x - 8)' (ex-7) + (x - 8) (ex-7)'=1(ex-7) + (x - 8) (e x-7)=(1 + x - 8) (ex-7)=(x - 7) (ex-7 )
2. Zrównaj wynikową pochodną do zera i rozwiąż równanie.
y' (x)=0
(x - 7) (ex-7)=0
x - 7=0 lub ex-7=0
x=7; ex-7 ≠ 0, bez korzeni
3. Podstaw do funkcji wartość skrajnych punktów oraz otrzymane pierwiastki równania.
y (6)=(6 - 8) e6-7=-2e-1
y (7)=(7 - 8) e7-7=-1e0=-11=- 1
y (8)=(8 - 8) e8-7=0e1=0
Odpowiedź: -1.
Tak więc w tym artykule rozważaliśmy główną teorię dotyczącą znalezienia najmniejszej wartości funkcji na odcinku, która jest niezbędna do pomyślnego rozwiązywania zadań USE w matematyce specjalistycznej. Również elementy matematyczneanalizy są wykorzystywane przy rozwiązywaniu zadań z części C egzaminu, ale oczywiście reprezentują one inny poziom złożoności, a algorytmy ich rozwiązań są trudne do wpisania w ramy jednego materiału.
