Zagadnienia nierozwiązywalne to 7 najciekawszych problemów matematycznych. Każdy z nich został zaproponowany w pewnym momencie przez znanych naukowców, z reguły w formie hipotez. Od wielu dziesięcioleci matematycy na całym świecie zastanawiają się nad swoim rozwiązaniem. Ci, którzy odniosą sukces, zostaną nagrodzeni milionem dolarów oferowanym przez Clay Institute.
Backstory
W 1900 roku wielki niemiecki matematyk David Hilbert przedstawił listę 23 problemów.
Badania przeprowadzone w celu ich rozwiązania miały ogromny wpływ na naukę XX wieku. W tej chwili większość z nich przestała być tajemnicami. Wśród nierozwiązanych lub częściowo rozwiązanych były:
- problem spójności aksjomatów arytmetycznych;
- ogólne prawo wzajemności na przestrzeni dowolnego pola liczbowego;
- matematyczne studium aksjomatów fizycznych;
- badanie form kwadratowych dla dowolnej liczby algebraicznejkursy;
- problem rygorystycznego uzasadnienia geometrii obliczeniowej Fiodora Schuberta;
- itd.
Niezbadane są: problem rozszerzenia dobrze znanego twierdzenia Kroneckera na dowolny obszar algebraiczny racjonalności oraz hipoteza Riemanna.
Instytut Gliny
To jest nazwa prywatnej organizacji non-profit z siedzibą w Cambridge w stanie Massachusetts. Została założona w 1998 roku przez matematyka z Harvardu A. Jeffeya i biznesmena L. Claya. Celem Instytutu jest popularyzacja i rozwijanie wiedzy matematycznej. Aby to osiągnąć, organizacja przyznaje nagrody naukowcom i sponsoruje obiecujące badania.
Na początku XXI wieku Clay Institute of Mathematics przyznał nagrodę tym, którzy rozwiązują tak zwane najtrudniejsze nierozwiązywalne problemy, nazywając swoją listę Problemami Nagrody Milenijnej. Jedynie hipoteza Riemanna znalazła się na Liście Hilberta.
Wyzwania Tysiąclecia
Lista Instytutu Gliny pierwotnie zawierała:
- Hipoteza cyklu Hodge'a;
- Równania kwantowej teorii Yanga-Millsa;
- Hipoteza Poincarégo;
- problem równości klas P i NP;
- Hipoteza Riemanna;
- Równania Naviera-Stokesa, dotyczące istnienia i płynności ich rozwiązań;
- Brzoza-Swinnerton-Dyer problem.
Te otwarte problemy matematyczne są bardzo interesujące, ponieważ mogą mieć wiele praktycznych zastosowań.
Co udowodnił Grigory Perelman
W 1900 roku słynny filozof Henri Poincaré zasugerował, że każda po prostu połączona zwarta trójdzielność bez granic jest homeomorficzna z trójwymiarową sferą. Jej dowód w ogólnym przypadku nie został znaleziony przez wiek. Dopiero w latach 2002-2003 petersburski matematyk G. Perelman opublikował szereg artykułów z rozwiązaniem problemu Poincarégo. Wywoływały efekt wybuchu bomby. W 2010 roku hipoteza Poincarégo została wykluczona z listy „Nierozwiązanych problemów” Instytutu Claya, a samemu Perelmanowi zaproponowano otrzymanie należnego mu znacznego wynagrodzenia, czego ten ostatni odmówił bez wyjaśnienia przyczyn swojej decyzji.
Najbardziej zrozumiałe wyjaśnienie tego, co rosyjski matematyk zdołał udowodnić, można podać wyobrażając sobie, że gumowy krążek jest naciągany na pączek (torus), a następnie próbują wciągnąć krawędzie jego okręgu w jeden punkt. Oczywiście nie jest to możliwe. Kolejna rzecz, jeśli przeprowadzisz ten eksperyment z piłką. W tym przypadku pozornie trójwymiarowa sfera, powstała z dysku, którego obwód został doprowadzony do punktu za pomocą hipotetycznego sznurka, byłaby trójwymiarowa w rozumieniu zwykłego człowieka, ale dwuwymiarowa w sensie matematycznym.
Poincare zasugerował, że trójwymiarowa kula jest jedynym trójwymiarowym "obiektem", którego powierzchnię można skrócić do jednego punktu, i Perelman zdołał to udowodnić. Tak więc lista „problemów nierozwiązywalnych” składa się dziś z 6 problemów.
Teoria Yanga-Millsa
Ten matematyczny problem został zaproponowany przez jego autorów w 1954 roku. Naukowe sformułowanie teorii jest następujące:dla każdej prostej zwartej grupy cechowania istnieje kwantowa teoria przestrzenna stworzona przez Yanga i Millsa, która jednocześnie ma defekt o zerowej masie.
Mówiąc językiem zrozumiałym dla zwykłego człowieka, interakcje między obiektami naturalnymi (cząstkami, ciałami, falami itp.) dzielą się na 4 typy: elektromagnetyczny, grawitacyjny, słaby i silny. Od wielu lat fizycy próbują stworzyć ogólną teorię pola. Powinna stać się narzędziem wyjaśniającym wszystkie te interakcje. Teoria Yanga-Millsa jest językiem matematycznym, za pomocą którego stało się możliwe opisanie 3 z 4 głównych sił natury. Nie dotyczy grawitacji. Dlatego nie można uznać, że Yang i Mills odnieśli sukces w stworzeniu teorii pola.
Poza tym nieliniowość proponowanych równań sprawia, że są one niezwykle trudne do rozwiązania. W przypadku małych stałych sprzężenia można je w przybliżeniu rozwiązać w postaci szeregu teorii zaburzeń. Jednak nie jest jeszcze jasne, jak te równania można rozwiązać za pomocą silnego sprzężenia.
Równania Naviera-Stokesa
Te wyrażenia opisują takie procesy, jak prądy powietrza, przepływ płynów i turbulencje. W niektórych szczególnych przypadkach znaleziono już rozwiązania analityczne równania Naviera-Stokesa, ale jak dotąd nikomu się to nie udało w przypadku ogólnego. Jednocześnie symulacje numeryczne dla określonych wartości prędkości, gęstości, ciśnienia, czasu itd. mogą osiągnąć doskonałe wyniki. Pozostaje mieć nadzieję, że ktoś będzie w stanie zastosować odwrotne równania Naviera-Stokesakierunku, czyli obliczyć z ich pomocą parametry lub udowodnić, że nie ma metody rozwiązania.
Problem brzozy-Swinnertona-Dyera
Kategoria „Nierozwiązanych problemów” obejmuje również hipotezę wysuniętą przez brytyjskich naukowców z University of Cambridge. Już 2300 lat temu starożytny grecki naukowiec Euklides podał pełny opis rozwiązań równania x2 + y2=z2.
Jeśli dla każdej liczby pierwszej policzymy liczbę punktów na krzywej modulo it, otrzymamy nieskończony zbiór liczb całkowitych. Jeśli konkretnie „skleimy” ją w jedną funkcję zmiennej zespolonej, otrzymamy funkcję zeta Hassego-Weila dla krzywej trzeciego rzędu, oznaczonej literą L. Zawiera ona informacje o zachowaniu modulo wszystkich liczb pierwszych naraz.
Brian Birch i Peter Swinnerton-Dyer snuli domysły na temat krzywych eliptycznych. Zgodnie z nią struktura i liczba zbioru jej rozwiązań wymiernych związane są z zachowaniem się funkcji L na tożsamości. Obecnie niesprawdzona hipoteza Bircha-Swinnertona-Dyera opiera się na opisie równań algebraicznych trzeciego stopnia i jest jedynym stosunkowo prostym ogólnym sposobem obliczenia rangi krzywych eliptycznych.
Aby zrozumieć praktyczne znaczenie tego zadania, wystarczy powiedzieć, że we współczesnej kryptografii cała klasa systemów asymetrycznych opiera się na krzywych eliptycznych, a krajowe standardy podpisu cyfrowego opierają się na ich zastosowaniu.
Równość klas p i np
Jeśli pozostałe Wyzwania Milenijne są czysto matematyczne, to ten mazwiązek z rzeczywistą teorią algorytmów. Problem dotyczący równości klas p i np, znany również jako problem Cooke-Levina, można sformułować w zrozumiałym języku w następujący sposób. Załóżmy, że pozytywną odpowiedź na określone pytanie można sprawdzić wystarczająco szybko, tj. w czasie wielomianowym (PT). Czy zatem słuszne jest stwierdzenie, że odpowiedź na nie można znaleźć dość szybko? Jeszcze prościej ten problem brzmi tak: czy naprawdę nie jest trudniej sprawdzić rozwiązanie problemu niż go znaleźć? Jeśli kiedykolwiek zostanie udowodniona równość klas p i np, to wszystkie problemy selekcji można rozwiązać dla PV. W tej chwili wielu ekspertów wątpi w prawdziwość tego stwierdzenia, chociaż nie mogą udowodnić czegoś przeciwnego.
Hipoteza Riemanna
Do 1859 roku nie znaleziono żadnego wzorca opisującego rozkład liczb pierwszych między liczbami naturalnymi. Być może wynikało to z faktu, że nauka zajmowała się innymi zagadnieniami. Jednak w połowie XIX wieku sytuacja uległa zmianie i stała się jedną z najbardziej istotnych, z którymi zaczęła się zajmować matematyka.
Hipoteza Riemanna, która pojawiła się w tym okresie, zakłada, że istnieje pewien wzór w rozmieszczeniu liczb pierwszych.
Dziś wielu współczesnych naukowców uważa, że jeśli zostanie to udowodnione, to konieczne będzie zrewidowanie wielu fundamentalnych zasad nowoczesnej kryptografii, które stanowią podstawę znacznej części mechanizmów handlu elektronicznego.
Zgodnie z hipotezą Riemanna postaćrozkład liczb pierwszych może znacznie różnić się od obecnie zakładanych. Faktem jest, że do tej pory nie odkryto żadnego systemu w rozkładzie liczb pierwszych. Na przykład istnieje problem „bliźniaków”, których różnica wynosi 2. Liczby te to 11 i 13, 29. Inne liczby pierwsze tworzą klastry. Są to 101, 103, 107 itd. Naukowcy od dawna podejrzewali, że takie gromady istnieją wśród bardzo dużych liczb pierwszych. Jeśli zostaną znalezione, siła współczesnych kluczy kryptograficznych będzie pod znakiem zapytania.
Hipoteza cyklu Hodge'a
Ten wciąż nierozwiązany problem został sformułowany w 1941 roku. Hipoteza Hodge'a sugeruje możliwość przybliżenia kształtu dowolnego obiektu poprzez „sklejenie” prostych ciał o wyższych wymiarach. Ta metoda jest znana i z powodzeniem stosowana od dawna. Nie wiadomo jednak, w jakim stopniu można dokonać uproszczenia.
Teraz wiesz, jakie nierozwiązywalne problemy istnieją w tej chwili. Są przedmiotem badań tysięcy naukowców na całym świecie. Pozostaje mieć nadzieję, że zostaną rozwiązane w najbliższej przyszłości, a ich praktyczne zastosowanie pomoże ludzkości wejść w nową rundę rozwoju technologicznego.
