Każdy uczeń słyszał o okrągłym stożku i wyobraża sobie, jak wygląda ta trójwymiarowa postać. W tym artykule opisano rozwój stożka, podano wzory opisujące jego cechy i opisano sposób jego budowy za pomocą cyrkla, kątomierza i linijki.
Kołowy stożek w geometrii
Podajmy geometryczną definicję tej figury. Okrągły stożek to powierzchnia utworzona przez proste odcinki linii łączące wszystkie punkty określonego okręgu z jednym punktem w przestrzeni. Ten pojedynczy punkt nie może należeć do płaszczyzny, na której leży okrąg. Jeśli weźmiemy koło zamiast koła, to ta metoda również prowadzi do stożka.
Okrąg nazywamy podstawą figury, jego obwód to kierownica. Segmenty łączące punkt z kierownicą nazywane są generatorami lub generatorami, a punkt, w którym przecinają się, jest wierzchołkiem stożka.
Okrągły stożek może być prosty i ukośny. Obie figury pokazano na poniższym rysunku.
Różnica między nimi jest taka: jeśli prostopadła z wierzchołka stożka spada dokładnie do środka koła, to stożek będzie prosty. Dla niego prostopadłość, która nazywana jest wysokością figury, jest częścią jego osi. W przypadku stożka skośnego wysokość i oś tworzą kąt ostry.
Ze względu na prostotę i symetrię figury, dalej rozważymy właściwości tylko prawego stożka o okrągłej podstawie.
Uzyskiwanie kształtu za pomocą obrotu
Przed przystąpieniem do rozważania rozwoju powierzchni stożka warto wiedzieć, jak można uzyskać tę figurę przestrzenną za pomocą rotacji.
Załóżmy, że mamy trójkąt prostokątny o bokach a, b, c. Pierwsze dwie z nich to nogi, c to przeciwprostokątna. Nałóżmy trójkąt na nogę a i zacznijmy go obracać wokół nogi b. Przeciwprostokątna c opisuje wtedy powierzchnię stożkową. Ta prosta technika stożkowa jest pokazana na poniższym schemacie.
Oczywiście, noga a będzie promieniem podstawy figury, noga b będzie jej wysokością, a przeciwprostokątna c odpowiada tworzącej okrągłego prawego stożka.
Widok rozwoju stożka
Jak można się domyślić, stożek tworzą dwa rodzaje powierzchni. Jednym z nich jest płaska podstawa koła. Załóżmy, że ma promień r. Druga powierzchnia jest boczna i nazywana jest stożkową. Niech jego generator będzie równy g.
Jeśli mamy papierowy stożek, to możemy wziąć nożyczki i odciąć od niego podstawę. Następnie należy przyciąć powierzchnię stożkowąwzdłuż dowolnej generatrix i rozmieścić ją w samolocie. W ten sposób uzyskaliśmy rozwinięcie powierzchni bocznej stożka. Dwie powierzchnie wraz z oryginalnym stożkiem pokazano na poniższym schemacie.
Podstawowy okrąg jest przedstawiony w prawym dolnym rogu. Rozłożona powierzchnia stożkowa jest pokazana na środku. Okazuje się, że odpowiada on pewnemu kołowemu wycinkowi koła, którego promień jest równy długości tworzącej g.
Kąt i obszar
Teraz otrzymujemy wzory, które przy użyciu znanych parametrów g i r pozwalają nam obliczyć pole i kąt stożka.
Oczywiście łuk kołowego sektora pokazany powyżej na rysunku ma długość równą obwodowi podstawy, czyli:
l=2pir.
Jeśli zbudowano by cały okrąg o promieniu g, to jego długość byłaby:
L=2pig.
Ponieważ długość L odpowiada 2pi radianom, kąt, na którym spoczywa łuk l, można wyznaczyć z odpowiedniej proporcji:
L==>2pi;
l==> φ.
Wtedy nieznany kąt φ będzie równy:
φ=2pil/L.
Podstawiając wyrażenia na długości l i L, otrzymujemy wzór na kąt rozwinięcia powierzchni bocznej stożka:
φ=2pir/g.
Kąt φ jest tutaj wyrażony w radianach.
Aby określić obszar Sbw sektorze kołowym, użyjemy znalezionej wartości φ. Robimy jeszcze jedną proporcję, tylko dla powierzchni. Mamy:
2pi==>pig2;
φ==> Sb.
Skąd wyrazić Sb, a następnie podstaw wartość kąta φ. Otrzymujemy:
Sb=φg2pi/(2pi)=2pir/gg 2/2=pirg.
Dla powierzchni stożkowej uzyskaliśmy dość zwartą formułę. Wartość Sb jest równa iloczynowi trzech czynników: pi, promienia figury i jej tworzącej.
Wtedy powierzchnia całej powierzchni figury będzie równa sumie Sb i So (okrągła obszar bazowy). Otrzymujemy formułę:
S=Sb+ So=pir(g + r).
Budowanie stożka na papierze
Do wykonania tego zadania będziesz potrzebować kartki, ołówka, kątomierza, linijki i cyrkla.
Przede wszystkim narysujmy trójkąt prostokątny o bokach 3 cm, 4 cm i 5 cm, którego obrót wokół nogi o 3 cm da pożądany stożek. Figura ma r=3 cm, h=4 cm, g=5 cm.
Budowanie przeciągnięcia rozpocznie się od narysowania okręgu o promieniu r za pomocą kompasu. Jego długość będzie równa 6pi cm, teraz obok niego narysujemy kolejny okrąg, ale o promieniu g. Jego długość będzie odpowiadać 10pi cm Teraz musimy odciąć okrągły sektor z dużego koła. Jego kąt φ wynosi:
φ=2pir/g=2pi3/5=216o.
Teraz odkładamy ten kąt za pomocą kątomierza na kole o promieniu g i rysujemy dwa promienie, które ograniczą sektor kołowy.
TakW ten sposób zbudowaliśmy rozwinięcie stożka o określonych parametrach promienia, wysokości i tworzącej.
Przykład rozwiązania problemu geometrycznego
Biorąc pod uwagę okrągły prosty stożek. Wiadomo, że kąt jego bocznego skosu wynosi 120o. Konieczne jest znalezienie promienia i tworzącej tej figury, jeśli wiadomo, że wysokość h stożka wynosi 10 cm.
Zadanie nie jest trudne, jeśli pamiętamy, że okrągły stożek to figura obrotu trójkąta prostokątnego. Z tego trójkąta wynika jednoznaczny związek między wysokością, promieniem i tworzącą. Napiszmy odpowiednią formułę:
g2=h2+ r2.
Drugim wyrażeniem używanym podczas rozwiązywania jest wzór na kąt φ:
φ=2pir/g.
Tak więc mamy dwa równania odnoszące się do dwóch nieznanych wielkości (r i g).
Wyraź g z drugiej formuły i zamień wynik na pierwszy, otrzymujemy:
g=2pir/φ;
h2+ r2=4pi2r 2/φ2=>
r=h /√(4pi2/φ2 - 1).
Kąt φ=120o w radianach to 2pi/3. Podstawiamy tę wartość, otrzymujemy końcowe wzory na r i g:
r=h /√8;
g=3h /√8.
Pozostaje podstawić wartość wzrostu i uzyskać odpowiedź na pytanie problemowe: r ≈ 3,54 cm, g ≈ 10,61 cm.
