Jak narysować pryzmat pięciokątny? Objętość i powierzchnia figury

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Ostatnio zmodyfikowany: 2023-12-17 05:38

Pięciokątny pryzmat w rozwiązywaniu problemów z geometrii jest znacznie mniej powszechny niż takie pryzmaty jak trójkątne, czworokątne czy sześciokątne. Niemniej jednak warto zapoznać się z podstawowymi właściwościami tego kształtu, a także dowiedzieć się, jak można go narysować.

Co to jest graniastosłup pięciokątny?

Jest to figura trójwymiarowa, której podstawy są pięciokątami, a boki równoległobokami. Jeśli każdy z tych równoległoboków jest prostopadły do równoległych podstaw, wówczas taki pryzmat nazywa się prostokątnym. Boczna powierzchnia prostokątnego graniastosłupa pięciokątnego składa się z pięciu prostokątów. Ponadto bok przylegający do podstawy każdego z nich jest równy odpowiedniej długości boku pięciokąta.

Jeżeli pięciokąt jest regularny, to znaczy wszystkie jego boki i kąty są sobie równe, to taki prostokątny graniastosłup nazywamy regularnym. W dalszej części artykułu rozważymy właściwości tej konkretnej figury.

Elementy pryzmatu

Dla niej, jak dla każdego pryzmatu,charakterystyczne są następujące elementy:

• powierzchnie lub boki to części płaszczyzn, które ograniczają figurę w przestrzeni;
• wierzchołki - punkty przecięcia trzech boków;
• żebra - odcinki przecięcia dwóch boków figury.

Liczby wszystkich nazwanych elementów są powiązane ze sobą następującą równością:

Liczba krawędzi=liczba wierzchołków + liczba ścian - 2

To wyrażenie nazywa się wzorem Eulera dla wielościanu.

W pięciokątnym pryzmacie liczba boków wynosi siedem (dwie podstawy + pięć prostokątów). Liczba pików wynosi 10 (pięć na każdą zasadę). Liczba krawędzi w tym przypadku będzie wynosić:

Liczba żeber=10 + 7 - 2=15

Dziesięć krawędzi należy do podstaw pryzmatu, a pięć krawędzi tworzy prostokąty.

Jak narysować pięciokątny pryzmat?

Odpowiedź na to pytanie zależy od konkretnego zadania. Jeśli konieczne jest narysowanie dowolnego pryzmatu, należy narysować dowolny pięciokąt. Następnie narysuj pięć równoległych segmentów o równej długości z każdego wierzchołka pięciokąta. Następnie połącz górne końce segmentów. Rezultatem jest arbitralny pryzmat pięciokątny.

Jeśli konieczne jest narysowanie pryzmatu foremnego, cała złożoność zadania sprowadza się do uzyskania pięciokąta foremnego. Istnieje kilka sposobów na narysowanie tego wielokąta. Tutaj rozważymy tylko dwa sposoby.

Pierwszy sposób to narysowanie okręgu za pomocą kompasu. Następnie rysowana jest dowolna średnicaokrąg i pięć kątów jest liczonych od niego za pomocą kątomierza w 72^o(572^o=360^{o). Przy liczeniu każdego kąta na kole wykonuje się nacięcie. Aby zbudować prostokąt, pozostaje połączyć zaznaczone wycięcia prostymi odcinkami.}

Druga metoda polega na użyciu tylko kompasu i linijki. W porównaniu z poprzednią jest nieco skomplikowana. Poniżej znajduje się film, który szczegółowo wyjaśnia każdy etap tej kompilacji.

Zauważ, że łatwo jest narysować pięciokąt, jeśli połączysz końce gwiazdy. Jeśli nie jest konieczne narysowanie dokładnie pięciokąta foremnego, możesz użyć metody ręcznie rysowanej gwiazdy.

Zaraz po narysowaniu pięciokąta konieczne jest narysowanie pięciu identycznych równoległych segmentów z każdego z jego wierzchołków i połączenie ich wierzchołków. Rezultatem jest pryzmat pięciokątny.

Obszar kształtu

Teraz zastanów się, jak znaleźć obszar pryzmatu pięciokątnego. Poniższy rysunek przedstawia jego rozwój. Widać, że wymagany obszar tworzą dwa identyczne pięciokąty i pięć równych sobie prostokątów.

Powierzchnia całej powierzchni figury jest wyrażona wzorem:

S=2S_o+ 5S_p

Tutaj indeksy o i p oznaczają odpowiednio podstawę i prostokąt. Oznaczmy długość boku pięciokąta jako a, a wysokość figury jako h. Następnie dla prostokąta piszemy:

S_p=ah

Aby obliczyć powierzchnię pięciokąta,użyj uniwersalnej formuły:

S=n/4a²ctg(pi/n)

Gdzie n to liczba boków wielokąta. Podstawiając n=5, otrzymujemy:

S₅=5/4a²ctg(pi/5) ≈ 1, 72a ²

Dokładność wynikowej równości wynosi 3 miejsca po przecinku, co wystarcza do rozwiązania wszelkich problemów.

Teraz pozostaje znaleźć sumę uzyskanych obszarów podstawy i powierzchni bocznej. Mamy:

S=21, 72a² + 5ah=3, 44a² + 5a h

Należy pamiętać, że otrzymany wzór jest ważny tylko dla prostopadłościanu. W przypadku figury ukośnej, obszar jej powierzchni bocznej określa się na podstawie znajomości obwodu cięcia, który musi być prostopadły do wszystkich równoległoboków.

Objętość figury

Wzór na obliczenie objętości pryzmatu pięciokątnego nie różni się od podobnego wyrażenia dla dowolnego innego pryzmatu lub cylindra. Objętość figury jest równa iloczynowi jej wysokości i powierzchni podstawy:

V=S_oh

Jeśli dany pryzmat jest prostokątny, jego wysokość jest długością krawędzi utworzonej przez prostokąty. Powierzchnia pięciokąta foremnego została obliczona powyżej z dużą dokładnością. Podstaw tę wartość do wzoru na objętość i uzyskaj niezbędne wyrażenie dla regularnego graniastosłupa pięciokątnego:

V=1, 72a²h

W ten sposób obliczanie objętości i powierzchnipryzmat regularny pięciokątny jest możliwy, jeśli znana jest strona podstawy i wysokość figury.