W 1900 roku jeden z największych naukowców ostatniego stulecia, David Hilbert, sporządził listę 23 nierozwiązanych problemów matematycznych. Praca nad nimi miała ogromny wpływ na rozwój tego obszaru ludzkiej wiedzy. 100 lat później Clay Mathematical Institute przedstawił listę 7 problemów znanych jako Problemy Milenijne. Każdy z nich otrzymał nagrodę w wysokości 1 miliona dolarów.
Jedynym problemem, który pojawił się na obu listach zagadek, które prześladują naukowców od ponad wieku, była hipoteza Riemanna. Wciąż czeka na swoją decyzję.
Krótka nota biograficzna
Georg Friedrich Bernhard Riemann urodził się w 1826 roku w Hanowerze, w wielodzietnej rodzinie biednego pastora i żył zaledwie 39 lat. Udało mu się opublikować 10 prac. Jednak już za życia Riemann był uważany za następcę swojego nauczyciela Johanna Gaussa. W wieku 25 lat młody naukowiec obronił rozprawę „Podstawy teorii funkcji zmiennej złożonej”. Później sformułowałjego słynna hipoteza.
Liczby pierwsze
Matematyka pojawiła się, gdy człowiek nauczył się liczyć. W tym samym czasie pojawiły się pierwsze pomysły dotyczące liczb, które później próbowali sklasyfikować. Zaobserwowano, że niektóre z nich mają wspólne właściwości. W szczególności wśród liczb naturalnych, czyli takich, które służyły do liczenia (numerowania) lub oznaczania liczby obiektów, wyróżniono grupę podzielną tylko przez jeden i przez siebie. Nazywa się je prostymi. Elegancki dowód twierdzenia o nieskończoności zbioru takich liczb dał Euklides w swoich Elementach. W tej chwili ich poszukiwania trwają. W szczególności największa znana już liczba to 274 207 281 – 1.
Formuła Eulera
Wraz z koncepcją nieskończoności zbioru liczb pierwszych Euklides wyznaczył również drugie twierdzenie o jedynym możliwym rozkładzie na czynniki pierwsze. Zgodnie z nim każda dodatnia liczba całkowita jest iloczynem tylko jednego zestawu liczb pierwszych. W 1737 roku wielki niemiecki matematyk Leonhard Euler przedstawił pierwsze twierdzenie Euklidesa o nieskończoności jako wzór poniżej.
Nazywa się to funkcją zeta, gdzie s jest stałą, a p przyjmuje wszystkie wartości pierwsze. Bezpośrednio z niego wynikało stwierdzenie Euklidesa o wyjątkowości rozszerzenia.
Funkcja Riemanna Zeta
Formuła Eulera, po bliższym przyjrzeniu się, jest całkowiciezaskakujące, ponieważ definiuje związek między liczbami pierwszymi i liczbami całkowitymi. W końcu nieskończenie wiele wyrażeń, które zależą tylko od liczb pierwszych, mnoży się po jego lewej stronie, a suma wszystkich dodatnich liczb całkowitych znajduje się po prawej.
Riemann poszedł dalej niż Euler. Aby znaleźć klucz do problemu rozkładu liczb, zaproponował zdefiniowanie wzoru zarówno na zmienne rzeczywiste, jak i złożone. To ona później otrzymała nazwę funkcji zeta Riemanna. W 1859 roku naukowiec opublikował artykuł zatytułowany „O liczbie liczb pierwszych nieprzekraczających określonej wartości”, w którym podsumował wszystkie swoje pomysły.
Riemann zasugerował użycie serii Eulera, która zbiega się dla każdego prawdziwego s>1. Jeśli ten sam wzór zostanie użyty dla zespolonych s, to szereg będzie zbieżny dla dowolnej wartości tej zmiennej z częścią rzeczywistą większą niż 1. Riemann zastosował procedurę kontynuacji analitycznej, rozszerzając definicję zeta(ów) na wszystkie liczby zespolone, ale "wyrzucić" jednostkę. Zostało to wykluczone, ponieważ przy s=1 funkcja zeta wzrasta do nieskończoności.
Zmysł praktyczny
Nasuwa się logiczne pytanie: dlaczego funkcja zeta, która jest kluczowa w pracy Riemanna nad hipotezą zerową, jest interesująca i ważna? Jak wiecie, w tej chwili nie zidentyfikowano żadnego prostego wzoru, który opisywałby rozkład liczb pierwszych wśród liczb naturalnych. Riemann był w stanie odkryć, że liczba pi(x) liczb pierwszych nieprzekraczających x jest wyrażona w postaci rozkładu nietrywialnych zer funkcji zeta. Ponadto hipoteza Riemanna brzmi:warunek konieczny do udowodnienia oszacowań czasu działania niektórych algorytmów kryptograficznych.
Hipoteza Riemanna
Jedno z pierwszych sformułowań tego matematycznego problemu, które do dziś nie zostało udowodnione, brzmi tak: nietrywialne funkcje zeta zerowe to liczby zespolone, których część rzeczywista jest równa ½. Innymi słowy znajdują się na linii Re s=½.
Istnieje również uogólniona hipoteza Riemanna, która jest tym samym stwierdzeniem, ale dotyczy uogólnień funkcji zeta, które są powszechnie nazywane funkcjami L Dirichleta (patrz zdjęcie poniżej).
We wzorze χ(n) - jakiś znak numeryczny (modulo k).
Stwierdzenie Riemanna jest uważane za tak zwaną hipotezę zerową, ponieważ zostało przetestowane pod kątem zgodności z istniejącymi danymi próbki.
Jak argumentował Riemann
Uwaga niemieckiego matematyka została pierwotnie sformułowana dość swobodnie. Faktem jest, że w tym czasie naukowiec zamierzał udowodnić twierdzenie o rozkładzie liczb pierwszych iw tym kontekście ta hipoteza nie miała szczególnego znaczenia. Jednak jego rola w rozwiązywaniu wielu innych problemów jest ogromna. Dlatego założenie Riemanna jest obecnie uznawane przez wielu naukowców za najważniejszy z niesprawdzonych problemów matematycznych.
Jak już wspomniano, pełna hipoteza Riemanna nie jest potrzebna do udowodnienia twierdzenia o dystrybucji i wystarczy, aby logicznie uzasadnić, że rzeczywista część dowolnego nietrywialnego zera funkcji zeta znajduje się wmiędzy 0 a 1. Z tej własności wynika, że suma wszystkich zer funkcji zeta, która pojawia się w dokładnym wzorze powyżej, jest stałą skończoną. W przypadku dużych wartości x może zostać całkowicie utracony. Jedynym elementem formuły, który pozostaje taki sam nawet dla bardzo dużego x, jest samo x. Pozostałe terminy złożone znikają w porównaniu z nim asymptotycznie. Więc suma ważona ma tendencję do x. Okoliczność tę można uznać za potwierdzenie prawdziwości twierdzenia o rozkładzie liczb pierwszych. Zatem zera funkcji zeta Riemanna odgrywają szczególną rolę. Polega na wykazaniu, że takie wartości nie mogą wnieść istotnego wkładu do formuły dekompozycji.
Zwolennicy Riemanna
Tragiczna śmierć na gruźlicę nie pozwoliła temu naukowcowi doprowadzić swojego programu do logicznego końca. Jednak Sh-Zh przejął jego miejsce. de la Vallée Poussin i Jacques Hadamard. Niezależnie od siebie wyprowadzili twierdzenie o rozkładzie liczb pierwszych. Hadamard i Poussin zdołali udowodnić, że wszystkie nietrywialne funkcje 0 zeta mieszczą się w krytycznym paśmie.
Dzięki pracy tych naukowców pojawił się nowy kierunek w matematyce - analityczna teoria liczb. Później inni badacze uzyskali kilka bardziej prymitywnych dowodów twierdzenia, nad którym pracował Riemann. W szczególności Pal Erdős i Atle Selberg odkryli nawet bardzo złożony łańcuch logiczny potwierdzający to, który nie wymagał stosowania złożonej analizy. Jednak w tym momencie kilka ważnychtwierdzenia, w tym przybliżenia wielu funkcji teorii liczb. Pod tym względem nowa praca Erdősa i Atle Selberga praktycznie na nic nie wpłynęła.
Jeden z najprostszych i najpiękniejszych dowodów problemu znalazł w 1980 roku Donald Newman. Został on oparty na słynnym twierdzeniu Cauchy'ego.
Czy hipoteza Riemanna zagraża fundamentom współczesnej kryptografii
Szyfrowanie danych pojawiło się wraz z pojawieniem się hieroglifów, a dokładniej, one same można uznać za pierwsze kody. W tej chwili istnieje cały obszar kryptografii cyfrowej, który rozwija algorytmy szyfrowania.
Liczby pierwsze i „semi-prime”, czyli takie, które można podzielić tylko przez 2 inne liczby z tej samej klasy, stanowią podstawę systemu klucza publicznego znanego jako RSA. Ma najszersze zastosowanie. W szczególności jest używany przy generowaniu podpisu elektronicznego. Mówiąc w terminach dostępnych dla manekinów, hipoteza Riemanna zakłada istnienie systemu w rozkładzie liczb pierwszych. Tym samym siła kluczy kryptograficznych, od których zależy bezpieczeństwo transakcji internetowych w obszarze e-commerce, jest znacznie zmniejszona.
Inne nierozwiązane problemy matematyczne
Warto zakończyć artykuł, poświęcając kilka słów innym celom milenijnym. Należą do nich:
- Równość klas P i NP. Problem jest sformułowany w następujący sposób: jeśli pozytywna odpowiedź na dane pytanie jest sprawdzana w czasie wielomianowym, to czy prawdą jest, że sama odpowiedź na to pytaniemożna szybko znaleźć?
- Przypuszczenie Hodge'a. W prostych słowach można to sformułować w następujący sposób: dla niektórych typów rzutowych rozmaitości algebraicznych (przestrzeni) cykle Hodge'a są kombinacjami obiektów, które mają interpretację geometryczną, czyli cyklami algebraicznymi.
- Przypuszczenie Poincarégo. To jedyne jak dotąd sprawdzone Millenium Challenge. Zgodnie z nią, każdy trójwymiarowy obiekt, który ma specyficzne właściwości trójwymiarowej kuli, musi być kulą, aż do odkształcenia.
- Afirmacja teorii kwantowej Yanga-Millsa. Wymagane jest udowodnienie, że teoria kwantowa przedstawiona przez tych naukowców dla przestrzeni R 4 istnieje i ma zerowy defekt masy dla dowolnej prostej zwartej grupy cechowania G.
- Hipoteza Bircha-Swinnertona-Dyera. To kolejna kwestia związana z kryptografią. Dotyka krzywych eliptycznych.
- Problem istnienia i płynności rozwiązań równań Naviera-Stokesa.
Teraz znasz hipotezę Riemanna. W uproszczeniu sformułowaliśmy niektóre z pozostałych milenijnych wyzwań. To, że zostaną rozwiązane, albo zostanie udowodnione, że nie mają rozwiązania, to kwestia czasu. Co więcej, jest mało prawdopodobne, że będzie to musiało czekać zbyt długo, ponieważ matematyka w coraz większym stopniu wykorzystuje możliwości obliczeniowe komputerów. Jednak nie wszystko podlega technologii, a do rozwiązywania problemów naukowych wymagana jest przede wszystkim intuicja i kreatywność.
