Matematyka to dość skomplikowana nauka. Studiując ją, trzeba nie tylko rozwiązywać przykłady i problemy, ale także pracować z różnymi postaciami, a nawet samolotami. Jednym z najczęściej używanych w matematyce jest układ współrzędnych na płaszczyźnie. Od ponad roku dzieci uczy się, jak prawidłowo z nim pracować. Dlatego ważne jest, aby wiedzieć, co to jest i jak prawidłowo z nim pracować.
Zastanówmy się, czym jest ten system, jakie działania możesz z nim wykonać, a także poznaj jego główne cechy i funkcje.
Definicja pojęcia
Płaszczyzna współrzędnych to płaszczyzna, na której ustawiony jest określony układ współrzędnych. Taką płaszczyznę określają dwie proste linie przecinające się pod kątem prostym. Punkt przecięcia tych linii jest początkiem współrzędnych. Każdy punkt na płaszczyźnie współrzędnych jest określony przez parę liczb, które nazywane są współrzędnymi.
Na szkolnym kursie matematyki uczniowie muszą dość ściśle współpracować z układem współrzędnych - budować na nim liczby i punkty, aby określić, którejedna lub druga współrzędna należy do płaszczyzny, a także określić współrzędne punktu i zapisać je lub nazwać. Dlatego porozmawiajmy bardziej szczegółowo o wszystkich cechach współrzędnych. Ale najpierw porozmawiajmy o historii stworzenia, a potem porozmawiamy o tym, jak pracować na płaszczyźnie współrzędnych.
Tło historyczne
Pomysły na stworzenie układu współrzędnych pojawiły się w czasach Ptolemeusza. Już wtedy astronomowie i matematycy zastanawiali się, jak nauczyć się wyznaczać położenie punktu na płaszczyźnie. Niestety w tym czasie nie było nam znanego układu współrzędnych, a naukowcy musieli używać innych układów.
Na początku wyznaczają punkty używając szerokości i długości geograficznej. Przez długi czas był to jeden z najczęściej używanych sposobów mapowania tej lub innej informacji. Ale w 1637 roku Kartezjusz stworzył swój własny układ współrzędnych, nazwany później „kartezjańskim” na cześć wielkiego matematyka.
Po publikacji pracy „Geometria” układ współrzędnych Kartezjusza zdobył uznanie w kręgach naukowych.
Już pod koniec XVII wieku. pojęcie „współrzędnej płaszczyzny” stało się szeroko stosowane w świecie matematyki. Pomimo faktu, że od powstania tego systemu minęło kilka stuleci, nadal jest on szeroko stosowany w matematyce, a nawet w życiu.
Przykłady współrzędnych
Zanim zaczniemy mówić o teorii, podajmy kilka ilustracyjnych przykładów płaszczyzny współrzędnych, abyście mogli to sobie wyobrazić. Układ współrzędnych jest używany głównie w szachach. Na planszy każdy kwadrat ma swoje współrzędne - jedną współrzędną literową, drugą - cyfrową. Z jego pomocą możesz określić położenie konkretnego pionka na planszy.
Drugim najbardziej uderzającym przykładem jest ukochana gra „Pancernik”. Pamiętaj, jak podczas gry nazywasz współrzędne, na przykład B3, wskazując w ten sposób dokładnie, gdzie celujesz. W tym samym czasie, umieszczając statki, ustawiasz punkty na płaszczyźnie współrzędnych.
Ten układ współrzędnych jest szeroko stosowany nie tylko w matematyce, grach logicznych, ale także w wojskowości, astronomii, fizyce i wielu innych naukach.
Osie współrzędnych
Jak już wspomniano, w układzie współrzędnych są dwie osie. Porozmawiajmy trochę o nich, ponieważ mają one niebagatelne znaczenie.
Pierwsza oś - odcięta - jest pozioma. Jest oznaczony jako (Wół). Druga oś to oś y, która przechodzi pionowo przez punkt odniesienia i jest oznaczona jako (Oy). To właśnie te dwie osie tworzą układ współrzędnych, dzielący płaszczyznę na cztery ćwiartki. Początek znajduje się w punkcie przecięcia tych dwóch osi i przyjmuje wartość 0. Tylko jeśli płaszczyzna jest utworzona przez dwie prostopadle przecinające się osie, które mają punkt odniesienia, czy jest to płaszczyzna współrzędnych.
Zauważ również, że każda z osi ma swój własny kierunek. Zwykle podczas konstruowania układu współrzędnych zwyczajowo wskazuje się kierunek osi w postaci strzałki. Ponadto podczas konstruowania płaszczyzny współrzędnych każda z osi jest podpisana.
Kwartały
Powiedzmy teraz kilka słów o takim pojęciu jak ćwiartki płaszczyzny współrzędnych. Samolot jest podzielony przez dwie osie na cztery ćwiartki. Każdy z nich ma swój numer, natomiast numeracja płaszczyzn jest przeciwna do ruchu wskazówek zegara.
Każda z ćwiartek ma swoją własną charakterystykę. Tak więc w pierwszej ćwiartce odcięta i rzędna są dodatnie, w drugiej ćwiartce odcięta jest ujemna, rzędna jest dodatnia, w trzeciej zarówno odcięta, jak i rzędna są ujemne, w czwartej odcięta jest dodatnia, a rzędna jest ujemna.
Zapamiętując te cechy, możesz łatwo określić, do której ćwiartki należy ten lub inny punkt. Ponadto informacje te mogą być przydatne, jeśli musisz wykonać obliczenia przy użyciu systemu kartezjańskiego.
Praca z płaszczyzną współrzędnych
Kiedy wymyśliliśmy koncepcję samolotu i rozmawialiśmy o jego kwaterach, możemy przejść do takiego problemu, jak praca z tym systemem, a także porozmawiać o tym, jak umieszczać na nim punkty, współrzędne figur. Na płaszczyźnie współrzędnych nie jest to tak trudne, jak mogłoby się wydawać na pierwszy rzut oka.
Po pierwsze, sam system jest zbudowany, wszystkie ważne oznaczenia są do niego naniesione. Następnie jest praca bezpośrednio z punktami lub liczbami. W tym przypadku, nawet podczas konstruowania figur, najpierw do płaszczyzny przypisywane są punkty, a następnie figury są już rysowane.
Następnie porozmawiamy o budowaniu systemu i bezpośrednim stosowaniu punktów i kształtów.
Zasadykonstrukcja samolotu
Jeśli zdecydujesz się rozpocząć zaznaczanie kształtów i punktów na papierze, będziesz potrzebować płaszczyzny współrzędnych. Wykreślane są na nim współrzędne punktów. Aby zbudować płaszczyznę współrzędnych, potrzebujesz tylko linijki i długopisu lub ołówka. Najpierw rysowana jest odcięta pozioma, a następnie pionowa - rzędna. Należy pamiętać, że osie przecinają się pod kątem prostym.
Ponadto na każdej osi wskaż kierunek i podpisz go, używając ogólnie przyjętej notacji x i y. Punkt przecięcia osi jest również zaznaczony i podpisany numerem 0.
Następną obowiązkową pozycją jest znakowanie. Jednostki-segmenty są zaznaczone i podpisane na każdej z osi w obu kierunkach. Odbywa się to tak, abyś mógł pracować z samolotem z maksymalną wygodą.
Oznaczanie punktu
Teraz porozmawiajmy o tym, jak wykreślić współrzędne punktów na płaszczyźnie współrzędnych. To podstawy, które musisz znać, aby skutecznie umieszczać różne kształty na płaszczyźnie, a nawet oznaczać równania.
Kiedy wykreślasz punkty, pamiętaj o prawidłowym zapisie ich współrzędnych. Tak więc, zwykle ustalając punkt, dwie liczby są zapisywane w nawiasach. Pierwsza cyfra wskazuje współrzędną punktu wzdłuż osi odciętych, druga - wzdłuż osi rzędnych.
Zbuduj punkt w ten sposób. Najpierw zaznacz dany punkt na osi Ox, a następnie zaznacz punkt na osi Oy. Następnie narysuj wyimaginowane linie z tych oznaczeń i znajdź miejsce ich przecięcia - będzie to dany punkt.
Musisz tylko zaznaczyć i podpisać. Jak widać, wszystko jest dość proste i nie wymaga specjalnych umiejętności.
Umieść kształt
Przejdźmy teraz do takiego zagadnienia, jak konstruowanie figur na płaszczyźnie współrzędnych. Aby zbudować dowolną figurę na płaszczyźnie współrzędnych, powinieneś wiedzieć, jak umieszczać na niej punkty. Jeśli wiesz, jak to zrobić, umieszczenie figurki w samolocie nie jest takie trudne.
Przede wszystkim będziesz potrzebować współrzędnych punktów kształtu. To na nich zastosujemy wybrane przez Ciebie kształty geometryczne do naszego układu współrzędnych. Rozważ narysowanie prostokąta, trójkąta i koła.
Zacznijmy od prostokąta. Stosowanie go jest dość łatwe. Najpierw do płaszczyzny są stosowane cztery punkty, wskazujące rogi prostokąta. Następnie wszystkie punkty są kolejno połączone ze sobą.
Nie inaczej jest rysować trójkąt. Jedyną rzeczą jest to, że ma trzy rogi, co oznacza, że do płaszczyzny przyłożone są trzy punkty, oznaczające jej wierzchołki.
Jeśli chodzi o okrąg, tutaj powinieneś znać współrzędne dwóch punktów. Pierwszy punkt to środek okręgu, drugi to punkt oznaczający jego promień. Te dwa punkty są wykreślone na płaszczyźnie. Następnie bierze się kompas, mierzy się odległość między dwoma punktami. Szpic kompasu jest umieszczony w punkcie wskazującym środek, a okrąg jest opisany.
Jak widać, tutaj też nie ma nic skomplikowanego, najważniejsze jest, aby zawsze mieć pod ręką linijkę i kompas.
Teraz wiesz, jak wykreślić współrzędne kształtu. Na płaszczyźnie współrzędnych nie jest to takie trudne, jak mogłoby się wydawać na pierwszy rzut oka.
Wnioski
Więc rozważyliśmy z wami jedno z najbardziej interesujących i podstawowych pojęć matematycznych, z którymi musi sobie poradzić każdy uczeń.
Odkryliśmy, że płaszczyzna współrzędnych jest płaszczyzną utworzoną przez przecięcie dwóch osi. Za jego pomocą możesz ustawić współrzędne punktów, nałożyć na nie kształty. Samolot jest podzielony na ćwiartki, z których każda ma swoją własną charakterystykę.
Główną umiejętnością, którą należy rozwinąć podczas pracy z płaszczyzną współrzędnych, jest umiejętność prawidłowego nanoszenia na nią określonych punktów. Aby to zrobić, powinieneś znać prawidłowe położenie osi, cechy ćwiartek, a także zasady, według których ustalane są współrzędne punktów.
Mamy nadzieję, że przedstawione przez nas informacje były przystępne i zrozumiałe, a także przydatne dla Ciebie i pomogły w lepszym zrozumieniu tego tematu.
