Twierdzenie Steinera lub twierdzenie o osiach równoległych do obliczania momentu bezwładności

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Ostatnio zmodyfikowany: 2023-12-17 05:38

W matematycznym opisie ruchu obrotowego ważne jest, aby znać moment bezwładności układu względem osi. W ogólnym przypadku procedura znalezienia tej wielkości wiąże się z realizacją procesu integracji. Tak zwane twierdzenie Steinera ułatwia obliczenia. Rozważmy to bardziej szczegółowo w artykule.

Co to jest moment bezwładności?

Przed sformułowaniem twierdzenia Steinera należy zająć się samym pojęciem momentu bezwładności. Załóżmy, że istnieje ciało o określonej masie i dowolnym kształcie. To ciało może być punktem materialnym lub dowolnym dwuwymiarowym lub trójwymiarowym obiektem (pręt, walec, kula itp.). Jeżeli badany obiekt wykonuje ruch kołowy wokół jakiejś osi ze stałym przyspieszeniem kątowym α, to można zapisać następujące równanie:

M=Iα

Tutaj wartość M reprezentuje całkowity moment sił, który daje przyspieszenie α całemu układowi. Nazywa się współczynnik proporcjonalności między nimi - jamoment bezwładności. Ta wielkość fizyczna jest obliczana według następującego wzoru ogólnego:

I=∫_m (r²dm)

Tutaj r jest odległością między elementem o masie dm a osią obrotu. To wyrażenie oznacza, że konieczne jest znalezienie sumy iloczynów kwadratów odległości r² i masy elementarnej dm. Oznacza to, że moment bezwładności nie jest czystą cechą ciała, co odróżnia je od bezwładności liniowej. Zależy to od rozłożenia masy w całym obiekcie, który się obraca, a także od odległości do osi i orientacji ciała względem niej. Na przykład, pręt będzie miał inne I, jeśli zostanie obrócony wokół środka masy i wokół końca.

Moment bezwładności i twierdzenie Steinera

Słynny szwajcarski matematyk Jakob Steiner udowodnił twierdzenie o osiach równoległych i momencie bezwładności, które teraz nosi jego imię. Twierdzenie to zakłada, że moment bezwładności absolutnie dowolnego ciała sztywnego o dowolnej geometrii względem pewnej osi obrotu jest równy sumie momentu bezwładności wokół osi przecinającej środek masy ciała i równoległej do pierwszej, a iloczyn masy ciała pomnożony przez kwadrat odległości między tymi osiami. Matematycznie to sformułowanie jest zapisane w następujący sposób:

I_Z=I_O + ml²

I_Z i I_O - momenty bezwładności wokół osi Z i równoległej do niej osi O, która przechodzi przez środek masy ciała, l - odległość między liniami Z i O.

Twierdzenie pozwala, znając wartość I_O, obliczyćw dowolnym innym momencie I_Z wokół osi równoległej do O.

Dowód twierdzenia

Wzór na twierdzenie Steinera można łatwo uzyskać samemu. Aby to zrobić, rozważ dowolne ciało na płaszczyźnie xy. Niech początek współrzędnych przechodzi przez środek masy tego ciała. Obliczmy moment bezwładności I_O, który przechodzi przez początek prostopadły do płaszczyzny xy. Ponieważ odległość do dowolnego punktu ciała wyraża się wzorem r=√ (x² + y²), to otrzymujemy całkę:

I_O=∫_m (r²dm)=∫ m _(((x2^+y2^{) dm)}

Przesuńmy teraz oś równolegle wzdłuż osi x o odległość l, na przykład, w kierunku dodatnim, wtedy obliczenie nowej osi momentu bezwładności będzie wyglądać tak:

I_Z=∫_m(((x+l)²+y ²)dm)

Rozwiń pełny kwadrat w nawiasach i podziel całki, otrzymujemy:

I_Z=∫_m ((x²+l ²+2xl+y²)dm)=∫_m ((x² +y²)dm) + 2l∫_m (xdm) + l ²∫_mdm

Pierwszy z tych terminów to wartość I_O, trzeci termin, po całkowaniu, daje termin l²m, a tutaj drugi wyraz to zero. Zerowanie określonej całki wynika z faktu, że jest ona brana z iloczynu x i elementów masy dm, które wśrednia daje zero, ponieważ środek masy znajduje się w punkcie początkowym. W rezultacie otrzymujemy wzór twierdzenia Steinera.

Rozważany przypadek na płaszczyźnie można uogólnić na trójwymiarowe ciało.

Sprawdzanie wzoru Steinera na przykładzie pręta

Podajmy prosty przykład, aby zademonstrować, jak korzystać z powyższego twierdzenia.

Wiadomo, że dla pręta o długości L i masie m moment bezwładności I_O(oś przechodzi przez środek masy) jest równy m L² /12, a moment I_Z(oś przechodzi przez koniec pręta) jest równy mL 2^{/3. Sprawdźmy te dane za pomocą twierdzenia Steinera. Ponieważ odległość między dwiema osiami wynosi L/2, otrzymujemy moment I}Z_:

I_Z=I_O+ m(L/2)²=mL²/12 + mL²/4=4mL² /12=mL²/3

To znaczy, sprawdziliśmy formułę Steinera i otrzymaliśmy taką samą wartość dla I_Z jak w źródle.

Podobne obliczenia można przeprowadzić dla innych ciał (walca, kula, dysk), uzyskując niezbędne momenty bezwładności i bez całkowania.

Moment bezwładności i osie prostopadłe

Rozważane twierdzenie dotyczy osi równoległych. Dla kompletności informacji przydatne jest również podanie twierdzenia o osiach prostopadłych. Sformułowany jest w następujący sposób: dla płaskiego obiektu o dowolnym kształcie moment bezwładności wokół osi prostopadłej do niego będzie równy sumie dwóch momentów bezwładności wokół dwóch wzajemnie prostopadłych i leżącychw płaszczyźnie obiektu osi, przy czym wszystkie trzy osie przechodzą przez ten sam punkt. Matematycznie jest to napisane w następujący sposób:

I_z=I_x + I_y

Tutaj z, x, y są trzema wzajemnie prostopadłymi osiami obrotu.

Istotna różnica między tym twierdzeniem a twierdzeniem Steinera polega na tym, że ma ono zastosowanie tylko do płaskich (dwuwymiarowych) obiektów bryłowych. Niemniej jednak w praktyce jest szeroko stosowany, mentalnie rozcinając ciało na osobne warstwy, a następnie dodając uzyskane momenty bezwładności.