Piramida to wielościan przestrzenny lub wielościan, który występuje w problemach geometrycznych. Głównymi właściwościami tej figury są jej objętość i powierzchnia, które są obliczane na podstawie znajomości dowolnych dwóch jej charakterystyk liniowych. Jedną z tych cech jest apotem piramidy. Zostanie to omówione w artykule.
Kształt piramidy
Zanim podamy definicję twierdzenia piramidy, zapoznajmy się z samą figurą. Piramida jest wielościanem, który składa się z jednej n-kątnej podstawy i n trójkątów, które tworzą boczną powierzchnię figury.
Każda piramida ma wierzchołek - punkt połączenia wszystkich trójkątów. Prostopadła narysowana od tego wierzchołka do podstawy nazywana jest wysokością. Jeśli wysokość przecina podstawę w geometrycznym środku, figura nazywana jest linią prostą. Prosta piramida o równobocznej podstawie nazywana jest regularną piramidą. Rysunek przedstawia piramidę o sześciokątnej podstawie, która jest widziana od strony lica i krawędzi.
Apothem prawej piramidy
Nazywana jest również apotemą. Jest rozumiany jako prostopadła poprowadzona od wierzchołka piramidy do boku podstawy figury. Z definicji ten prostopadły odpowiada wysokości trójkąta, który tworzy boczną ścianę piramidy.
Skoro rozważamy ostrosłup regularny o podstawie n-kątnej, to wszystkie n apotemów będzie dla niej takich samych, ponieważ takie są trójkąty równoramienne powierzchni bocznej figury. Zauważ, że identyczne apotemy są własnością regularnej piramidy. W przypadku figury typu ogólnego (ukośnego z nieregularnym n-kątem) wszystkie n apotemów będą różne.
Inną właściwością apotemu ostrosłupowego jest to, że jest on jednocześnie wysokością, medianą i dwusieczną odpowiedniego trójkąta. Oznacza to, że dzieli go na dwa identyczne trójkąty prostokątne.
Trójkątna piramida i wzory na określenie jej apotem
W każdej regularnej piramidzie ważnymi cechami liniowymi są długość boku jej podstawy, krawędź boczna b, wysokość h i apotem hb. Wielkości te są powiązane ze sobą odpowiednimi wzorami, które można uzyskać, rysując piramidę i biorąc pod uwagę niezbędne trójkąty prostokątne.
Regularna piramida trójkątna składa się z 4 trójkątnych ścian, a jedna z nich (podstawa) musi być równoboczna. Reszta to w ogólnym przypadku równoramienne. apotempiramidę trójkątną można wyznaczyć w innych wielkościach za pomocą następujących wzorów:
hb=√(b2- a2/4);
hb=√(a2/12 + h2)
Pierwsze z tych wyrażeń dotyczy piramidy o dowolnej prawidłowej podstawie. Drugie wyrażenie jest charakterystyczne tylko dla piramidy trójkątnej. Pokazuje, że apotem jest zawsze większy niż wysokość postaci.
Nie myl twierdzy piramidy z twierdzeniem wielościanu. W tym drugim przypadku apotem jest prostopadłym segmentem ciągniętym do boku wielościanu od jego środka. Na przykład apotem trójkąta równobocznego to √3/6a.
Zadanie Apothem
Podaj regularną piramidę z trójkątem u podstawy. Konieczne jest obliczenie jego apotem, jeśli wiadomo, że powierzchnia tego trójkąta wynosi 34 cm2, a sama piramida składa się z 4 identycznych ścian.
Zgodnie ze stanem problemu mamy do czynienia z czworościanem składającym się z trójkątów równobocznych. Wzór na obszar jednej twarzy to:
S=√3/4a2
Gdzie otrzymujemy długość boku a:
a=2√(S/√3)
Aby określić apotem hbużywamy wzoru zawierającego boczną krawędź b. W rozpatrywanym przypadku jego długość jest równa długości podstawy, mamy:
hb=√(b2- a2/4)=√3/2 a
Podstawianie wartości od a do S,otrzymujemy ostateczną formułę:
hb=√3/22√(S/√3)=√(S√3)
Otrzymaliśmy prosty wzór, w którym twierdzenie piramidy zależy tylko od powierzchni jej podstawy. Jeśli podstawimy wartość S od warunku problemu, otrzymamy odpowiedź: hb≈ 7, 674 cm.
