Umiejętność pracy z wyrażeniami liczbowymi zawierającymi pierwiastek kwadratowy jest niezbędna do pomyślnego rozwiązania wielu problemów z OGE i USE. Podczas tych egzaminów zwykle wystarcza podstawowe zrozumienie, czym jest ekstrakcja korzenia i jak to się robi w praktyce.
Definicja
N-ty pierwiastek liczby X jest liczbą x, dla której równość jest prawdziwa: xn =X.
Znalezienie wartości wyrażenia z pierwiastkiem oznacza znalezienie x przy danym X i n.
Pierwiastek kwadratowy lub drugi pierwiastek z X - liczba x dla której równość jest spełniona: x2 =X.
Oznaczenie:. Tutaj 3 jest stopniem pierwiastka, X jest wyrażeniem pierwiastka. Znak '√' jest często nazywany radykałem.
Jeżeli liczba powyżej korzenia nie wskazuje stopnia, domyślnie jest to stopień 2.
Na kursach szkolnych dla równych stopni, negatywne korzenie i radykalne wyrażenia zwykle nie są brane pod uwagę. Na przykład nie ma√-2, a dla wyrażenia √4, poprawną odpowiedzią jest 2, pomimo faktu, że (-2)2 również równa się 4.
Racjonalność i irracjonalność korzeni
Najprostszym możliwym zadaniem z korzeniem jest znalezienie wartości wyrażenia lub przetestowanie go pod kątem racjonalności.
Na przykład oblicz wartości √25; ∛8; ∛-125:
- √25=5 ponieważ 52 =25;
- ∛8=2, ponieważ 23 =8;
- ∛ - 125=-5 od (-5)3 =-125.
Odpowiedzi w podanych przykładach są liczbami wymiernymi.
Podczas pracy z wyrażeniami, które nie zawierają stałych i zmiennych dosłownych, zaleca się, aby zawsze przeprowadzać takie sprawdzenie za pomocą odwrotnej operacji podnoszenia do potęgi naturalnej. Znalezienie liczby x do n-tej potęgi jest równoważne obliczeniu iloczynu n czynników x.
Istnieje wiele wyrażeń z pierwiastkiem, których wartość jest irracjonalna, to znaczy zapisana jako nieskończony ułamek nieokresowy.
Z definicji wymierne to te, które można wyrazić jako wspólny ułamek, a niewymierne to wszystkie inne liczby rzeczywiste.
Obejmują one √24, √0, 1, √101.
Jeżeli książka problemów mówi: znajdź wartość wyrażenia z pierwiastkiem z 2, 3, 5, 6, 7 itd., czyli z tych liczb naturalnych, które nie są zawarte w tabeli kwadratów, to prawidłowa odpowiedź to √ 2 może być obecne (chyba że zaznaczono inaczej).
Ocenianie
W problemach zodpowiedź otwarta, jeśli nie można znaleźć wartości wyrażenia z pierwiastkiem i zapisać go jako liczbę wymierną, wynik należy pozostawić jako pierwiastek.
Niektóre zadania mogą wymagać oceny. Na przykład porównaj 6 i √37. Rozwiązanie wymaga podniesienia do kwadratu obu liczb i porównania wyników. Z dwóch liczb ta, której kwadrat jest większy, jest większa. Ta reguła działa dla wszystkich liczb dodatnich:
- 62 =36;
- 372 =37;
- 37 >36;
- oznacza √37 > 6.
W ten sam sposób rozwiązywane są problemy, w których kilka liczb musi być ułożonych w porządku rosnącym lub malejącym.
Przykład: Ułóż 5, √6, √48, √√64 w kolejności rosnącej.
Po podniesieniu do kwadratu mamy: 25, 6, 48, √64. Można by ponownie podnieść wszystkie liczby do kwadratu, aby porównać je z √64, ale jest to liczba wymierna 8. 6 < 8 < 25 < 48, więc rozwiązaniem jest: 48.
Uproszczenie wyrażenia
Zdarza się, że nie można znaleźć wartości wyrażenia z pierwiastkiem, dlatego należy je uprościć. Pomaga w tym następujący wzór:
√ab=√a√b.
Pierwiastek iloczynu dwóch liczb jest równy iloczynowi ich pierwiastków. Ta operacja będzie również wymagała zdolności do faktoryzacji liczby.
Na początkowym etapie, aby przyspieszyć pracę, zaleca się mieć pod ręką tabelę liczb pierwszych i kwadratów. Te tabele z częstymiużycie w przyszłości zostanie zapamiętane.
Na przykład √242 jest liczbą niewymierną, możesz ją przekonwertować w następujący sposób:
- 242=2 × 121;
- √242=√(2 × 121);
- √2 × √121=√2 × 11.
Zazwyczaj wynik jest zapisywany jako 11√2 (czytaj: jedenaście pierwiastków z dwóch).
Jeżeli trudno jest od razu zobaczyć, na które dwa czynniki liczba musi zostać rozłożona, aby można było wyodrębnić z jednego z nich naturalny korzeń, możesz użyć pełnego rozkładu na czynniki pierwsze. Jeśli ta sama liczba pierwsza występuje dwukrotnie w rozwinięciu, jest ona usuwana ze znaku pierwiastka. Gdy istnieje wiele czynników, możesz wyodrębnić korzeń w kilku krokach.
Przykład: √2400=√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5). Liczba 2 występuje w rozszerzeniu 2 razy (w rzeczywistości ponad dwa razy, ale nadal interesują nas dwa pierwsze wystąpienia w rozszerzeniu).
Wyjmujemy go spod znaku korzenia:
√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2√(2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5).
Powtórz tę samą czynność:
2√(2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2 × 2√(2 × 3 × 5 × 5).
W pozostałym wyrażeniu radykalnym 2 i 3 występują raz, więc pozostaje usunąć czynnik 5:
2 × 2√(2 × 3 × 5 × 5)=5 × 2 × 2√(2 × 3);
i wykonuj operacje arytmetyczne:
5 × 2 × 2√(2 × 3)=20√6.
Więc otrzymujemy √2400=20√6.
Jeżeli zadanie nie określa wyraźnie: "znajdź wartość wyrażenia z pierwiastkiem kwadratowym", wtedy wybór,w jakiej formie pozostawić odpowiedź (czy wydobyć korzeń spod radykalnego) pozostaje z uczniem i może zależeć od rozwiązywanego problemu.
Na początku stawiane są wysokie wymagania dotyczące projektowania zadań, obliczeń, w tym ustnych lub pisemnych, bez użycia środków technicznych.
Dopiero po dobrym opanowaniu zasad pracy z niewymiernymi wyrażeniami liczbowymi ma sens przejść do trudniejszych wyrażeń dosłownych i rozwiązywania równań niewymiernych i obliczania zakresu możliwych wartości wyrażenia pod radykalny.
Uczniowie spotykają się z tego typu problemem podczas Ujednoliconego Egzaminu Państwowego z matematyki, a także na pierwszym roku specjalistycznych uniwersytetów, studiując analizę matematyczną i dyscypliny pokrewne.
