Szkolny kurs geometrii jest podzielony na dwie duże sekcje: planimetrię i geometrię bryłową. Stereometria bada figury przestrzenne i ich charakterystykę. W tym artykule przyjrzymy się, czym jest prosty pryzmat i podamy wzory opisujące jego właściwości, takie jak długość przekątnej, objętość i pole powierzchni.
Co to jest pryzmat?
Kiedy uczniowie proszeni są o podanie definicji pryzmatu, odpowiadają, że ta figura to dwa identyczne równoległe wielokąty, których boki są połączone równoległobokami. Definicja ta jest jak najbardziej ogólna, gdyż nie nakłada warunków na kształt wielokątów, na ich wzajemne ułożenie w równoległych płaszczyznach. Ponadto oznacza to obecność łączących równoległoboków, których klasa obejmuje również kwadrat, romb i prostokąt. Poniżej możesz zobaczyć, czym jest pryzmat czworokątny.
Widzimy, że pryzmat jest wielościanem (wielościanem) składającym się z n + 2boki, 2 × n wierzchołków i 3 × n krawędzi, gdzie n to liczba boków (wierzchołków) jednego z wielokątów.
Oba wielokąty są zwykle nazywane podstawami figury, pozostałe ścianki to boki pryzmatu.
Koncepcja prostego pryzmatu
Istnieją różne rodzaje pryzmatów. Mówią więc o figurach regularnych i nieregularnych, o graniastosłupach trójkątnych, pięciokątnych i innych, są figury wypukłe i wklęsłe, wreszcie są pochylone i proste. Porozmawiajmy o tym ostatnim bardziej szczegółowo.
Prawy graniastosłup to taka figura badanej klasy wielościanów, których wszystkie boczne czworokąty mają kąt prosty. Istnieją tylko dwa rodzaje takich czworokątów - prostokąt i kwadrat.
Rozważana forma figury ma ważną właściwość: wysokość prostego graniastosłupa jest równa długości jego bocznej krawędzi. Zauważ, że wszystkie boczne krawędzie figury są sobie równe. Jeśli chodzi o ściany boczne, w ogólnym przypadku nie są one sobie równe. Ich równość jest możliwa, jeśli oprócz tego, że pryzmat jest prosty, będzie również poprawny.
Poniższy rysunek przedstawia prostą figurę z pięciokątną podstawą. Widać, że wszystkie jego powierzchnie boczne są prostokątami.
Przekątne pryzmatu i ich parametry liniowe
Główną charakterystyką liniową dowolnego pryzmatu jest jego wysokość h i długości boków jego podstawy ai, gdzie i=1, …, n. Jeśli podstawą jest wielokąt foremny, to wystarczy znać długość a jednego boku, aby opisać jego właściwości. Znajomość oznaczonych parametrów liniowych pozwala nam jednoznaczniezdefiniować takie właściwości figury jak jej objętość lub powierzchnia.
Przekątne prostego graniastosłupa to segmenty, które łączą dowolne dwa nieprzyległe wierzchołki. Takie przekątne mogą mieć trzy typy:
- leżenie w płaszczyznach bazowych;
- znajduje się w płaszczyznach bocznych prostokątów;
- figury należące do tomu.
Długości tych przekątnych w stosunku do podstawy należy określić w zależności od typu n-kąta.
Przekątne bocznych prostokątów są obliczane według następującego wzoru:
d1i=√(ai2+ h2).
Aby określić przekątne objętości, musisz znać wartość długości odpowiedniej przekątnej podstawy i wysokości. Jeśli jakaś przekątna podstawy jest oznaczona literą d0i, to przekątna objętości d2i jest obliczana w następujący sposób:
d2i=√(d0i2+ h2).
Na przykład, w przypadku zwykłego pryzmatu czworokątnego, długość przekątnej objętości będzie wynosić:
d2=√(2 × a2+ h2).
Zauważ, że prawy trójkątny pryzmat ma tylko jeden z trzech wymienionych typów przekątnych: przekątną boczną.
Powierzchnia badanej klasy kształtów
Pole powierzchni to suma pól wszystkich powierzchni figury. Aby zwizualizować wszystkie twarze, należy wykonać skan pryzmatu. Jako przykład, takie przeciągnięcie dla figury pięciokątnej pokazano poniżej.
Widzimy, że liczba figur płaskich wynosi n + 2, a n to prostokąty. Aby obliczyć powierzchnię całego przeciągnięcia, dodaj pola dwóch identycznych baz oraz pola wszystkich prostokątów. Wtedy odpowiednia formuła będzie wyglądać tak:
S=2 × So+ h × ∑i=1n (ai).
Równość ta pokazuje, że pole powierzchni bocznej dla badanego typu pryzmatów jest równe iloczynowi wysokości figury i obwodu jej podstawy.
Obszar bazowy So można obliczyć, stosując odpowiedni wzór geometryczny. Na przykład, jeśli podstawą prawego pryzmatu jest trójkąt prostokątny, to otrzymujemy:
So=a1 × a2 / 2.
Gdzie a1 i a2 to nogi trójkąta.
Jeżeli podstawą jest n-kąt o równych kątach i bokach, to następujący wzór będzie sprawiedliwy:
So=n / 4 × ctg (pi / n) × a2.
Formuła objętości
Wyznaczenie objętości dowolnego rodzaju pryzmatu nie jest trudnym zadaniem, jeśli znana jest jego powierzchnia podstawowa So i wysokość h. Mnożąc te wartości razem, otrzymujemy objętość V figury, czyli:
V=So × h.
Ponieważ parametr h prostego pryzmatu jest równy długości bocznej krawędzi, cały problem obliczania objętości sprowadza się do obliczenia powierzchni So. Nad namipowiedziałem już kilka słów i podałem kilka formuł do określenia So. Tutaj tylko zwracamy uwagę, że w przypadku podstawy o dowolnym kształcie, należy podzielić ją na proste segmenty (trójkąty, prostokąty), obliczyć pole każdego z nich, a następnie dodać wszystkie obszary, aby uzyskać S o.
