Badanie ilościowe dynamiki i kinematyki ruchu obrotowego wymaga znajomości momentu bezwładności punktu materialnego i bryły sztywnej względem osi obrotu. Zastanowimy się w artykule, o jakim parametrze mówimy, a także podamy wzór do jego określenia.
Ogólne informacje o wielkości fizycznej
Najpierw zdefiniujmy moment bezwładności punktu materialnego i bryły sztywnej, a następnie pokażmy, jak należy go wykorzystać w rozwiązywaniu praktycznych problemów.
Pod wskazaną charakterystyką fizyczną punktu o masie m, który obraca się wokół osi na odległość r, rozumie się następującą wartość:
I=mr².
Gdzie wynika, że jednostką miary badanego parametru są kilogramy na metr kwadratowy (kgm²).
Jeżeli zamiast punktu wokół osi obraca się ciało o złożonym kształcie, które ma w sobie dowolny rozkład masy, to wyznaczany jest jego moment bezwładnościwięc:
I=∫m(r²dm)=ρ∫V(r²dV).
Gdzie ρ jest gęstością ciała. Korzystając ze wzoru na całkę, możesz określić wartość I dla absolutnie dowolnego układu rotacji.
Moment bezwładności ma dokładnie takie samo znaczenie dla obrotu, jak masa dla ruchu postępowego. Na przykład każdy wie, że mopem podłogowym najłatwiej obracać wokół osi przechodzącej przez jego rączkę niż prostopadłej. Wynika to z faktu, że moment bezwładności w pierwszym przypadku jest znacznie mniejszy niż w drugim.
I wartość dla ciał o różnych kształtach
Rozwiązując zadania z fizyki związane z obrotem, często trzeba znać moment bezwładności ciała o określonym kształcie geometrycznym, na przykład cylindra, kuli lub pręta. Jeśli zastosujemy wyżej zapisaną formułę dla I, to łatwo uzyskać odpowiednie wyrażenie dla wszystkich zaznaczonych ciał. Poniżej znajdują się wzory dla niektórych z nich:
pręt: I=1 / 12ML²;
cylinder: I=1 / 2MR²;
sfera: I=2 / 5MR².
Tutaj podaję oś obrotu, która przechodzi przez środek masy ciała. W przypadku walca oś jest równoległa do generatora figury. Moment bezwładności dla innych ciał geometrycznych oraz opcje położenia osi obrotu można znaleźć w odpowiednich tabelach. Zwróć uwagę, że aby określić różne figury, wystarczy znać tylko jeden parametr geometryczny i masę ciała.
Twierdzenie i wzór Steinera
Moment bezwładności można określić, jeśli oś obrotu znajduje się w pewnej odległości od ciała. W tym celu należy znać długość tego odcinka oraz wartość IO ciała względem osi przechodzącej przez środek jego masy, która powinna być równoległa do osi znajdującej się pod namysł. Ustalenie związku między parametrem IO a nieznaną wartością I jest ustalone w twierdzeniu Steinera. Moment bezwładności punktu materialnego i bryły sztywnej zapisujemy matematycznie w następujący sposób:
I=IO+ Mh2.
Tutaj M to masa ciała, h to odległość od środka masy do osi obrotu, względem której należy obliczyć I. To wyrażenie jest łatwe do uzyskania samodzielnie, jeśli użyj wzoru całkowego dla I i weź pod uwagę, że wszystkie punkty ciała znajdują się w odległości r=r0 + h.
Twierdzenie Steinera znacznie upraszcza definicję ja w wielu praktycznych sytuacjach. Na przykład, jeśli chcesz znaleźć I dla pręta o długości L i masie M względem osi przechodzącej przez jej koniec, to zastosowanie twierdzenia Steinera pozwala na napisanie:
I=IO+ M(L / 2)2=1 / 12ML 2+ ML2 / 4=ML2 / 3.
Możesz odnieść się do odpowiedniej tabeli i zobaczyć, że zawiera ona dokładnie taki wzór dla cienkiego pręta z osią obrotu na końcu.
Równanie momentu
W fizyce rotacji istnieje wzór zwany równaniem momentów. Wygląda to tak:
M=Iα.
Tutaj M jest momentem siły, a α jest przyspieszeniem kątowym. Jak widać moment bezwładności punktu materialnego i bryły sztywnej oraz moment siły są ze sobą liniowo powiązane. Wartość M określa możliwość wywołania przez pewną siłę F ruchu obrotowego z przyspieszeniem α w układzie. Aby obliczyć M, użyj następującego prostego wyrażenia:
M=Fd.
Gdzie d jest ramieniem momentu, który jest równy odległości od wektora siły F do osi obrotu. Im mniejsze ramię d, tym mniejsza zdolność siły do wywołania rotacji systemu.
Równanie momentów w swoim znaczeniu jest w pełni zgodne z drugim prawem Newtona. W tym przypadku pełnię rolę masy bezwładności.
Przykład rozwiązywania problemów
Wyobraźmy sobie system, który jest cylindrem zamocowanym na pionowej osi za pomocą nieważkiego poziomego pręta. Wiadomo, że oś obrotu i główna oś cylindra są do siebie równoległe, a odległość między nimi wynosi 30 cm Masa cylindra wynosi 1 kg, a jego promień 5 cm Siła 10 N styczna do trajektorii obrotu działa na figurę, której wektor przechodzi przez główną oś cylindra. Niezbędne jest określenie przyspieszenia kątowego figury, jakie wywoła ta siła.
Najpierw obliczmy moment bezwładności cylindra I. Aby to zrobić, zastosuj twierdzenie Steinera, mamy:
I=IO+ M d²=1/2MR² + Md²=1/210,05² + 10, 3²=0,09125 kgm².
Przed użyciem równania momentu musiszokreślić moment siły M. W tym przypadku mamy:
M=Fd=100, 3=3 Nm.
Teraz możesz określić przyspieszenie:
α=M/I=3/0,09125 ≈ 32,9 rad/s².
Obliczone przyspieszenie kątowe wskazuje, że co sekundę prędkość cylindra będzie wzrastać o 5,2 obrotów na sekundę.
