Umiejętność obliczania objętości figur przestrzennych jest ważna w rozwiązywaniu wielu praktycznych problemów z geometrii. Jednym z najczęstszych kształtów jest piramida. W tym artykule rozważymy wzory na objętość piramidy, zarówno pełną, jak i skróconą.
Piramida jako trójwymiarowa figura
Wszyscy wiedzą o egipskich piramidach, więc mają dobre pojęcie o tym, jaka postać będzie omawiana. Jednak egipskie konstrukcje kamienne są tylko szczególnym przypadkiem ogromnej klasy piramid.
Rozważany obiekt geometryczny w ogólnym przypadku jest wieloboczną podstawą, której każdy wierzchołek jest połączony z pewnym punktem w przestrzeni, który nie należy do płaszczyzny podstawy. Ta definicja prowadzi do figury składającej się z jednego n-kąta i n trójkątów.
Każda piramida składa się z n+1 ścian, 2n krawędzi i n+1 wierzchołków. Ponieważ rozważana figura jest idealnym wielościanem, liczby zaznaczonych elementów są zgodne z równością Eulera:
2n=(n+1) + (n+1) - 2.
Wielokąt u podstawy podaje nazwę piramidy,na przykład trójkątny, pięciokątny i tak dalej. Zestaw piramid o różnych podstawach pokazano na poniższym zdjęciu.
Punkt, w którym łączy się n trójkątów figury, nazywany jest wierzchołkiem piramidy. Jeśli prostopadła zostanie obniżona od niej do podstawy i przecina ją w geometrycznym środku, wówczas taka figura będzie nazywana linią prostą. Jeśli ten warunek nie jest spełniony, istnieje nachylona piramida.
Prosta figura, której podstawę tworzy równoboczny (równokątny) n-kąt nazywa się regularnym.
Wzór na objętość piramidy
Aby obliczyć objętość piramidy, używamy rachunku całkowego. Aby to zrobić, dzielimy figurę siecznymi płaszczyznami równoległymi do podstawy na nieskończoną liczbę cienkich warstw. Poniższy rysunek przedstawia czworokątną piramidę o wysokości h i długości boku L, w której cienka warstwa przekroju jest zaznaczona czworobokiem.
Powierzchnię każdej takiej warstwy można obliczyć za pomocą wzoru:
A(z)=A0(h-z)2/h2.
Tu A0 to obszar podstawy, z to wartość pionowej współrzędnej. Można zauważyć, że jeśli z=0, to wzór daje wartość A0.
Aby uzyskać wzór na objętość piramidy, należy obliczyć całkę po całej wysokości figury, czyli:
V=∫h0(A(z)dz).
Podstawiając zależność A(z) i obliczając funkcję pierwotną, otrzymujemy wyrażenie:
V=-A0(h-z)3/(3h2)| h0=1/3A0godz.
Otrzymaliśmy wzór na objętość piramidy. Aby znaleźć wartość V, wystarczy pomnożyć wysokość figury przez powierzchnię podstawy, a następnie podzielić wynik przez trzy.
Zauważ, że wynikowe wyrażenie jest poprawne przy obliczaniu objętości piramidy dowolnego typu. Oznacza to, że może być nachylony, a jego podstawą może być dowolny n-kąt.
Właściwa piramida i jej objętość
Ogólny wzór na objętość uzyskany w powyższym akapicie można udoskonalić w przypadku piramidy o prawidłowej podstawie. Powierzchnia takiej bazy obliczana jest według wzoru:
A0=n/4L2ctg(pi/n).
Tutaj L jest długością boku wielokąta foremnego z n wierzchołkami. Symbol pi to liczba pi.
Podstawiając wyrażenie za A0 do wzoru ogólnego, otrzymujemy objętość ostrosłupa regularnego:
V=1/3n/4L2hctg(pi/n)=n/12 L2hctg(pi/n).
Na przykład dla trójkątnej piramidy ten wzór prowadzi do następującego wyrażenia:
V3=3/12L2hctg(60o)=√3/12L2h.
Dla zwykłej czworokątnej piramidy wzór na objętość wygląda następująco:
V4=4/12L2hctg(45o)=1/3L2h.
Wyznaczenie objętości regularnych piramid wymaga znajomości boku ich podstawy oraz wysokości figury.
Skrócona piramida
Załóżmy, że wzięliśmyarbitralną piramidę i odcięto część jej bocznej powierzchni zawierającej wierzchołek. Pozostała figura nazywana jest ściętą piramidą. Składa się już z dwóch n-gonalnych baz i n trapezoidów, które je łączą. Jeśli płaszczyzna cięcia była równoległa do podstawy figury, powstaje ścięta piramida z równoległymi podobnymi podstawami. Oznacza to, że długości boków jednego z nich można uzyskać mnożąc długości drugiego przez pewien współczynnik k.
Powyższy rysunek przedstawia ściętą regularną sześciokątną piramidę. Widać, że jego górna podstawa, podobnie jak dolna, jest utworzona przez sześciokąt foremny.
Wzór na objętość ostrosłupa ściętego, który można wyprowadzić za pomocą rachunku całkowego podobnego do podanego, to:
V=1/3h(A0+ A1+ √(A0 A1)).
Gdzie A0 i A1 to odpowiednio obszary dolnej (dużej) i górnej (małej) podstawy. Zmienna h jest wysokością ściętego ostrosłupa.
Objętość piramidy Cheopsa
Interesujące jest rozwiązanie problemu określenia objętości, jaką zawiera w sobie największa piramida egipska.
W 1984 roku brytyjscy egiptolodzy Mark Lehner i Jon Goodman ustalili dokładne wymiary piramidy Cheopsa. Jego pierwotna wysokość wynosiła 146,50 metrów (obecnie około 137 metrów). Średnia długość każdego z czterech boków konstrukcji wynosiła 230,363 metrów. Podstawa piramidy jest kwadratowa z dużą dokładnością.
Skorzystajmy z podanych liczb, aby określić objętość tego kamiennego olbrzyma. Ponieważ piramida jest regularnym czworokątem, obowiązuje dla niej wzór:
V4=1/3L2h.
Zastąp liczby, otrzymujemy:
V4=1/3(230, 363)2146, 5 ≈ 2591444 m 3.
Objętość piramidy Cheopsa wynosi prawie 2,6 miliona m3. Dla porównania zauważamy, że basen olimpijski ma objętość 2,5 tys. m3. Oznacza to, że aby wypełnić całą piramidę Cheopsa, potrzeba ponad 1000 takich pul!
