Podczas badania absolutnie dowolnej figury przestrzennej ważne jest, aby wiedzieć, jak obliczyć jej objętość. Ten artykuł zawiera wzór na objętość regularnej piramidy czworokątnej, a także pokazuje, jak należy używać tego wzoru na przykładzie rozwiązywania problemów.
O której piramidzie mówimy?
Każdy uczeń szkoły średniej wie, że piramida to wielościan składający się z trójkątów i wielokąta. Ta ostatnia jest podstawą figury. Trójkąty mają jedną wspólną stronę z podstawą i przecinają się w jednym punkcie, który jest wierzchołkiem piramidy.
Każda piramida charakteryzuje się długością boków podstawy, długością krawędzi bocznych i wysokością. Ten ostatni to prostopadły segment, obniżony do podstawy od góry figury.
Regularna piramida czworokątna to figura o podstawie kwadratu, której wysokość przecina ten kwadrat w swoim środku. Być może najbardziej znanym przykładem tego typu piramid są starożytne egipskie konstrukcje kamienne. Poniżej zdjęciepiramidy Cheopsa.
Badana postać ma pięć twarzy, z których cztery to identyczne trójkąty równoramienne. Charakteryzuje się również pięcioma wierzchołkami, z których cztery należą do podstawy i ośmioma krawędziami (4 krawędzie podstawy i 4 krawędzie ścian bocznych).
Wzór na objętość piramidy czworokątnej jest poprawny
Objętość danej figury jest częścią przestrzeni ograniczonej pięcioma bokami. Aby obliczyć tę objętość, używamy następującej zależności powierzchni warstwy równoległej do podstawy piramidy Sz od pionowej współrzędnej z:
Sz=So (h - z/h)2
Tutaj So to powierzchnia kwadratowej podstawy. Jeśli podstawimy z=h do wyrażenia pisanego, otrzymamy wartość zerową dla Sz. Ta wartość z odpowiada plasterkowi, który będzie zawierał tylko wierzchołek piramidy. Jeśli z=0, to otrzymujemy wartość obszaru bazowego So.
Objętość piramidy można łatwo znaleźć, jeśli znasz funkcję Sz(z), do tego wystarczy pociąć figurę na nieskończoną liczbę warstwami równoległymi do podstawy, a następnie przeprowadzić operację integracji. Stosuję tę technikę, otrzymujemy:
V=∫0h(Sz)dz=-S 0(h-z)3 / (3h2)|0 h=1/3S0h.
Ponieważ S0 jestobszar kwadratowej podstawy, a następnie, oznaczając bok kwadratu literą a, otrzymujemy wzór na objętość regularnej czworokątnej piramidy:
V=1/3a2h.
Teraz użyjmy przykładów rozwiązywania problemów, aby pokazać, jak należy zastosować to wyrażenie.
Problem określenia objętości piramidy poprzez jej apotem i krawędź boczną
Apotem piramidy to wysokość jej trójkąta bocznego, który jest obniżony do boku podstawy. Ponieważ wszystkie trójkąty są równe w regularnej piramidzie, ich apotemy również będą takie same. Oznaczmy jego długość symbolem hb. Oznacz krawędź boczną jako b.
Widząc, że apotem piramidy wynosi 12 cm, a jej boczna krawędź ma 15 cm, znajdź objętość regularnej czworokątnej piramidy.
Wzór na objętość figury zapisany w poprzednim akapicie zawiera dwa parametry: długość boku a i wysokość h. W tej chwili nie znamy żadnego z nich, więc spójrzmy na ich obliczenia.
Długość boku kwadratu a jest łatwa do obliczenia, jeśli użyjesz twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego, w którym przeciwprostokątna to krawędź b, a nogi to apotem h b i połowa boku podstawy a/2. Otrzymujemy:
b2=hb2+ a2 /4=>
a=2√(b2- hb2).
Podstawiając znane wartości z warunku, otrzymujemy wartość a=18 cm.
Aby obliczyć wysokość h piramidy, możesz zrobić dwie rzeczy: rozważ prostokąttrójkąt z przeciwprostokątną krawędzią boczną lub przeciwprostokątną-apotem. Obie metody są równe i wymagają wykonania tej samej liczby operacji matematycznych. Zastanówmy się nad rozważeniem trójkąta, gdzie przeciwprostokątna jest apotemem hb. Nogi w nim będą h i a / 2. Następnie otrzymujemy:
h=√(hb2-a2/4)=√(12 2- 182/4)=7, 937 cm.
Teraz możesz użyć wzoru na objętość V:
V=1/3a2h=1/31827, 937=857, 196 cm 3.
Tak więc objętość regularnej czworokątnej piramidy wynosi około 0,86 litra.
Objętość piramidy Cheopsa
Teraz rozwiążmy interesujący i praktycznie ważny problem: znajdź objętość największej piramidy w Gizie. Z literatury wiadomo, że pierwotna wysokość budowli wynosiła 146,5 metra, a długość jej podstawy to 230,363 metra. Te liczby pozwalają nam zastosować wzór do obliczenia V. Otrzymujemy:
V=1/3a2h=1/3230, 3632146, 5 ≈ 2591444 m 3.
Wynikowa wartość to prawie 2,6 miliona m3. Ta objętość odpowiada objętości sześcianu o boku 137,4 metra.
