Figury geometryczne w przestrzeni są przedmiotem badań stereometrii, których przebieg przechodzą uczniowie szkół średnich. Artykuł ten poświęcony jest tak doskonałemu wielościanowi jak pryzmat. Rozważmy bardziej szczegółowo właściwości pryzmatu i podaj wzory, które służą do ich ilościowego opisu.
Co to jest pryzmat?
Każdy wyobraża sobie, jak wygląda pudełko lub kostka. Obie figury to pryzmaty. Jednak klasa pryzmatów jest znacznie bardziej zróżnicowana. W geometrii figura ta ma następującą definicję: graniastosłup to dowolny wielościan w przestrzeni, który tworzą dwa równoległe i identyczne boki wielokąta oraz kilka równoległoboków. Identyczne równoległe ściany figury nazywane są jej podstawami (górną i dolną). Równoległoboki to boczne powierzchnie figury, łączące ze sobą boki podstawy.
Jeżeli podstawa jest reprezentowana przez n-kąt, gdzie n jest liczbą całkowitą, wówczas figura będzie się składać z 2+n ścian, 2n wierzchołków i 3n krawędzi. Twarze i krawędzie odnoszą się dojeden z dwóch typów: albo należą do powierzchni bocznej, albo do podstaw. Jeśli chodzi o wierzchołki, wszystkie są równe i należą do podstaw pryzmatu.
Rodzaje figur w badanej klasie
Badając właściwości pryzmatu, powinieneś wymienić możliwe typy tej figury:
- Wypukły i wklęsły. Różnica między nimi polega na kształcie wielobocznej podstawy. Jeśli jest wklęsły, to będzie to również figura trójwymiarowa i odwrotnie.
- Prosto i ukośnie. W przypadku pryzmatu prostego boki są albo prostokątami, albo kwadratami. W figurze ukośnej boki są równoległobokami typu ogólnego lub rombami.
- Źle i dobrze. Aby badana figura była poprawna, musi być prosta i mieć prawidłową podstawę. Przykładem tych ostatnich są płaskie figury, takie jak trójkąt równoboczny lub kwadrat.
Nazwa pryzmatu jest tworzona z uwzględnieniem podanej klasyfikacji. Na przykład prostokątny równoległościan lub sześcian wspomniany powyżej nazywany jest regularnym pryzmatem czworokątnym. Regularne pryzmaty, ze względu na dużą symetrię, są wygodne w badaniu. Ich właściwości wyrażane są w postaci określonych wzorów matematycznych.
Obszar pryzmatu
Rozważając taką właściwość pryzmatu jako jego powierzchnię, mają na myśli całkowitą powierzchnię wszystkich jego ścian. Najłatwiej wyobrazić sobie tę wartość, jeśli rozłożysz figurę, czyli rozwiniesz wszystkie twarze w jedną płaszczyznę. Poniżej naRysunek przedstawia przykład przeciągnięcia dwóch pryzmatów.
Dla dowolnego pryzmatu wzór na pole jego przeciągnięcia w postaci ogólnej można zapisać w następujący sposób:
S=2So+ bPsr.
Wyjaśnijmy notację. Wartość So to powierzchnia jednej podstawy, b to długość krawędzi bocznej, Psr to obwód cięcia, który jest prostopadła do bocznych równoległoboków figury.
Pisemny wzór jest często używany do określenia obszarów nachylonych pryzmatów. W przypadku graniastosłupa regularnego wyrażenie na S przyjmie określoną postać:
S=n/2a2ctg(pi/n) + nba.
Pierwszy wyraz w wyrażeniu reprezentuje pole dwóch baz regularnego graniastosłupa, drugi wyraz to pole bocznych prostokątów. Tutaj a jest długością boku zwykłego n-kąta. Zwróć uwagę, że długość bocznej krawędzi b dla zwykłego graniastosłupa jest również jego wysokością h, więc we wzorze b można zastąpić h.
Jak obliczyć objętość figury?
Pryzmat to stosunkowo prosty wielościan o dużej symetrii. Dlatego, aby określić jego objętość, istnieje bardzo prosta formuła. Wygląda to tak:
V=Soh.
Obliczanie powierzchni podstawy i wysokości może być trudne, gdy patrzy się na ukośny, nieregularny kształt. Problem ten został rozwiązany za pomocą sekwencyjnej analizy geometrycznej obejmującej informacje o kątach dwuściennych między bocznymi równoległobokami a podstawą.
Jeśli pryzmat jest prawidłowy, towzór na V staje się całkiem konkretny:
V=n/4a2ctg(pi/n)h.
Jak widać, pole S i objętość V dla zwykłego pryzmatu są jednoznacznie określone, jeśli znane są dwa z jego parametrów liniowych.
Trójkątny pryzmat regularny
Zakończmy artykuł rozważaniem właściwości zwykłego trójkątnego pryzmatu. Tworzy ją pięć ścian, z których trzy to prostokąty (kwadraty), a dwie to trójkąty równoboczne. Pryzmat ma sześć wierzchołków i dziewięć krawędzi. Dla tego pryzmatu formuły objętości i pola powierzchni są zapisane poniżej:
S3=√3/2a2+ 3ha
V3=√3/4a2h.
Oprócz tych właściwości, przydatne jest również podanie wzoru na twierdzenie podstawy figury, która jest wysokością ha trójkąta równobocznego:
ha=√3/2a.
Boki pryzmatu to identyczne prostokąty. Długości ich przekątnych d to:
d=√(a2+h2).
Wiedza o geometrycznych właściwościach trójkątnego graniastosłupa ma znaczenie nie tylko teoretyczne, ale także praktyczne. Faktem jest, że ta figura, wykonana ze szkła optycznego, służy do badania widma promieniowania ciał.
Przechodząc przez szklany pryzmat, w wyniku zjawiska dyspersji światło rozkłada się na szereg barw składowych, co stwarza warunki do badania składu spektralnego strumienia elektromagnetycznego.
