Nierówności i systemy nierówności to jeden z tematów nauczanych w algebrze w szkole średniej. Pod względem trudności nie jest to najtrudniejsze, ponieważ ma proste zasady (o nich nieco później). Z reguły uczniowie dość łatwo uczą się rozwiązywania systemów nierówności. Wynika to również z faktu, że nauczyciele po prostu „szkolą” swoich uczniów w tym temacie. I nie mogą tego nie zrobić, ponieważ jest to badane w przyszłości za pomocą innych wielkości matematycznych, a także sprawdzane pod kątem OGE i Unified State Examination. W podręcznikach szkolnych temat nierówności i systemów nierówności jest bardzo szczegółowo omówiony, więc jeśli masz zamiar go studiować, najlepiej się do nich odwołać. Ten artykuł jest tylko parafrazą dużej ilości materiału i może zawierać pewne pominięcia.
Koncepcja systemu nierówności
Jeśli przejdziemy do języka naukowego, możemy zdefiniować pojęcie „systemnierówności". To jest taki model matematyczny, który reprezentuje kilka nierówności. Oczywiście ten model wymaga rozwiązania i będzie to ogólna odpowiedź na wszystkie nierówności systemu zaproponowanego w zadaniu (zazwyczaj jest to napisane tak, dla przykład: „Rozwiąż układ nierówności 4 x + 1 > 2 i 30 - x > 6…”).
Układy nierówności i układy równań
W procesie uczenia się nowego tematu często pojawiają się nieporozumienia. Z jednej strony wszystko jest jasne i wolałbym zacząć rozwiązywać zadania, ale z drugiej strony niektóre momenty pozostają w „cieniu”, nie są dobrze rozumiane. Również niektóre elementy już zdobytej wiedzy można przeplatać z nowymi. W wyniku tego nakładania się często pojawiają się błędy.
Dlatego przed przystąpieniem do analizy naszego tematu powinniśmy przypomnieć sobie różnice między równaniami i nierównościami, ich układami. Aby to zrobić, konieczne jest ponowne wyjaśnienie, czym są te pojęcia matematyczne. Równanie jest zawsze równością i zawsze jest równe czemuś (w matematyce słowo to jest oznaczone znakiem „=”). Nierówność to model, w którym jedna wartość jest większa lub mniejsza od innej lub zawiera twierdzenie, że nie są takie same. Tak więc w pierwszym przypadku należy mówić o równości, a w drugim, bez względu na to, jak oczywiste może to zabrzmieć zsama nazwa, o nierówności początkowych danych. Układy równań i nierówności praktycznie nie różnią się od siebie, a metody ich rozwiązywania są takie same. Jedyna różnica polega na tym, że pierwsza z nich korzysta z równości, a druga z nierówności.
Rodzaje nierówności
Istnieją dwa rodzaje nierówności: numeryczne iz nieznaną zmienną. Pierwszy typ to podane wartości (liczby), które nie są sobie równe, na przykład 8 > 10. Drugi typ to nierówności zawierające nieznaną zmienną (oznaczoną jakąś literą alfabetu łacińskiego, najczęściej X). Ta zmienna musi zostać znaleziona. W zależności od tego, ile ich jest, model matematyczny rozróżnia nierówności z jedną (tworzą system nierówności z jedną zmienną) lub kilkoma zmiennymi (tworzą system nierówności z kilkoma zmiennymi).
Dwa ostatnie typy, w zależności od stopnia ich konstrukcji i stopnia złożoności rozwiązania, dzielą się na proste i złożone. Nierówności proste nazywane są również nierównościami liniowymi. Z kolei dzielą się na ścisłe i nieścisłe. Ściśle dokładnie „powiedz”, że jedna wartość musi być mniejsza lub większa, więc jest to czysta nierówność. Jest kilka przykładów: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5 itd. Nieścisłe obejmują również równość. Oznacza to, że jedna wartość może być większa lub równa innej wartości (znak „≧”) lub mniejsza lub równa innej wartości (znak „≦”). Nadal w kolejceW nierównościach zmienna nie stoi u pierwiastka, kwadratu, nie jest podzielna przez nic, dlatego nazywa się je „prostymi”. Złożone obejmują zmienne nieznane, których znalezienie wymaga więcej operacji matematycznych. Często są w kwadracie, sześcianie lub pod pierwiastkiem, mogą być modułowe, logarytmiczne, ułamkowe itp. Ale ponieważ naszym zadaniem jest zrozumienie rozwiązania systemów nierówności, będziemy mówić o systemie nierówności liniowych. Wcześniej jednak należy powiedzieć kilka słów o ich właściwościach.
Właściwości nierówności
Własności nierówności obejmują następujące zapisy:
- Znak nierówności jest odwracany, jeśli zostanie zastosowana operacja zmiany kolejności boków (na przykład, jeśli t1 ≦ t2, potem t 2 ≧ t1).
- Obie części nierówności umożliwiają dodanie sobie tej samej liczby (na przykład, jeśli t1 ≦ t2, następnie t 1 + numer ≦ t2 + numer).
- Dwie lub więcej nierówności ze znakiem tego samego kierunku umożliwiają dodanie ich lewej i prawej części (na przykład, jeśli t1 ≧ t2 , t3 ≧ t4, a następnie t1 + t 3 ≧ t2 + t4).
- Obie części nierówności pozwalają się pomnożyć lub podzielić przez tę samą liczbę dodatnią (na przykład, jeśli t1 ≦ t2i numer ≦ 0, następnie numer t1 ≧ numer t2).
- Dwie lub więcej nierówności, które mają dodatnie wyrażenia i znak tego samego kierunku, pozwalająpomnóż się nawzajem (na przykład, jeśli t1 ≦ t2, t3 ≦ t4, t1, t2, t3, t 4 ≧ 0 następnie t1 t3 ≦ t2 t4).
- Obie części nierówności pozwalają się pomnożyć lub podzielić przez tę samą liczbę ujemną, ale znak nierówności się zmienia (na przykład, jeśli t1 ≦ t2 i numer ≦ 0, następnie numer t1 ≧ numer t2).
- Wszystkie nierówności są przechodnie (na przykład, jeśli t1 ≦ t2 i t2≦ t3, następnie t1 ≦ t3).
Teraz, po przestudiowaniu głównych zapisów teorii związanych z nierównościami, możemy przejść bezpośrednio do rozważenia zasad rozwiązywania ich systemów.
Rozwiązanie systemów nierówności. Informacje ogólne. Rozwiązania
Jak wspomniano powyżej, rozwiązaniem są wartości zmiennej, które pasują do wszystkich nierówności danego systemu. Rozwiązaniem systemów nierówności jest wykonanie operacji matematycznych, które ostatecznie prowadzą do rozwiązania całego systemu lub dowodzą, że nie ma on rozwiązań. W tym przypadku zmienna ma odnosić się do pustego zestawu liczb (zapisanego w następujący sposób: litera oznaczająca zmienną ∈ (znak „należy”) ø (znak „pusty zbiór”), na przykład x ∈ ø (czyta się go tak: „Zmienna „x” należy do zbioru pustego”). Istnieje kilka sposobów rozwiązywania układów nierówności:graficzna, algebraiczna, metoda podstawienia. Warto zauważyć, że odnoszą się one do tych modeli matematycznych, które mają kilka nieznanych zmiennych. W przypadku, gdy jest tylko jeden, wystarczy metoda odstępów.
Metoda graficzna
Pozwala rozwiązać system nierówności z kilkoma niewiadomymi (z dwóch lub więcej). Dzięki tej metodzie układ nierówności liniowych jest rozwiązywany dość łatwo i szybko, a więc jest to metoda najbardziej powszechna. Dzieje się tak, ponieważ kreślenie zmniejsza ilość pisanych operacji matematycznych. Szczególnie przyjemnie jest zrobić sobie małą przerwę od pióra, wziąć ołówek linijką i przy jego pomocy przystąpić do dalszych działań, gdy wykonano dużo pracy i chcesz trochę urozmaicić. Jednak niektórzy nie lubią tej metody ze względu na to, że trzeba oderwać się od zadania i przestawić aktywność umysłową na rysowanie. Jest to jednak bardzo skuteczny sposób.
Aby rozwiązać system nierówności za pomocą metody graficznej, konieczne jest przeniesienie wszystkich elementów każdej nierówności na ich lewą stronę. Znaki zostaną odwrócone, po prawej należy napisać zero, następnie każdą nierówność należy zapisać osobno. W rezultacie z nierówności zostaną uzyskane funkcje. Następnie możesz zdobyć ołówek i linijkę: teraz musisz narysować wykres każdej uzyskanej funkcji. Cały zbiór liczb, które znajdą się w przedziale ich przecięcia, będzie rozwiązaniem układu nierówności.
Sposób algebraiczny
Pozwala rozwiązać system nierówności za pomocą dwóch nieznanych zmiennych. Nierówności również muszą mieć ten sam znak nierówności (czyli muszą zawierać albo tylko znak „większe niż”, albo tylko znak „mniejsze niż” itp.). Mimo swoich ograniczeń metoda ta jest również bardziej skomplikowana. Jest nakładany w dwóch krokach.
Pierwszy polega na usunięciu jednej z nieznanych zmiennych. Najpierw musisz go wybrać, a następnie sprawdź obecność liczb przed tą zmienną. Jeśli nie ma (wtedy zmienna będzie wyglądać jak pojedyncza litera), to nic nie zmieniamy, jeśli jest (typ zmiennej to np. 5y lub 12y), to należy się upewnić że w każdej nierówności liczba przed wybraną zmienną jest taka sama. Aby to zrobić, musisz pomnożyć każdy element nierówności przez wspólny czynnik, na przykład, jeśli w pierwszej nierówności jest zapisane 3y, a w drugiej 5y, to musisz pomnożyć wszystkie elementy pierwszej nierówności przez 5, a drugi przez 3. Otrzymasz odpowiednio 15y i 15y.
Drugi etap decyzji. Konieczne jest przeniesienie lewej strony każdej nierówności na prawą stronę ze zmianą znaku każdego terminu na przeciwny, napisz zero po prawej stronie. Potem przychodzi zabawna część: pozbycie się wybranej zmiennej (inaczej zwanej „redukcją”) podczas sumowania nierówności. Otrzymasz nierówność z jedną zmienną, którą musisz rozwiązać. Następnie powinieneś zrobić to samo, tylko z inną nieznaną zmienną. Otrzymane wyniki będą rozwiązaniem systemu.
Metoda substytucji
Pozwala rozwiązać system nierówności, gdy masz możliwość wprowadzenia nowej zmiennej. Zwykle ta metoda jest stosowana, gdy nieznana zmienna w jednym wyrazie nierówności jest podnoszona do czwartej potęgi, a w drugim wyrazie jest podnoszona do kwadratu. Tym samym metoda ta ma na celu zmniejszenie stopnia nierówności w systemie. Nierówność próbki x4 - x2 - 1 ≦ 0 jest rozwiązywana w następujący sposób. Wprowadzana jest nowa zmienna, na przykład t. Piszą: „Niech t=x2”, a następnie model zostaje przepisany w nowej formie. W naszym przypadku otrzymujemy t2 - t - 1 ≦0. Tę nierówność trzeba rozwiązać metodą interwałową (o tym trochę później), potem wrócić do zmiennej X i zrobić to samo z inną nierównością. Otrzymane odpowiedzi będą decyzją systemu.
Metoda interwałowa
Jest to najłatwiejszy sposób rozwiązywania systemów nierówności, a jednocześnie uniwersalny i powszechny. Jest używany w liceum, a nawet w liceum. Jej istota polega na tym, że uczeń poszukuje przedziałów nierówności na osi liczbowej, która jest narysowana w zeszycie (nie jest to wykres, a zwykła prosta z liczbami). Tam, gdzie przecinają się przedziały nierówności, znajduje się rozwiązanie systemu. Aby użyć metody odstępów, wykonaj następujące kroki:
- Wszystkie elementy każdej nierówności są przenoszone na lewą stronę ze zmianą znaku na przeciwny (zero jest napisane po prawej).
- Nierówności są wypisywane osobno, ustalane jest rozwiązanie każdej z nich.
- Przecięcia nierówności na numerzeprosty. Wszystkie liczby na tych skrzyżowaniach będą rozwiązaniem.
Który sposób użyć?
Oczywiście ten, który wydaje się najłatwiejszy i najwygodniejszy, ale zdarza się, że zadania wymagają określonej metody. Najczęściej mówią, że trzeba rozwiązać albo za pomocą wykresu, albo metodą interwałową. Metoda algebraiczna i podstawienie są używane niezwykle rzadko lub wcale, ponieważ są dość złożone i mylące, a poza tym są bardziej używane do rozwiązywania układów równań niż nierówności, więc powinieneś uciec się do rysowania wykresów i przedziałów. Zapewniają widoczność, która nie może nie przyczynić się do sprawnego i szybkiego przeprowadzania operacji matematycznych.
Jeśli coś nie działa
Podczas studiowania określonego tematu z algebry oczywiście mogą wystąpić problemy z jego zrozumieniem. I to jest normalne, ponieważ nasz mózg jest tak skonstruowany, że nie jest w stanie za jednym razem zrozumieć złożonego materiału. Często trzeba ponownie przeczytać akapit, skorzystać z pomocy nauczyciela lub poćwiczyć rozwiązywanie typowych problemów. W naszym przypadku wyglądają one na przykład tak: "Rozwiąż układ nierówności 3 x + 1 ≧ 0 i 2 x - 1 > 3". Tak więc osobiste dążenie, pomoc osób z zewnątrz i praktyka pomagają w zrozumieniu każdego złożonego tematu.
Reszebnik?
A książka rozwiązań jest również bardzo dobra, ale nie do oszukiwania w pracy domowej, ale do samopomocy. W nich można znaleźć układy nierówności z rozwiązaniem, spójrz naje (jak szablony), postaraj się dokładnie zrozumieć, jak autor rozwiązania poradził sobie z zadaniem, a następnie spróbuj zrobić to sam.
Wnioski
Algebra to jeden z najtrudniejszych przedmiotów w szkole. Cóż, co możesz zrobić? Matematyka zawsze była taka: dla jednych przychodzi łatwo, dla innych jest to trudne. Ale w każdym razie należy pamiętać, że program kształcenia ogólnego jest zaprojektowany w taki sposób, aby każdy uczeń mógł sobie z nim poradzić. Ponadto musisz pamiętać o ogromnej liczbie asystentów. Niektóre z nich zostały wymienione powyżej.
