Te geometryczne kształty otaczają nas wszędzie. Wypukłe wielokąty mogą być naturalne, takie jak plaster miodu, lub sztuczne (wytworzone przez człowieka). Figury te wykorzystywane są w produkcji różnego rodzaju powłok, w malarstwie, architekturze, dekoracjach itp. Wielokąty wypukłe mają tę właściwość, że wszystkie ich punkty znajdują się po tej samej stronie linii prostej, która przechodzi przez parę sąsiednich wierzchołków tej figury geometrycznej. Są też inne definicje. Wielokąt nazywamy wypukłym, jeśli znajduje się w jednej półpłaszczyźnie w stosunku do dowolnej prostej zawierającej jeden z jego boków.
Wypukłe wielokąty
W elementarnej geometrii zawsze brane są pod uwagę tylko proste wielokąty. Aby zrozumieć wszystkie właściwości takiegogeometryczne kształty, konieczne jest zrozumienie ich natury. Na początek należy rozumieć, że każda linia nazywana jest zamkniętą, której końce pokrywają się. Co więcej, utworzona przez nią postać może mieć różne konfiguracje. Wielokąt to prosta zamknięta linia łamana, w której sąsiednie połączenia nie znajdują się na tej samej linii prostej. Jego połączenia i wierzchołki są odpowiednio bokami i wierzchołkami tej figury geometrycznej. Prosta polilinia nie może mieć samoprzecięć.
Wierzchołki wielokąta są nazywane sąsiadującymi, jeśli reprezentują końce jednego z jego boków. Figura geometryczna, która ma n-tą liczbę wierzchołków, a więc n-tą liczbę boków, nazywana jest n-kątem. Sama linia przerywana nazywana jest granicą lub konturem tej figury geometrycznej. Płaszczyzna wielokąta lub wielokąt płaski nazywana jest końcową częścią każdej ograniczonej przez nią płaszczyzny. Sąsiednie boki tej figury geometrycznej nazywane są odcinkami łamanej linii wychodzącej z jednego wierzchołka. Nie będą sąsiadować, jeśli pochodzą z różnych wierzchołków wielokąta.
Inne definicje wielokątów wypukłych
W geometrii elementarnej istnieje kilka równoważnych definicji wskazujących, który wielokąt nazywa się wypukłym. Wszystkie te stwierdzenia są równie prawdziwe. Wielokąt jest uważany za wypukły, jeśli:
• każdy segment, który łączy dowolne dwa punkty w jego obrębie, leży całkowicie w jego obrębie;
• w środkuwszystkie jego przekątne leżą;
• każdy kąt wewnętrzny nie przekracza 180°.
Wielokąt zawsze dzieli płaszczyznę na 2 części. Jedna z nich jest ograniczona (można ją zamknąć w okrąg), a druga jest nieograniczona. Pierwszy nazywa się obszarem wewnętrznym, a drugi obszarem zewnętrznym tej figury geometrycznej. Ten wielokąt jest przecięciem (innymi słowy wspólną składową) kilku półpłaszczyzn. Co więcej, każdy segment, który kończy się w punktach należących do wielokąta, całkowicie do niego należy.
Odmiany wielokątów wypukłych
Definicja wielokąta wypukłego nie wskazuje, że istnieje wiele ich rodzajów. I każdy z nich ma określone kryteria. Tak więc wielokąty wypukłe, które mają kąt wewnętrzny 180 °, nazywane są słabo wypukłymi. Wypukła figura geometryczna, która ma trzy wierzchołki, nazywana jest trójkątem, cztery – czworokątem, pięć – pięciokątem itd. Każdy z wypukłych n-kątów spełnia następujący zasadniczy wymóg: n musi być równe lub większe niż 3. trójkąty są wypukłe. Figurę geometryczną tego typu, w której wszystkie wierzchołki znajdują się na tym samym okręgu, nazywamy wpisaną w okrąg. Wielokąt wypukły nazywany jest opisanym, jeśli dotykają go wszystkie jego boki w pobliżu okręgu. Mówi się, że dwa wielokąty są równe tylko wtedy, gdy można je nałożyć przez superpozycję. Płaszczyzna wielokąta nazywana jest płaszczyzną wielokąta.(część płaszczyzny), która jest ograniczona tą figurą geometryczną.
Regularne wielokąty wypukłe
Regularne wielokąty to kształty geometryczne o równych kątach i bokach. Wewnątrz nich znajduje się punkt 0, który znajduje się w tej samej odległości od każdego z jego wierzchołków. Nazywa się to środkiem tej figury geometrycznej. Odcinki łączące środek z wierzchołkami tej figury geometrycznej nazywane są apotemami, a te, które łączą punkt 0 z bokami, nazywane są promieniami.
Regularny czworokąt to kwadrat. Trójkąt równoboczny nazywamy trójkątem równobocznym. Dla takich figur obowiązuje następująca zasada: każdy narożnik wielokąta wypukłego ma 180°(n-2)/n, gdzie n jest liczbą wierzchołków tej wypukłej figury geometrycznej.
Pole dowolnego wielokąta foremnego określa wzór:
S=ph, gdzie p jest połową sumy wszystkich boków danego wielokąta, a h jest długością apotemu.
Właściwości wielokątów wypukłych
Wypukłe wielokąty mają pewne właściwości. Tak więc koniecznie znajduje się w nim segment, który łączy dowolne 2 punkty takiej figury geometrycznej. Dowód:
Załóżmy, że P jest danym wielokątem wypukłym. Bierzemy 2 dowolne punkty, na przykład A, B, które należą do P. Zgodnie z istniejącą definicją wielokąta wypukłego, punkty te znajdują się po tej samej stronie prostej, która zawiera dowolny bok P. Dlatego AB również ma tę właściwość i jest zawarte w P. Wielokąt wypukły można zawsze podzielić na kilka trójkątów przez absolutnie wszystkie przekątne narysowane z jednego z jego wierzchołków.
Kąty wypukłych kształtów geometrycznych
Narożniki wielokąta wypukłego to narożniki utworzone przez jego boki. Narożniki wewnętrzne znajdują się w wewnętrznym obszarze danej figury geometrycznej. Kąt utworzony przez jego boki zbiegające się w jednym wierzchołku nazywany jest kątem wielokąta wypukłego. Kąty sąsiadujące z kątami wewnętrznymi danej figury geometrycznej nazywane są zewnętrznymi. Każdy róg wielokąta wypukłego znajdującego się wewnątrz to:
180° - x, gdzie x jest wartością kąta zewnętrznego. Ta prosta formuła działa dla dowolnych kształtów geometrycznych tego typu.
Ogólnie rzecz biorąc, dla narożników zewnętrznych obowiązuje następująca zasada: każdy kąt wielokąta wypukłego jest równy różnicy między 180° a wartością kąta wewnętrznego. Może mieć wartości z zakresu od -180° do 180°. Dlatego, gdy kąt wewnętrzny wynosi 120°, kąt zewnętrzny wyniesie 60°.
Suma kątów wielokątów wypukłych
Suma kątów wewnętrznych wielokąta wypukłego jest określona wzorem:
180°(n-2), gdzie n to liczba wierzchołków n-kąta.
Suma kątów wielokąta wypukłego jest dość łatwa do obliczenia. Rozważ każdą taką figurę geometryczną. Aby określić sumę kątów wewnątrz wielokąta wypukłego, konieczne jestpołączyć jeden z jego wierzchołków z innymi wierzchołkami. W wyniku tego działania otrzymuje się (n-2) trójkąty. Wiemy, że suma kątów dowolnego trójkąta wynosi zawsze 180°. Ponieważ ich liczba w dowolnym wielokącie wynosi (n-2), suma kątów wewnętrznych takiej figury wynosi 180° x (n-2).
Suma kątów wielokąta wypukłego, czyli dowolnych dwóch kątów wewnętrznych i przyległych zewnętrznych, dla danej wypukłej figury geometrycznej będzie zawsze równa 180°. Na tej podstawie możesz określić sumę wszystkich jego kątów:
180 x n.
Suma kątów wewnętrznych wynosi 180°(n-2). Na tej podstawie sumę wszystkich zewnętrznych narożników tej figury wyznacza wzór:
180°n-180°-(n-2)=360°.
Suma zewnętrznych kątów dowolnego wielokąta wypukłego będzie zawsze wynosić 360° (niezależnie od liczby boków).
Kąt zewnętrzny wielokąta wypukłego jest ogólnie reprezentowany przez różnicę między 180° a wartością kąta wewnętrznego.
Inne właściwości wielokąta wypukłego
Oprócz podstawowych właściwości tych geometrycznych kształtów, mają też inne, które pojawiają się podczas manipulowania nimi. Tak więc każdy z wielokątów można podzielić na kilka wypukłych n-gonów. Aby to zrobić, konieczne jest kontynuowanie każdego z jego boków i wycięcie tej figury geometrycznej wzdłuż tych prostych linii. Możliwe jest również podzielenie dowolnego wielokąta na kilka części wypukłych w taki sposób, aby wierzchołki każdego z kawałków pokrywały się ze wszystkimi jego wierzchołkami. Z takiej figury geometrycznej trójkąty można bardzo łatwo zrobić, rysując wszystkoprzekątne z jednego wierzchołka. W ten sposób dowolny wielokąt można ostatecznie podzielić na pewną liczbę trójkątów, co okazuje się bardzo przydatne w rozwiązywaniu różnych problemów związanych z takimi kształtami geometrycznymi.
Obwód wielokąta wypukłego
Odcinki linii łamanej, zwane bokami wielokąta, są najczęściej oznaczane następującymi literami: ab, bc, cd, de, ea. Są to boki figury geometrycznej o wierzchołkach a, b, c, d, e. Suma długości wszystkich boków tego wypukłego wielokąta nazywana jest jego obwodem.
Obwód wielokąta
Wypukłe wielokąty można wpisywać i opisywać. Nazywa się wpisany w nią okrąg, który dotyka wszystkich boków tej figury geometrycznej. Taki wielokąt nazywa się opisanym. Środek okręgu wpisanego w wielokąt jest punktem przecięcia dwusiecznych wszystkich kątów w obrębie danej figury geometrycznej. Powierzchnia takiego wielokąta to:
S=pr, gdzie r jest promieniem okręgu wpisanego, a p jest półobwodem danego wielokąta.
Okrąg zawierający wierzchołki wielokąta jest nazywany opisanym wokół niego. Co więcej, ta wypukła figura geometryczna nazywana jest wpisaną. Środek okręgu, który jest opisany wokół takiego wielokąta, jest punktem przecięcia tak zwanych prostopadłych dwusiecznych wszystkich stron.
Przekątne wypukłych kształtów geometrycznych
Przekątne wielokąta wypukłego to odcinki, którepołączyć niesąsiadujące wierzchołki. Każdy z nich leży wewnątrz tej figury geometrycznej. Liczbę przekątnych takiego n-kąta określa wzór:
N=n (n – 3)/ 2.
Liczba przekątnych wielokąta wypukłego odgrywa ważną rolę w elementarnej geometrii. Liczbę trójkątów (K), na które można podzielić każdy wielokąt wypukły, oblicza się według następującego wzoru:
K=n – 2.
Liczba przekątnych wielokąta wypukłego zawsze zależy od liczby jego wierzchołków.
Dekompozycja wielokąta wypukłego
W niektórych przypadkach, aby rozwiązać problemy geometryczne, konieczne jest podzielenie wielokąta wypukłego na kilka trójkątów o nie przecinających się przekątnych. Ten problem można rozwiązać, wyprowadzając określony wzór.
Definicja problemu: nazwijmy właściwy podział wypukłego n-kąta na kilka trójkątów przez przekątne, które przecinają się tylko w wierzchołkach tej figury geometrycznej.
Rozwiązanie: Załóżmy, że Р1, Р2, Р3 …, Pn są wierzchołkami tego n-kąta. Liczba Xn to liczba jej partycji. Rozważmy dokładnie uzyskaną przekątną figury geometrycznej Pi Pn. W każdej ze zwykłych partycji P1 Pn należy do pewnego trójkąta P1 Pi Pn, który ma 1<i<n. Wychodząc z tego i zakładając, że i=2, 3, 4 …, n-1, otrzymujemy (n-2) grupy tych podziałów, które obejmują wszystkie możliwe przypadki szczególne.
Niech i=2 będzie jedną grupą zwykłych przegród, zawsze zawierającą przekątną Р2 Pn. Liczba stref, które do niego wchodzą, jest taka sama jak liczba stref(n-1)-gon P2 P3 P4… Pn. Innymi słowy, równa się Xn-1.
Jeżeli i=3, to ta druga grupa przegród zawsze będzie zawierała przekątne Р3 Р1 i Р3 Pn. W takim przypadku liczba zwykłych partycji zawartych w tej grupie zbiegnie się z liczbą partycji (n-2)-gon P3 P4 … Pn. Innymi słowy będzie to Xn-2.
Niech i=4, wtedy wśród trójkątów zwykły podział z pewnością będzie zawierał trójkąt P1 P4 Pn, do którego będzie przylegał czworokąt P1 P2 P3 P4, (n-3)-gon P4 P5…Pn. Liczba regularnych podziałów takiego czworoboku wynosi X4, a liczba podziałów (n-3)-gonu wynosi Xn-3. Na podstawie powyższego możemy powiedzieć, że całkowita liczba poprawnych partycji zawartych w tej grupie to Xn-3 X4. Inne grupy z i=4, 5, 6, 7… będą zawierać Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 … zwykłe partycje.
Niech i=n-2, wtedy liczba poprawnych podziałów w tej grupie będzie taka sama jak liczba podziałów w grupie, gdzie i=2 (innymi słowy równa się Xn-1).
Ponieważ X1=X2=0, X3=1, X4=2…, to liczba wszystkich partycji wielokąta wypukłego wynosi:
Xn=Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + … + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.
Przykład:
X5=X4 + X3 + X4=5
X6=X5 + X4 + X4 + X5=14
X7=X6 + X5 + X4X4 + X5 + X6=42
X8=X7 + X6 + X5X4 + X4X5 + X6 + X7=132
Liczba prawidłowych przegród przecinających jedną przekątną wewnątrz
Podczas sprawdzania przypadków specjalnych można dotrzeć dozałożenie, że liczba przekątnych n-kątów wypukłych jest równa iloczynowi wszystkich podziałów tej figury przez (n-3).
Dowód tego założenia: wyobraź sobie, że P1n=Xn(n-3), wtedy dowolny n-kąt można podzielić na (n-2)-trójkąty. Ponadto może się z nich składać czworobok (n-3). Wraz z tym każdy czworobok będzie miał przekątną. Ponieważ w tej wypukłej figurze geometrycznej można narysować dwie przekątne, oznacza to, że dodatkowe (n-3) przekątne można narysować w dowolnych (n-3)-czworokątach. Na tej podstawie możemy stwierdzić, że w każdej zwykłej partycji możliwe jest narysowanie (n-3)-przekątnych spełniających warunki tego problemu.
Obszar wielokątów wypukłych
Często przy rozwiązywaniu różnych problemów geometrii elementarnej konieczne staje się określenie obszaru wielokąta wypukłego. Załóżmy, że (Xi. Yi), i=1, 2, 3… n jest ciągiem współrzędnych wszystkich sąsiednich wierzchołków wielokąta, który nie ma samoprzecięć. W takim przypadku jego powierzchnia obliczana jest według następującego wzoru:
S=½ (∑ (Xi + Xi + 1) (Yi + Yi + 1)), gdzie (X1, Y1)=(Xn +1, Yn + 1).
