Każdy licealista zna takie figury przestrzenne jak kula, walec, stożek, piramida i pryzmat. Z tego artykułu dowiesz się, czym jest trójkątny pryzmat i jakimi właściwościami się charakteryzuje.
Którą liczbę rozważymy w artykule?
Pryzmat trójkątny jest najprostszym przedstawicielem klasy graniastosłupów, która ma mniej boków, wierzchołków i krawędzi niż jakakolwiek inna podobna figura przestrzenna. Ten graniastosłup składa się z dwóch trójkątów, które mogą mieć dowolny kształt, ale które koniecznie muszą być sobie równe i znajdować się w równoległych płaszczyznach w przestrzeni, oraz z trzech równoległoboków, które w ogólnym przypadku nie są sobie równe. Dla jasności opisany rysunek pokazano poniżej.
Jak uzyskać trójkątny pryzmat? To bardzo proste: należy wziąć trójkąt i przenieść go do jakiegoś wektora w przestrzeni. Następnie połącz identyczne wierzchołki dwóch trójkątów segmentami. Otrzymujemy więc ramę postaci. Jeśli teraz wyobrazimy sobie, że ta rama ogranicza solidne boki, otrzymujemyprzedstawiona trójwymiarowa figura.
Z jakich elementów składa się badany pryzmat?
Trójkątny graniastosłup to wielościan, to znaczy utworzony przez kilka przecinających się ścian lub boków. Powyżej wskazano, że ma pięć takich boków (dwa trójkątne i trzy czworokątne). Boki trójkątne nazywane są podstawami, natomiast równoległoboki to ściany boczne.
Jak każdy wielościan, badany pryzmat ma wierzchołki. W przeciwieństwie do piramidy, wierzchołki każdego pryzmatu są równe. Trójkątna figura ma ich sześć. Wszystkie należą do obu baz. Dwie krawędzie bazowe i jedna krawędź boczna przecinają się w każdym wierzchołku.
Jeśli do liczby boków figury dodamy liczbę wierzchołków, a następnie od otrzymanej wartości odejmiemy liczbę 2, otrzymamy odpowiedź na pytanie, ile krawędzi ma rozpatrywany pryzmat. Jest ich dziewięć: sześć ogranicza podstawy, a pozostałe trzy oddzielają od siebie równoległoboki.
Rodzaje kształtów
Wystarczająco szczegółowy opis trójkątnego pryzmatu podany w poprzednich akapitach odpowiada kilku typom figur. Rozważ ich klasyfikację.
Badany pryzmat może być pochylony i prosty. Różnica między nimi polega na rodzaju ścian bocznych. W pryzmacie prostym są to prostokąty, aw pochyłym są to ogólne równoległoboki. Poniżej pokazano dwa pryzmaty o trójkątnych podstawach, jeden prosty i jeden ukośny.
W przeciwieństwie do pryzmatu pochyłego, pryzmat prosty ma wszystkie kąty dwuścienne między podstawami iboki mają 90°. Co oznacza ostatni fakt? Że wysokość trójkątnego graniastosłupa, czyli odległość między jego podstawami, w figurze prostej jest równa długości dowolnej krawędzi bocznej. W przypadku figury ukośnej wysokość jest zawsze mniejsza niż długość którejkolwiek z jej krawędzi bocznych.
Pryzmat o trójkątnej podstawie może być nieregularny i poprawny. Jeśli jego podstawy są trójkątami o równych bokach, a sama figura jest prosta, nazywa się ją regularną. Zwykły pryzmat ma dość dużą symetrię, wliczając w to płaszczyzny odbicia i osie obrotu. W przypadku zwykłego pryzmatu poniżej zostaną podane wzory na obliczanie jego objętości i pola powierzchni ścian. A więc w kolejności.
Obszar trójkątnego pryzmatu
Zanim przejdziemy do uzyskania odpowiedniego wzoru, rozłóżmy właściwy pryzmat.
Oczywiste jest, że pole figury można obliczyć, dodając trzy obszary identycznych prostokątów i dwa obszary równych trójkątów o tych samych bokach. Oznaczmy wysokość pryzmatu literą h, a bok jego trójkątnej podstawy - literą a. Następnie dla obszaru trójkąta S3 mamy:
S3=√3/4a2
To wyrażenie jest otrzymywane przez pomnożenie wysokości trójkąta przez jego podstawę, a następnie podzielenie wyniku przez 2.
Dla obszaru prostokąta S4otrzymujemy:
S4=ah
Dodając pola ze wszystkich stron otrzymujemy łączną powierzchnię figury:
S=2 S3+ 3S4=√3/2a2+ 3ah
Tutaj pierwszy termin odzwierciedla obszar podstaw, a drugi to obszar bocznej powierzchni trójkątnego graniastosłupa.
Przypomnij sobie, że ten wzór jest ważny tylko dla zwykłej figury. W przypadku nieprawidłowo pochylonego pryzmatu, obliczenie powierzchni należy wykonać etapami: najpierw należy określić powierzchnię podstaw, a następnie - powierzchnię boczną. Ta ostatnia będzie równa iloczynowi krawędzi bocznej i obwodu cięcia prostopadłego do powierzchni bocznych.
Objętość figury
Objętość trójkątnego graniastosłupa może być obliczona przy użyciu wzoru wspólnego dla wszystkich figur tej klasy. Wygląda to tak:
V=So h
W przypadku zwykłego trójkątnego graniastosłupa, wzór ten przyjmie następującą konkretną postać:
V=√3/4a2 h
Jeżeli pryzmat jest nieregularny, ale prosty, to zamiast obszaru podstawy należy zastąpić odpowiedni obszar trójkąta. Jeśli pryzmat jest nachylony, to oprócz określenia obszaru podstawy należy również obliczyć jego wysokość. Z reguły stosuje się do tego wzory trygonometryczne, jeśli znane są kąty dwuścienne między bokami a podstawami.
