W artykule, na który zwróciłeś uwagę, podajemy przykłady modeli matematycznych. Dodatkowo zwrócimy uwagę na etapy tworzenia modeli oraz przeanalizujemy niektóre zadania związane z modelowaniem matematycznym.
Jeszcze jedno z naszych pytań dotyczy modeli matematycznych w gospodarce, przykładów, których definicję rozważymy nieco później. Proponujemy rozpocząć naszą rozmowę od samego pojęcia „modeli”, krótko rozważyć ich klasyfikację i przejść do naszych głównych pytań.
Koncepcja „modelu”
Często słyszymy słowo „model”. Co to jest? Termin ten ma wiele definicji, oto tylko trzy z nich:
- konkretny obiekt, który jest stworzony do odbierania i przechowywania informacji, odzwierciedlających pewne właściwości lub cechy, itd., oryginału tego obiektu (ten konkretny obiekt może być wyrażony w różnych formach: mentalnej, opisowej za pomocą znaków, i tak dalej);
- model oznacza również wyświetlanie dowolnej konkretnej sytuacji, życia lubkierownicze;
- model może służyć jako zmniejszona kopia dowolnego obiektu (są one tworzone w celu bardziej szczegółowych badań i analiz, ponieważ model odzwierciedla strukturę i relacje).
Na podstawie wszystkiego, co zostało powiedziane wcześniej, możemy wyciągnąć mały wniosek: model pozwala szczegółowo badać złożony system lub obiekt.
Wszystkie modele można klasyfikować według kilku kryteriów:
- według obszaru zastosowania (edukacyjny, eksperymentalny, naukowy i techniczny, gry, symulacja);
- według dynamiki (statycznej i dynamicznej);
- według gałęzi wiedzy (fizycznej, chemicznej, geograficznej, historycznej, socjologicznej, ekonomicznej, matematycznej);
- w formie prezentacji (materiałowej i informacyjnej).
Modele informacyjne z kolei dzielą się na znakowe i werbalne. I kultowy - na komputerze i poza komputerem. Przejdźmy teraz do szczegółowego rozważenia przykładów modelu matematycznego.
Model matematyczny
Jak można się domyślić, model matematyczny odzwierciedla niektóre cechy obiektu lub zjawiska za pomocą specjalnych symboli matematycznych. Matematyka jest potrzebna do modelowania wzorów otaczającego świata we własnym specyficznym języku.
Metoda modelowania matematycznego powstała dość dawno temu, tysiące lat temu, wraz z pojawieniem się tej nauki. Impulsem do rozwoju tej metody modelowania było jednak pojawienie się komputerów (komputerów elektronicznych).
Teraz przejdźmy do klasyfikacji. Można to również przeprowadzić według niektórych znaków. Oni sąprzedstawiono w poniższej tabeli.
| Klasyfikacja według gałęzi nauki | Zastosowanie modeli matematycznych w fizyce, socjologii, chemii i tak dalej |
| Zgodnie z aparatem matematycznym używanym w procesie modelowania | Modele oparte na równaniach różniczkowych, dyskretnych przekształceniach algebraicznych itp. |
| Modelując cele | Zgodnie z tą zasadą istnieją modele opisowe, optymalizacyjne, wielokryterialne, gier i symulacji |
Proponujemy zatrzymać się i przyjrzeć się bliżej ostatniej klasyfikacji, ponieważ odzwierciedla ona ogólne wzorce modelowania i cele tworzonych modeli.
Modele opisowe
W tym rozdziale proponujemy bardziej szczegółowo omówić opisowe modele matematyczne. Aby wszystko było bardzo jasne, zostanie podany przykład.
Po pierwsze, ten widok można nazwać opisowym. Wynika to z faktu, że po prostu wykonujemy obliczenia i prognozy, ale nie możemy w żaden sposób wpłynąć na wynik zdarzenia.
Uderzającym przykładem opisowego modelu matematycznego jest obliczenie toru lotu, prędkości i odległości od Ziemi komety, która zaatakowała bezkres naszego Układu Słonecznego. Model ten ma charakter opisowy, ponieważ wszystkie uzyskane wyniki mogą nas jedynie ostrzec przed jakimś niebezpieczeństwem. Nie mamy wpływu na wynik wydarzenia, niestety nieMogą. Jednak na podstawie uzyskanych obliczeń możliwe jest podjęcie wszelkich działań w celu ratowania życia na Ziemi.
Modele optymalizacji
Teraz porozmawiamy trochę o modelach ekonomicznych i matematycznych, których przykładami mogą być różne sytuacje. W tym przypadku mówimy o modelach, które pomagają znaleźć właściwą odpowiedź w określonych warunkach. Muszą mieć jakieś parametry. Aby było to bardzo jasne, rozważ przykład z części rolniczej.
Mamy spichlerz, ale ziarno bardzo szybko się psuje. W takim przypadku musimy dobrać odpowiedni reżim temperaturowy i zoptymalizować proces przechowywania.
W ten sposób możemy zdefiniować pojęcie „modelu optymalizacji”. W sensie matematycznym jest to układ równań (zarówno liniowych, jak i nie), którego rozwiązanie pomaga znaleźć optymalne rozwiązanie w określonej sytuacji ekonomicznej. Rozważaliśmy przykład modelu matematycznego (optymalizacji), ale dodam: ten typ należy do klasy problemów ekstremalnych, pomagają opisać funkcjonowanie systemu gospodarczego.
Zwróć uwagę na jeszcze jeden niuans: modele mogą mieć różny charakter (patrz tabela poniżej).
| deterministyczny | W tym przypadku wynik zależy od danych wejściowych |
| stochastyczny | Opis procesów losowych. W takim przypadku wynik pozostaje niezdefiniowany |
Modele wielokryterialne
Teraz zapraszamy do krótkiej rozmowymatematyczny model optymalizacji wielokryterialnej. Wcześniej podaliśmy przykład matematycznego modelu optymalizacji procesu według dowolnego kryterium, ale co, jeśli jest ich dużo?
Uderzającym przykładem wielokryterialnego zadania jest organizacja prawidłowego, zdrowego i jednocześnie ekonomicznego żywienia dla dużych grup ludzi. Takie zadania są często spotykane w wojsku, stołówkach szkolnych, obozach letnich, szpitalach i tak dalej.
Jakie kryteria podajemy w tym problemie?
- Żywność powinna być zdrowa.
- Wydatki na żywność powinny być ograniczone do minimum.
Jak widać, cele te wcale się nie pokrywają. Oznacza to, że przy rozwiązywaniu problemu należy szukać optymalnego rozwiązania, równowagi między dwoma kryteriami.
Modele gry
Mówiąc o modelach gier, konieczne jest zrozumienie pojęcia „teorii gier”. Mówiąc najprościej, modele te odzwierciedlają matematyczne modele rzeczywistych konfliktów. Pamiętaj tylko, że w przeciwieństwie do prawdziwego konfliktu, matematyczny model gry ma swoje własne, specyficzne zasady.
Teraz będzie minimum informacji z teorii gier, które pomogą Ci zrozumieć, czym jest model gry. I tak w modelu koniecznie są partie (dwie lub więcej), które zwykle nazywane są graczami.
Wszystkie modele mają pewne cechy.
| Tematy | Liczba graczy |
| Strategia | Opcje możliwych działań |
| Płatność | Wynik konfliktu (wygrana lub przegrana). |
Model gry może być sparowany lub wielokrotny. Jeśli mamy dwa tematy, to konflikt jest sparowany, jeśli więcej - wielokrotny. Można również wyróżnić grę antagonistyczną, nazywaną też grą o sumie zerowej. Jest to model, w którym zysk jednego z uczestników równa się stracie drugiego.
Modele symulacyjne
W tej sekcji zwrócimy uwagę na symulacyjne modele matematyczne. Przykłady zadań to:
- model dynamiki liczby mikroorganizmów;
- model ruchu cząsteczek itd.
W tym przypadku mówimy o modelach, które są jak najbardziej zbliżone do rzeczywistych procesów. Ogólnie rzecz biorąc, imitują każdą manifestację w naturze. W pierwszym przypadku możemy na przykład modelować dynamikę liczebności mrówek w jednej kolonii. W takim przypadku możesz obserwować losy każdej osoby. W tym przypadku opis matematyczny jest rzadko używany, częściej występują warunki pisemne:
- po pięciu dniach samica składa jaja;
- 20 dni później mrówka umiera i tak dalej.
W ten sposób modele symulacyjne są używane do opisywania dużego systemu. Matematycznym wnioskiem jest przetwarzanie otrzymanych danych statystycznych.
Wymagania
Bardzo ważnenależy pamiętać, że dla tego typu modelu istnieją pewne wymagania, między innymi te podane w poniższej tabeli.
| Wszechstronność | Ta właściwość umożliwia użycie tego samego modelu podczas opisywania grup obiektów tego samego typu. Należy zauważyć, że uniwersalne modele matematyczne są całkowicie niezależne od fizycznej natury badanego obiektu |
| Adekwatność | Ważne jest, aby zrozumieć, że ta właściwość umożliwia możliwie najdokładniejsze odwzorowanie rzeczywistych procesów. W problemach eksploatacyjnych ta właściwość modelowania matematycznego jest bardzo ważna. Przykładem modelu jest proces optymalizacji wykorzystania instalacji gazowej. W tym przypadku porównuje się wskaźniki wyliczone i rzeczywiste, w wyniku czego sprawdzana jest poprawność skompilowanego modelu |
| Dokładność | Wymaganie to implikuje zbieżność wartości, które otrzymujemy podczas obliczania modelu matematycznego i parametrów wejściowych naszego rzeczywistego obiektu |
| Gospodarka | Wymóg efektywności kosztowej każdego modelu matematycznego charakteryzuje się kosztami wdrożenia. Jeżeli praca z modelem prowadzona jest ręcznie, to należy obliczyć, ile czasu zajmie rozwiązanie jednego zadania za pomocą tego modelu matematycznego. Jeśli mówimy o projektowaniu wspomaganym komputerowo, to obliczane są wskaźniki kosztu czasu i pamięci komputera |
Etapymodelowanie
W sumie zwyczajowo rozróżnia się cztery etapy modelowania matematycznego.
- Sformułuj prawa, które łączą części modelu.
- Badania problemów matematycznych.
- Wyjaśnienie zbieżności wyników praktycznych i teoretycznych.
- Analiza i modernizacja modelu.
Model ekonomiczny i matematyczny
W tej sekcji pokrótce omówimy kwestię modeli ekonomicznych i matematycznych. Przykłady zadań to:
- tworzenie programu produkcyjnego do produkcji wyrobów mięsnych, zapewniającego maksymalny zysk z produkcji;
- maksymalizacja zysków organizacji poprzez obliczenie optymalnej liczby stołów i krzeseł do wyprodukowania w fabryce mebli itd.
Model ekonomiczno-matematyczny wyświetla abstrakcję ekonomiczną wyrażoną za pomocą terminów i znaków matematycznych.
Komputerowy model matematyczny
Przykłady komputerowego modelu matematycznego to:
- problemy hydrauliki z wykorzystaniem schematów blokowych, diagramów, tabel i tak dalej;
- problemy dotyczące mechaniki ciała stałego i tak dalej.
Model komputera to obraz obiektu lub systemu przedstawiony jako:
- tabele;
- schematy blokowe;
- diagramy;
- grafika i tak dalej.
Jednocześnie model ten odzwierciedla strukturę i połączenia systemu.
Budowanie modelu ekonomiczno-matematycznego
Rozmawialiśmy już o tym, co ekonomicznemodel matematyczny. Przykład rozwiązania problemu zostanie rozważony w tej chwili. Musimy przeanalizować program produkcyjny, aby zidentyfikować rezerwę na zwiększenie zysków przy zmianie asortymentu.
Nie będziemy w pełni rozważać problemu, a jedynie zbudować model ekonomiczny i matematyczny. Kryterium naszego zadania jest maksymalizacja zysku. Wtedy funkcja ma postać: Л=р1х1+р2х2… dążąca do maksimum. W tym modelu p to zysk na jednostkę, x to liczba wyprodukowanych jednostek. Dalej, na podstawie skonstruowanego modelu, konieczne jest wykonanie obliczeń i podsumowanie.
Przykład budowania prostego modelu matematycznego
Zadanie. Rybak wrócił z następującym połowem:
- 8 ryby - mieszkańcy mórz północnych;
- 20% połowów - mieszkańcy mórz południowych;
- nie znaleziono ani jednej ryby z lokalnej rzeki.
Ile ryb kupił w sklepie?
Tak więc przykład konstrukcji matematycznego modelu tego problemu jest następujący. Całkowitą liczbę ryb oznaczamy jako x. Zgodnie z warunkiem 0,2x to liczba ryb żyjących na południowych szerokościach geograficznych. Teraz łączymy wszystkie dostępne informacje i otrzymujemy model matematyczny problemu: x=0, 2x+8. Rozwiązujemy równanie i otrzymujemy odpowiedź na główne pytanie: kupił w sklepie 10 ryb.
