Nie można twierdzić, że znasz matematykę, jeśli nie wiesz, jak rysować wykresy, rysować nierówności na linii współrzędnych i pracować z osiami współrzędnych. Komponent wizualny w nauce jest niezbędny, ponieważ bez wizualnych przykładów we wzorach i obliczeniach czasami można się bardzo pomylić. W tym artykule zobaczymy, jak pracować z osiami współrzędnych i nauczymy się budować proste wykresy funkcji.
Aplikacja
Linia współrzędnych jest podstawą najprostszych typów wykresów, jakie uczeń napotyka na swojej ścieżce edukacyjnej. Jest używany w prawie każdym temacie matematycznym: przy obliczaniu prędkości i czasu, rzutowaniu wielkości obiektów i obliczaniu ich powierzchni, w trygonometrii podczas pracy z sinusami i cosinusami.
Główną wartością takiej bezpośredniej linii jest widoczność. Ponieważ matematyka jest nauką wymagającą wysokiego poziomu myślenia abstrakcyjnego, wykresy pomagają w reprezentowaniu obiektu w świecie rzeczywistym. Jak się zachowuje? W jakim miejscu w przestrzenikilka sekund, minut, godzin? Co można o nim powiedzieć w porównaniu z innymi obiektami? Jaka jest jego prędkość w losowo wybranym czasie? Jak scharakteryzować jego ruch?
Nie bez powodu mówimy o prędkości - często jest ona wyświetlana na wykresach funkcji. Mogą również wyświetlać zmiany temperatury lub ciśnienia wewnątrz obiektu, jego wielkość, orientację względem horyzontu. Dlatego budowanie linii współrzędnych jest często wymagane również w fizyce.
Wykres jednowymiarowy
Istnieje koncepcja wielowymiarowości. W przestrzeni jednowymiarowej wystarczy jedna liczba, aby określić położenie punktu. Tak jest właśnie w przypadku linii współrzędnych. Jeśli przestrzeń jest dwuwymiarowa, wymagane są dwie liczby. Wykresy tego typu są używane znacznie częściej i na pewno rozważymy je nieco w dalszej części artykułu.
Co można zobaczyć za pomocą punktów na osi, jeśli jest tylko jedna oś? Możesz zobaczyć rozmiar obiektu, jego położenie w przestrzeni względem pewnego „zera”, czyli punktu wybranego jako punkt odniesienia.
Zmiana parametrów w czasie nie będzie widoczna, ponieważ wszystkie odczyty będą wyświetlane przez jedną konkretną chwilę. Jednak od czegoś trzeba zacząć! Więc zacznijmy.
Jak zbudować oś współrzędnych
Najpierw musisz narysować linię poziomą - to będzie nasza oś. Po prawej stronie „wyostrz” go tak, aby wyglądał jak strzała. W ten sposób wskażemy kierunek, w którym będą się znajdować liczbyzwiększyć. Strzałka skierowana w dół zwykle nie jest umieszczana. Tradycyjnie oś jest skierowana w prawo, więc zastosujemy się do tej zasady.
Ustawmy znak zerowy, który będzie wyświetlał początek współrzędnych. To jest właśnie miejsce, z którego odbywa się odliczanie, czy to rozmiar, waga, prędkość, czy cokolwiek innego. Oprócz zera musimy koniecznie wyznaczyć tzw. cenę podziału, czyli wprowadzić normę jednostkową, zgodnie z którą będziemy wykreślać na osi określone wielkości. Należy to zrobić, aby móc znaleźć długość segmentu na linii współrzędnych.
W równej odległości od siebie umieść kropki lub "nacięcia" na linii, a pod nimi napisz odpowiednio 1, 2, 3 i tak dalej. A teraz wszystko gotowe. Ale z wynikającym z tego harmonogramem nadal musisz się nauczyć, jak pracować.
Rodzaje punktów na linii współrzędnych
Od pierwszego spojrzenia na rysunki proponowane w podręcznikach staje się jasne: punkty na osi mogą być wypełnione lub nie. Myślisz, że to przypadek? Zupełnie nie! „Pełna” kropka oznacza nieścisłą nierówność – taką, która brzmi „większa lub równa”. Jeśli musimy ściśle ograniczyć przedział (na przykład „x” może przyjmować wartości od zera do jednego, ale go nie obejmuje), użyjemy punktu „pustego”, czyli w rzeczywistości małego koła na osi. Należy zauważyć, że uczniowie tak naprawdę nie lubią ostrych nierówności, ponieważ trudniej z nimi pracować.
W zależności od tego, które punktyużyj na wykresie, budowane interwały będą również nazywane. Jeśli nierówność po obu stronach nie jest ścisła, otrzymujemy segment. Jeśli z jednej strony okaże się, że jest „otwarty”, zostanie nazwany półokresem. Na koniec, jeśli część prostej jest ograniczona z obu stron pustymi punktami, zostanie to nazwane odstępem.
Samolot
Konstruując dwie proste na płaszczyźnie współrzędnych, możemy już rozważyć wykresy funkcji. Powiedzmy, że linia pozioma to oś czasu, a linia pionowa to odległość. A teraz jesteśmy w stanie określić, jaką odległość obiekt pokona w minutę lub godzinę podróży. Dzięki temu praca z samolotem umożliwia monitorowanie zmiany stanu obiektu. Jest to o wiele bardziej interesujące niż badanie stanu statycznego.
Najprostszym wykresem na takiej płaszczyźnie jest linia prosta, która odzwierciedla funkcję Y(X)=aX + b. Czy linia się ugina? Oznacza to, że w trakcie badania obiekt zmienia swoje właściwości.
Wyobraź sobie, że stoisz na dachu budynku, trzymając w wyciągniętej dłoni kamień. Gdy go puścisz, poleci w dół, zaczynając swój ruch od zerowej prędkości. Ale za sekundę pokona 36 kilometrów na godzinę. Kamień będzie dalej przyspieszał i aby narysować jego ruch na wykresie, będziesz musiał zmierzyć jego prędkość w kilku punktach w czasie, ustawiając punkty na osi w odpowiednich miejscach.
Znaki na poziomej linii współrzędnych są domyślnie nazywane X1, X2, X3, a na pionowej - odpowiednio Y1, Y2, Y3. wystającyje do płaszczyzny i znajdując skrzyżowania, znajdujemy fragmenty powstałego wzoru. Łącząc je jedną linią otrzymujemy wykres funkcji. W przypadku spadającego kamienia funkcja kwadratowa będzie wyglądać następująco: Y(X)=aXX + bX + c.
Skala
Oczywiście nie jest konieczne umieszczanie wartości całkowitych obok dzieleń za pomocą linii prostej. Jeśli rozważasz ruch ślimaka, który pełza z prędkością 0,03 metra na minutę, ustaw jako wartości ułamek współrzędnych. W takim przypadku ustaw działkę skali na 0,01 metra.
Szczególnie wygodne jest wykonywanie takich rysunków w zeszycie w klatce - tutaj od razu widać, czy na arkuszu jest wystarczająco dużo miejsca na wykres, jeśli wyjdziesz poza marginesy. Obliczenie swojej siły nie jest trudne, ponieważ szerokość komórki w takim zeszycie wynosi 0,5 centymetra. Zajęło - zmniejszyłem obraz. Zmiany w skali wykresu nie spowodują jego utraty ani zmiany jego właściwości.
Współrzędne punktu i odcinka
Kiedy na lekcji podany jest problem matematyczny, może on zawierać parametry różnych kształtów geometrycznych, zarówno w postaci długości boków, obwodu, pola, jak i w postaci współrzędnych. W takim przypadku może być konieczne zarówno zbudowanie kształtu, jak i uzyskanie powiązanych z nim danych. Powstaje pytanie: jak znaleźć wymagane informacje na linii współrzędnych? A jak zbudować kształt?
Na przykład mówimy o punkcie. Wtedy w stanie problemu pojawi się wielka litera, a w nawiasach pojawi się kilka cyfr, najczęściej dwie (to oznacza, że będziemy liczyć w przestrzeni dwuwymiarowej). Jeśli w nawiasie znajdują się trzy liczby oddzielone średnikiem lub przecinkiem, to jest to przestrzeń trójwymiarowa. Każda z wartości jest współrzędną na odpowiedniej osi: najpierw wzdłuż poziomej (X), a następnie wzdłuż pionowej (Y).
Pamiętasz jak narysować segment? Zdałeś to na geometrii. Jeśli są dwa punkty, można między nimi narysować linię. Ich współrzędne są podane w nawiasach, jeśli w zadaniu pojawia się jakiś segment. Na przykład: A (15, 13) - B (1, 4). Aby zbudować taką linię, musisz znaleźć i zaznaczyć punkty na płaszczyźnie współrzędnych, a następnie je połączyć. To wszystko!
Jak wiesz, dowolne wielokąty można narysować za pomocą segmentów. Problem rozwiązany.
Obliczenia
Powiedzmy, że istnieje jakiś obiekt, którego położenie wzdłuż osi X jest scharakteryzowane przez dwie liczby: zaczyna się w punkcie o współrzędnej (-3) i kończy na (+2). Jeśli chcemy poznać długość tego obiektu, musimy odjąć mniejszą liczbę od większej. Zauważ, że liczba ujemna pochłania znak odejmowania, ponieważ „minus razy minus równa się plus”. Dodajemy więc (2+3) i otrzymujemy 5. To jest wymagany wynik.
Inny przykład: otrzymujemy punkt końcowy i długość obiektu, ale nie punkt początkowy (i musimy go znaleźć). Niech pozycja znanego punktu będzie równa (6), a wielkość badanego obiektu będzie równa (4). Odejmując długość od końcowej współrzędnej, otrzymujemy odpowiedź. Razem: (6 - 4)=2.
Liczby ujemne
W praktyce często wymagana jest praca z wartościami ujemnymi. W takim przypadku będziemyprzesuń się w lewo wzdłuż osi współrzędnych. Na przykład obiekt o wysokości 3 centymetrów unosi się w wodzie. Jedna trzecia jest zanurzona w cieczy, dwie trzecie w powietrzu. Następnie wybierając oś jako oś, otrzymujemy dwie liczby korzystając z najprostszych obliczeń arytmetycznych: górny punkt obiektu ma współrzędną (+2), a dolny - (-1) centymetr.
Łatwo zauważyć, że w przypadku samolotu mamy cztery czwarte linii współrzędnych. Każdy z nich ma swój numer. W pierwszej (prawej górnej) części będą punkty o dwóch współrzędnych dodatnich, w drugiej - w lewym górnym rogu - wartości osi X będą ujemne, a wzdłuż osi Y - dodatnie. Trzecia i czwarta są liczone dalej w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.
Ważna właściwość
Wiesz, że linia może być reprezentowana jako nieskończona liczba punktów. Możemy oglądać tak dokładnie, jak nam się podoba, dowolną liczbę wartości w każdym kierunku osi, ale nie spotkamy się z powtarzającymi się. Wydaje się to naiwne i zrozumiałe, ale to stwierdzenie wynika z ważnego faktu: każda liczba odpowiada jednemu i tylko jednemu punktowi na linii współrzędnych.
Wniosek
Pamiętaj, że wszelkie osie, figury i, jeśli to możliwe, grafika muszą być zbudowane na linijce. Jednostki miary nie zostały wymyślone przez człowieka przypadkowo - jeśli popełnisz błąd podczas rysowania, ryzykujesz, że zobaczysz inny obraz niż powinien.
Bądź ostrożny i dokładny w kreśleniu i obliczeniach. Jak każda nauka szkolna, matematyka kocha dokładność. Włóż trochę wysiłku i dobrzeoceny nie potrwają długo.
