Pryzmat to jedna z dobrze znanych postaci badanych na kursach geometrii bryłowej w szkołach średnich. Aby móc obliczyć różne charakterystyki figur tej klasy, trzeba wiedzieć, jakie istnieją rodzaje pryzmatów. Przyjrzyjmy się bliżej temu zagadnieniu.
Pryzmat w stereometrii
Przede wszystkim zdefiniujmy wspomnianą klasę figur. Graniastosłup to dowolny wielościan składający się z dwóch równoległych wielobocznych podstaw, które są połączone równoległobokami.
Możesz uzyskać tę figurę w następujący sposób: wybierz dowolny wielokąt na płaszczyźnie, a następnie przesuń go na długość dowolnego wektora, który nie należy do pierwotnej płaszczyzny wielokąta. Podczas takiego równoległego ruchu boki wielokąta opiszą boczne powierzchnie przyszłego graniastosłupa, a końcowa pozycja wielokąta stanie się drugą podstawą figury. W opisany sposób można uzyskać dowolny rodzaj pryzmatu. Poniższy rysunek przedstawia trójkątny pryzmat.
Jakie są rodzaje pryzmatów?
Chodzi o klasyfikację kształtówklasa, o której mowa. W ogólnym przypadku klasyfikacja ta jest przeprowadzana z uwzględnieniem cech podstawy wielokąta i boków figury. Zwykle rozróżnia się trzy rodzaje pryzmatów:
- Proste i ukośne (ukośne).
- Dobrze i źle.
- Wypukły i wklęsły.
Pryzmat dowolnego z wymienionych typów klasyfikacji może mieć podstawę czworokątną, pięciokątną, …, n-kątną. Jeśli chodzi o typy pryzmatów trójkątnych, można je sklasyfikować tylko według dwóch pierwszych wymienionych punktów. Trójkątny pryzmat jest zawsze wypukły.
Poniżej przyjrzymy się bliżej każdemu z tych typów klasyfikacji i podamy kilka użytecznych wzorów do obliczania właściwości geometrycznych pryzmatu (powierzchnia, objętość).
Proste i ukośne kształty
Na pierwszy rzut oka można odróżnić pryzmat prosty od skośnego. Oto odpowiedni rysunek.
Tutaj pokazano dwa pryzmaty (sześciokątny po lewej i pięciokątny po prawej). Każdy z pewnością powie, że sześciokąt jest prosty, a pięciokąt jest ukośny. Jaka cecha geometryczna wyróżnia te pryzmaty? Oczywiście typ boczny.
Prosty pryzmat, niezależnie od podstawy, wszystkie ściany są prostokątami. Mogą być sobie równe lub mogą się różnić, ważne jest tylko to, że są prostokątami, a ich dwuścienne kąty z podstawami to 90o.
Jeśli chodzi o figurę ukośną, należy powiedzieć, że wszystkie lub niektóre z jej bocznych ścian sąrównoległoboki tworzące pośrednie kąty dwuścienne z podstawą.
W przypadku wszystkich typów graniastosłupów prostych wysokość jest długością krawędzi bocznej, w przypadku figur ukośnych wysokość jest zawsze mniejsza niż ich krawędzie boczne. Znajomość wysokości pryzmatu jest ważna przy obliczaniu jego powierzchni i objętości. Na przykład formuła objętości to:
V=Soh
Gdzie h to wysokość, So to powierzchnia jednej podstawy.
Pryzmaty poprawne i niepoprawne
Każdy pryzmat jest nieprawidłowy, jeśli nie jest prosty lub jego podstawa nie jest prawidłowa. Kwestia pryzmatów prostych i pochylonych została omówiona powyżej. Zastanówmy się tutaj, co oznacza wyrażenie „regularna podstawa wielokąta”.
Wielokąt jest regularny, jeśli wszystkie jego boki są równe (oznaczmy ich długość literą a), a wszystkie jego kąty są również równe. Przykładami wielokątów foremnych są trójkąt równoboczny, kwadrat, sześciokąt z sześcioma narożnikami 120o i tak dalej. Pole powierzchni dowolnego regularnego n-kąta oblicza się za pomocą tego wzoru:
S=n/4a2ctg(pi/n)
Poniżej znajduje się schematyczne przedstawienie regularnych graniastosłupów o podstawie trójkątnej, kwadratowej,…, ośmiokątnej.
Używając powyższego wzoru dla V, możemy napisać odpowiednie wyrażenie dla regularnych kształtów:
V=n/4a2ctg(pi/n)h
Jeśli chodzi o całkowitą powierzchnię, dla zwykłych graniastosłupów jest ona tworzona przez obszary dwóchidentyczne podstawy i n identycznych prostokątów o bokach h i a. Te fakty pozwalają nam napisać wzór na pole powierzchni każdego zwykłego pryzmatu:
S=n/2a2ctg(pi/n) + nah
Tutaj pierwszy składnik odpowiada powierzchni dwóch podstaw, drugi składnik określa tylko pole powierzchni bocznej.
Ze wszystkich typów zwykłych pryzmatów tylko pryzmaty czworokątne mają swoje własne nazwy. Tak więc regularny pryzmat czworokątny, w którym a≠h, nazywa się prostokątnym równoległościanem. Jeśli ta cyfra ma a=h, to mówi o sześcianie.
Kształty wklęsłe
Do tej pory rozważaliśmy tylko wypukłe typy pryzmatów. To im właśnie poświęca się główną uwagę w badaniu rozważanej klasy figur. Istnieją jednak również pryzmaty wklęsłe. Różnią się one od wypukłych tym, że ich podstawy są wielokątami wklęsłymi, zaczynającymi się od czworoboku.
Ilustracja przedstawia jako przykład dwa wklęsłe pryzmaty wykonane z papieru. Lewy w postaci pięcioramiennej gwiazdy to graniastosłup dziesięciokątny, prawy w postaci sześcioramiennej gwiazdy to dwunastokątny wklęsły graniastosłup prosty.
