Apothem piramidy. Wzory na apotem regularnej trójkątnej piramidy

2025 Autor: Angel Austin | [email protected]. Ostatnio zmodyfikowany: 2025-01-23 12:31

Piramida to wielościan przestrzenny lub wielościan, który występuje w problemach geometrycznych. Głównymi właściwościami tej figury są jej objętość i powierzchnia, które są obliczane na podstawie znajomości dowolnych dwóch jej charakterystyk liniowych. Jedną z tych cech jest apotem piramidy. Zostanie to omówione w artykule.

Kształt piramidy

Zanim podamy definicję twierdzenia piramidy, zapoznajmy się z samą figurą. Piramida jest wielościanem, który składa się z jednej n-kątnej podstawy i n trójkątów, które tworzą boczną powierzchnię figury.

Każda piramida ma wierzchołek - punkt połączenia wszystkich trójkątów. Prostopadła narysowana od tego wierzchołka do podstawy nazywana jest wysokością. Jeśli wysokość przecina podstawę w geometrycznym środku, figura nazywana jest linią prostą. Prosta piramida o równobocznej podstawie nazywana jest regularną piramidą. Rysunek przedstawia piramidę o sześciokątnej podstawie, która jest widziana od strony lica i krawędzi.

Apothem prawej piramidy

Nazywana jest również apotemą. Jest rozumiany jako prostopadła poprowadzona od wierzchołka piramidy do boku podstawy figury. Z definicji ten prostopadły odpowiada wysokości trójkąta, który tworzy boczną ścianę piramidy.

Skoro rozważamy ostrosłup regularny o podstawie n-kątnej, to wszystkie n apotemów będzie dla niej takich samych, ponieważ takie są trójkąty równoramienne powierzchni bocznej figury. Zauważ, że identyczne apotemy są własnością regularnej piramidy. W przypadku figury typu ogólnego (ukośnego z nieregularnym n-kątem) wszystkie n apotemów będą różne.

Inną właściwością apotemu ostrosłupowego jest to, że jest on jednocześnie wysokością, medianą i dwusieczną odpowiedniego trójkąta. Oznacza to, że dzieli go na dwa identyczne trójkąty prostokątne.

Trójkątna piramida i wzory na określenie jej apotem

W każdej regularnej piramidzie ważnymi cechami liniowymi są długość boku jej podstawy, krawędź boczna b, wysokość h i apotem h_{b. Wielkości te są powiązane ze sobą odpowiednimi wzorami, które można uzyskać, rysując piramidę i biorąc pod uwagę niezbędne trójkąty prostokątne.}

Regularna piramida trójkątna składa się z 4 trójkątnych ścian, a jedna z nich (podstawa) musi być równoboczna. Reszta to w ogólnym przypadku równoramienne. apotempiramidę trójkątną można wyznaczyć w innych wielkościach za pomocą następujących wzorów:

h_b=√(b²- a^2/4);

h_b=√(a²/12 + h²⁾

Pierwsze z tych wyrażeń dotyczy piramidy o dowolnej prawidłowej podstawie. Drugie wyrażenie jest charakterystyczne tylko dla piramidy trójkątnej. Pokazuje, że apotem jest zawsze większy niż wysokość postaci.

Nie myl twierdzy piramidy z twierdzeniem wielościanu. W tym drugim przypadku apotem jest prostopadłym segmentem ciągniętym do boku wielościanu od jego środka. Na przykład apotem trójkąta równobocznego to √3/6a.

Zadanie Apothem

Podaj regularną piramidę z trójkątem u podstawy. Konieczne jest obliczenie jego apotem, jeśli wiadomo, że powierzchnia tego trójkąta wynosi 34 cm2, a sama piramida składa się z 4 identycznych ścian.

Zgodnie ze stanem problemu mamy do czynienia z czworościanem składającym się z trójkątów równobocznych. Wzór na obszar jednej twarzy to:

S=√3/4a2

Gdzie otrzymujemy długość boku a:

a=2√(S/√3)

Aby określić apotem h_{bużywamy wzoru zawierającego boczną krawędź b. W rozpatrywanym przypadku jego długość jest równa długości podstawy, mamy:}

h_b=√(b²- a^{2/4)=√3/2 a}

Podstawianie wartości od a do S,otrzymujemy ostateczną formułę:

h_{b=√3/22√(S/√3)=√(S√3)}

Otrzymaliśmy prosty wzór, w którym twierdzenie piramidy zależy tylko od powierzchni jej podstawy. Jeśli podstawimy wartość S od warunku problemu, otrzymamy odpowiedź: h_{b≈ 7, 674 cm.}