Nawet w szkole każdy z nas studiował równania i na pewno układy równań. Ale niewiele osób wie, że istnieje kilka sposobów ich rozwiązania. Dzisiaj szczegółowo przeanalizujemy wszystkie metody rozwiązywania układu liniowych równań algebraicznych, które składają się z więcej niż dwóch równości.
Historia
Dziś wiadomo, że sztuka rozwiązywania równań i ich układów powstała w starożytnym Babilonie i Egipcie. Jednak równości w swojej zwykłej formie pojawiły się po pojawieniu się znaku równości „=”, który został wprowadzony w 1556 r. przez angielski zapis matematyki. Nawiasem mówiąc, ten znak został wybrany nie bez powodu: oznacza dwa równoległe równe segmenty. Rzeczywiście, nie ma lepszego przykładu równości.
Założycielem nowoczesnych oznaczeń literowych niewiadomych i znaków stopni jest francuski matematyk Francois Viet. Jednak jego oznaczenia różniły się znacznie od dzisiejszych. Na przykład kwadrat nieznanej liczby oznaczył literą Q (łac. „kwadratus”), a sześcian literą C (łac. „cubus”). Te oznaczenia wydają się teraz niewygodne, ale potembył to najbardziej zrozumiały sposób pisania układów liniowych równań algebraicznych.
Jednak wadą ówczesnych metod rozwiązywania było to, że matematycy brali pod uwagę tylko pierwiastki dodatnie. Być może wynika to z faktu, że wartości ujemne nie miały praktycznego zastosowania. Tak czy inaczej, to włoscy matematycy Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano i Rafael Bombelli jako pierwsi rozważyli negatywne korzenie w XVI wieku. A nowoczesny wygląd, główna metoda rozwiązywania równań kwadratowych (poprzez dyskryminację) powstała dopiero w XVII wieku dzięki pracy Kartezjusza i Newtona.
W połowie XVIII wieku szwajcarski matematyk Gabriel Cramer znalazł nowy sposób na ułatwienie rozwiązywania układów równań liniowych. Ta metoda została później nazwana jego imieniem i do dziś z niej korzystamy. Ale o metodzie Cramera porozmawiamy nieco później, ale na razie omówimy równania liniowe i metody ich rozwiązywania niezależnie od układu.
Równania liniowe
Równania liniowe to najprostsze równania ze zmienną(ami). Są klasyfikowane jako algebraiczne. Równania liniowe są zapisywane w postaci ogólnej w następujący sposób: 2+…a x =b. Będziemy potrzebować ich reprezentacji w tej formie podczas dalszej kompilacji systemów i macierzy.
Układy liniowych równań algebraicznych
Definicja tego terminu jest następująca: jest to zbiór równań, które mają wspólne niewiadome i wspólne rozwiązanie. Z reguły w szkole o wszystkim decydowały systemyz dwoma lub nawet trzema równaniami. Ale są systemy z czterema lub więcej komponentami. Najpierw zastanówmy się, jak je zapisać, aby wygodnie było je później rozwiązać. Po pierwsze, układy liniowych równań algebraicznych będą wyglądać lepiej, jeśli wszystkie zmienne zostaną zapisane jako x z odpowiednim indeksem: 1, 2, 3 i tak dalej. Po drugie, wszystkie równania powinny zostać zredukowane do postaci kanonicznej: a1x1+a2 x 2+…a x =b.
Po tych wszystkich krokach możemy zacząć rozmawiać o tym, jak znaleźć rozwiązanie układów równań liniowych. Bardzo przydatne będą do tego macierze.
Macierze
Macierz to tabela składająca się z wierszy i kolumn, a jej elementy znajdują się na ich przecięciu. Mogą to być określone wartości lub zmienne. Najczęściej w celu oznaczenia elementów umieszcza się pod nimi indeksy dolne (na przykład a11 lub a23). Pierwszy indeks oznacza numer wiersza, a drugi numer kolumny. Na macierzach, jak również na każdym innym elemencie matematycznym, możesz wykonywać różne operacje. Możesz więc:
1) Odejmij i dodaj tabele o tym samym rozmiarze.
2) Pomnóż macierz przez jakąś liczbę lub wektor.
3) Transpozycja: Zmień wiersze macierzy w kolumny, a kolumny w wiersze.
4) Pomnóż macierze, jeśli liczba wierszy jednej z nich jest równa liczbie kolumn drugiej.
Omówimy wszystkie te techniki bardziej szczegółowo, ponieważ będą dla nas przydatne w przyszłości. Odejmowanie i dodawanie macierzy jest bardzo proste. Więcponieważ bierzemy macierze tej samej wielkości, to każdy element jednej tabeli odpowiada każdemu elementowi drugiej. Zatem dodajemy (odejmujemy) te dwa elementy (ważne, że są w tych samych miejscach w ich macierzach). Mnożąc macierz przez liczbę lub wektor, wystarczy pomnożyć każdy element macierzy przez tę liczbę (lub wektor). Transpozycja to bardzo ciekawy proces. Czasami bardzo ciekawie jest zobaczyć to w prawdziwym życiu, na przykład podczas zmiany orientacji tabletu lub telefonu. Ikony na pulpicie są matrycą, a kiedy zmienisz pozycję, to transponuje się i staje się szersza, ale maleje na wysokość.
Przyjrzyjmy się jeszcze raz takiemu procesowi jak mnożenie macierzy. Chociaż nie będzie to dla nas przydatne, nadal warto o tym wiedzieć. Możesz pomnożyć dwie macierze tylko wtedy, gdy liczba kolumn w jednej tabeli jest równa liczbie wierszy w drugiej. Teraz weźmy elementy wiersza jednej macierzy i elementy odpowiedniej kolumny innej. Mnożymy je przez siebie, a następnie dodajemy (czyli np. iloczyn elementów a11 i a12 przez b 12i b22 będą równe: a11b12 + a 12 b22). W ten sposób uzyskuje się jeden element tabeli, który jest dalej wypełniany podobną metodą.
Teraz możemy zacząć przyglądać się, jak rozwiązywany jest układ równań liniowych.
Metoda Gaussa
Ten temat zaczyna mijać nawet w szkole. Znamy dobrze pojęcie "układu dwóch równań liniowych" i umiemy je rozwiązać. Ale co, jeśli liczba równań jest większa niż dwa? Pomoże nam w tym metoda Gaussa.
Oczywiście ta metoda jest wygodna w użyciu, jeśli tworzysz macierz z systemu. Ale nie możesz tego przekształcić i rozwiązać w najczystszej postaci.
Więc jak ta metoda rozwiązuje układ liniowych równań Gaussa? Nawiasem mówiąc, chociaż ta metoda nosi jego imię, została odkryta w czasach starożytnych. Gauss proponuje, co następuje: przeprowadzić operacje na równaniach, aby ostatecznie zredukować cały zbiór do postaci schodkowej. Oznacza to, że konieczne jest, aby od góry do dołu (jeśli ułożone poprawnie) od pierwszego do ostatniego równania zmniejszyła się jedna niewiadoma. Innymi słowy, musimy upewnić się, że otrzymamy, powiedzmy, trzy równania: w pierwszym - trzy niewiadome, w drugim - dwie, w trzecim - jedno. Następnie z ostatniego równania znajdujemy pierwszą niewiadomą, podstawiamy jej wartość do drugiego lub pierwszego równania, a następnie znajdujemy pozostałe dwie zmienne.
Metoda Cramer
Aby opanować tę metodę, niezbędne jest opanowanie umiejętności dodawania, odejmowania macierzy, a także umiejętności znajdowania wyznaczników. Dlatego jeśli robisz to wszystko słabo lub w ogóle nie wiesz jak, będziesz musiał się uczyć i ćwiczyć.
Jaka jest istota tej metody i jak sprawić, aby uzyskać układ liniowych równań Cramera? Wszystko jest bardzo proste. Musimy skonstruować macierz z liczbowych (prawie zawsze) współczynników układu liniowych równań algebraicznych. Aby to zrobić, po prostu weź liczby przed niewiadomymi i ułóż je wtabeli w kolejności ich zarejestrowania w systemie. Jeśli liczba jest poprzedzona znakiem „-”, to zapisujemy ujemny współczynnik. Tak więc skompilowaliśmy pierwszą macierz ze współczynników niewiadomych, nie uwzględniając liczb po znakach równości (oczywiście równanie należy sprowadzić do postaci kanonicznej, gdy tylko liczba jest po prawej, a wszystkie niewiadome z współczynniki po lewej stronie). Następnie musisz stworzyć kilka dodatkowych macierzy - po jednej dla każdej zmiennej. W tym celu zastępujemy po kolei każdą kolumnę współczynnikami w pierwszej macierzy kolumną liczb po znaku równości. W ten sposób otrzymujemy kilka macierzy, a następnie znajdujemy ich wyznaczniki.
Po znalezieniu wyznaczników sprawa jest niewielka. Mamy macierz początkową i istnieje kilka macierzy wynikowych, które odpowiadają różnym zmiennym. Aby uzyskać rozwiązania układu dzielimy wyznacznik tabeli wynikowej przez wyznacznik tabeli początkowej. Wynikowa liczba jest wartością jednej ze zmiennych. Podobnie znajdujemy wszystkie niewiadome.
Inne metody
Istnieje jeszcze kilka metod rozwiązywania układów równań liniowych. Na przykład tak zwana metoda Gaussa-Jordana, która służy do znajdowania rozwiązań układu równań kwadratowych i jest również związana z wykorzystaniem macierzy. Istnieje również metoda Jacobiego rozwiązywania układu liniowych równań algebraicznych. Jest najłatwiejszy do dostosowania do komputera i jest używany w informatyce.
Trudne przypadki
Złożoność zwykle występuje, gdy liczba równań jest mniejsza niż liczba zmiennych. Wtedy możemy z całą pewnością stwierdzić, że albo system jest niespójny (czyli nie ma korzeni), albo liczba jego rozwiązań dąży do nieskończoności. Jeśli mamy drugi przypadek, to musimy zapisać ogólne rozwiązanie układu równań liniowych. Będzie zawierać co najmniej jedną zmienną.
Wniosek
Tu dochodzimy do końca. Podsumowując: przeanalizowaliśmy, czym jest układ i macierz, nauczyliśmy się znaleźć ogólne rozwiązanie układu równań liniowych. Ponadto rozważono inne opcje. Dowiedzieliśmy się, jak rozwiązywany jest układ równań liniowych: metoda Gaussa i metoda Cramera. Rozmawialiśmy o trudnych przypadkach i innych sposobach znalezienia rozwiązań.
W rzeczywistości ten temat jest znacznie obszerniejszy i jeśli chcesz go lepiej zrozumieć, radzimy przeczytać bardziej specjalistyczną literaturę.
