Podczas badania zachowania gazów w fizyce często pojawiają się problemy z określeniem zmagazynowanej w nich energii, która teoretycznie może być wykorzystana do wykonania jakiejś użytecznej pracy. W tym artykule rozważymy pytanie, jakich wzorów można użyć do obliczenia energii wewnętrznej gazu doskonałego.
Koncepcja gazu doskonałego
Dokładne zrozumienie koncepcji gazu doskonałego jest ważne przy rozwiązywaniu problemów z systemami w tym stanie skupienia. Każdy gaz przybiera kształt i objętość naczynia, w którym jest umieszczony, jednak nie każdy gaz jest idealny. Na przykład powietrze można uznać za mieszaninę idealnych gazów, podczas gdy para wodna nie. Jaka jest podstawowa różnica między gazami rzeczywistymi a ich modelem idealnym?
Odpowiedź na pytanie będzie składać się z dwóch następujących funkcji:
- stosunek energii kinetycznej do potencjalnej cząsteczek i atomów tworzących gaz;
- stosunek między liniowymi rozmiarami cząstekgazu i średniej odległości między nimi.
Gaz jest uważany za idealny tylko wtedy, gdy średnia energia kinetyczna jego cząstek jest niewspółmiernie większa niż energia wiązania między nimi. Różnica między tymi energiami jest taka, że możemy założyć, że oddziaływanie między cząstkami jest całkowicie nieobecne. Ponadto gaz doskonały charakteryzuje się brakiem wymiarów jego cząstek, a raczej wymiary te można zignorować, ponieważ są one znacznie mniejsze niż średnie odległości między cząsteczkami.
Dobrymi kryteriami empirycznymi do określenia idealności systemu gazowego są jego właściwości termodynamiczne, takie jak temperatura i ciśnienie. Jeśli pierwszy ma temperaturę większą niż 300 K, a drugi ma mniej niż 1 atmosferę, wówczas każdy gaz można uznać za idealny.
Jaka jest energia wewnętrzna gazu?
Zanim zapiszesz wzór na energię wewnętrzną gazu doskonałego, musisz bliżej poznać tę cechę.
W termodynamice energia wewnętrzna jest zwykle oznaczana łacińską literą U. W ogólnym przypadku określa ją następujący wzór:
U=H - PV
Gdzie H jest entalpią układu, P i V to ciśnienie i objętość.
W sensie fizycznym energia wewnętrzna składa się z dwóch składników: kinetycznego i potencjalnego. Pierwsza związana jest z różnymi rodzajami ruchu cząstek układu, a druga z oddziaływaniem sił między nimi. Jeżeli zastosujemy tę definicję do pojęcia gazu doskonałego, który nie ma energii potencjalnej, to wartość U w dowolnym stanie układu będzie dokładnie równa jego energii kinetycznej, czyli:
U=Ek.
Wyprowadzenie wzoru na energię wewnętrzną
Powyżej stwierdziliśmy, że aby wyznaczyć ją dla układu z gazem doskonałym, konieczne jest obliczenie jego energii kinetycznej. Z toku fizyki ogólnej wiadomo, że energię cząstki o masie m, która porusza się do przodu w określonym kierunku z prędkością v, określa wzór:
Ek1=mv2/2.
Może być również stosowany do cząstek gazu (atomów i molekuł), jednak należy poczynić pewne uwagi.
Po pierwsze, prędkość v należy rozumieć jako jakąś średnią wartość. Faktem jest, że cząstki gazu poruszają się z różnymi prędkościami zgodnie z rozkładem Maxwella-Boltzmanna. Ta ostatnia umożliwia określenie średniej prędkości, która nie zmienia się w czasie, jeśli nie ma zewnętrznych wpływów na system.
Po drugie, wzór na Ek1 zakłada energię na stopień swobody. Cząsteczki gazu mogą poruszać się we wszystkich trzech kierunkach, a także obracać się w zależności od swojej struktury. Aby uwzględnić stopień swobody z, należy go pomnożyć przez Ek1, czyli:
Ek1z=z/2mv2.
Energia kinetyczna całego układu Ek jest N razy większa niż Ek1z, gdzie N jest całkowitą liczbą cząstek gazu. Wtedy dla U otrzymujemy:
U=z/2Nmv2.
Zgodnie z tym wzorem zmiana energii wewnętrznej gazu jest możliwa tylko wtedy, gdy zmieni się liczba cząstek N wsystem lub ich średnia prędkość v.
Wewnętrzna energia i temperatura
Stosując założenia molekularnej teorii kinetycznej gazu doskonałego, możemy otrzymać następujący wzór na zależność między średnią energią kinetyczną jednej cząstki a temperaturą bezwzględną:
mv2/2=1/2kBT.
Tutaj kB jest stałą Boltzmanna. Podstawiając tę równość do wzoru na U otrzymanego w powyższym akapicie, otrzymujemy następujące wyrażenie:
U=z/2NkBT.
Wyrażenie to można przepisać w postaci ilości substancji n i stałej gazowej R w następującej postaci:
U=z/2nR T.
Zgodnie z tym wzorem zmiana energii wewnętrznej gazu jest możliwa, jeśli zmieni się jego temperatura. Wartości U i T zależą od siebie liniowo, czyli wykres funkcji U(T) jest linią prostą.
Jak struktura cząsteczki gazu wpływa na energię wewnętrzną systemu?
Struktura cząsteczki (cząsteczki) gazu odnosi się do liczby tworzących ją atomów. Odgrywa decydującą rolę przy podstawieniu odpowiedniego stopnia swobody z we wzorze za U. Jeśli gaz jest jednoatomowy, wzór na energię wewnętrzną gazu staje się:
U=3/2nRT.
Skąd wzięła się wartość z=3? Jego wygląd wiąże się z zaledwie trzema stopniami swobody, jakie posiada atom, ponieważ może poruszać się tylko w jednym z trzech kierunków przestrzennych.
Jeśli dwuatomowycząsteczki gazu, wówczas energię wewnętrzną należy obliczyć według wzoru:
U=5/2nRT.
Jak widać, cząsteczka dwuatomowa ma już 5 stopni swobody, z których 3 są translacyjne, a 2 obrotowe (zgodnie z geometrią cząsteczki, może obracać się wokół dwóch wzajemnie prostopadłych osi).
Na koniec, jeśli gaz ma trzy lub więcej atomów, prawdziwe jest następujące wyrażenie dla U:
U=3nRT.
Złożone cząsteczki mają 3 translacyjne i 3 obrotowe stopnie swobody.
Przykładowy problem
Pod tłokiem znajduje się gaz jednoatomowy pod ciśnieniem 1 atmosfery. W wyniku nagrzewania gaz rozszerzył się tak, że jego objętość wzrosła z 2 litrów do 3. Jak zmieniła się energia wewnętrzna systemu gazowego, jeśli proces rozprężania był izobaryczny.
Aby rozwiązać ten problem, wzory podane w artykule nie wystarczą. Należy przypomnieć równanie stanu gazu doskonałego. Wygląda jak poniżej.
Ponieważ tłok zamyka cylinder gazem, ilość substancji n pozostaje stała podczas procesu rozprężania. Podczas procesu izobarycznego temperatura zmienia się wprost proporcjonalnie do objętości układu (prawo Charlesa). Oznacza to, że powyższa formuła wyglądałaby następująco:
PΔV=nRΔT.
Wtedy wyrażenie na energię wewnętrzną gazu jednoatomowego przyjmie postać:
ΔU=3/2PΔV.
Podstawiając do tego równania wartości ciśnienia i zmiany objętości w jednostkach SI, otrzymujemy odpowiedź: ΔU ≈ 152 J.
